第四章 三角函數(shù)與解三角形（測(cè)試）（含答案解析）

第四章三角函數(shù)與解三角形（測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)樗曰蛩曰蛘吖省啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選：B.2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】由，利用正弦定理，，即,因,則或（不合題意舍去），故△ABC一定是等腰三角形.故選：A.3．如圖，是九個(gè)相同的正方形拼接而成的九宮格中的兩個(gè)角，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】由圖可得：，則故選：D.4．如圖，曲線段是一段半徑為的圓弧，若圓弧的長(zhǎng)度為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A．R B．R C．R D．2R【答案】C【解析】設(shè)所對(duì)的圓心角為.則由題意，得.所以，所以，故選:C.5．冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象?新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求.該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了，如圖，測(cè)得，若點(diǎn)恰好在邊上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在中，由余弦定理，；因?yàn)椋?，在中，由正弦定理，所以，解得，故選：C6．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．－2 D．2【答案】A【解析】由題意可知：，所以.故選：A.7．在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)稱為“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”.在平面直角坐標(biāo)系下，某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)（，，）來表示，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的編號(hào)是（

）①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；②函數(shù)的解析式可以為；③函數(shù)在上的值域?yàn)?；④若把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【解析】由圖可知，所以，且，所以，又因?yàn)?，所以只能，所以，?duì)于①，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的取值范圍是，從而函數(shù)在上的值域?yàn)?，故③正確；對(duì)于④，若把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的編號(hào)是②③.故選：B.8．在中，，是的中點(diǎn)，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，在中，由正弦定理可得，則，且是的中點(diǎn)，則，又，則，則，又，則，所以，則，即的取值范圍為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列選項(xiàng)中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B符合題意；選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C符合題意；選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)C符合題意.故選：BCD.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是B．C．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象D．函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】由題圖可知，，所以，所以，由，得，由，解得，所以.對(duì)于A，令，則，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)變換后的解析式為，因?yàn)椋礊楹瘮?shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，令，則，由正弦函數(shù)圖象可知，，解得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．如圖，的角所對(duì)的邊分別為，，且，若點(diǎn)在外，，則下列說法中正確的有（

）

A．B．C．四邊形面積的最大值為D．四邊形面積的最大值為【答案】ABC【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，所以為等邊三角形，可得，，所以A、B正確；設(shè)，在中，由余弦定理得，且，可得，所以四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．【答案】【解析】因?yàn)樗?，所以故答案為?13．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則角B=.【答案】/【解析】因?yàn)?，由正弦定理，即，又因?yàn)?，可得，、所以，因?yàn)?，可得，所以，即，又因?yàn)?，所?故答案為：.14．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域均為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的值域均為，而，，所以.又因?yàn)椋?所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖，在平面坐標(biāo)系中，第二象限角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）由題知，因?yàn)?，所以．又為第二象限角，所以，可得．?分）（2）.（13分）16．（15分）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)若，求角的大??；(2)若，求邊上的高.【解析】（1）由正弦定理，，即，因，故,即是銳角，故；（7分）（2）如圖，由余弦定理，，（9分）知角是銳角，則，作于點(diǎn)，在中，,即邊上的高是.（15分）17．（15分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)若，求的值和的面積；(2)在（1）的條件下，求的值；(3)若，求的值.【解析】（1）在中，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，解得或(舍)，，，的面積.（5分）（2），，.（10分）（3）在中，由正弦定理得，，化簡(jiǎn)得，由余弦定理得，，解得（負(fù)值舍去），所以.（15分）18．（17分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大?。?2)若，且為銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍；(3)若，且外接圓的半徑為2，圓心為O，P為圓O上的一動(dòng)點(diǎn)，試求的取值范圍．【解析】（1）依題意，所以由余弦定理有，整理得，故，因?yàn)?，所?（5分）（2）因?yàn)?，，所以由正弦定理，即，得，所以，又為銳角三角形，所以有，（9分）則，又由，所以，所以，故的周長(zhǎng)的取值范圍為.（11分）（3）由正弦定理知，得，則，又由，則，則為等邊三角形，取AB的中點(diǎn)M，如圖所示，則，由，則，則.（17分）19．（17分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.(1)若.①求；②若的面積為，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若內(nèi)一點(diǎn)滿足，且平分，試問是否存在常實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）①因?yàn)?，且，所以，所以，即，因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)?，所以；?分）②因?yàn)椋缘膬?nèi)角均小于，所以點(diǎn)在的內(nèi)部，且，由，得，設(shè)