2024屆廣東省深圳市福田區(qū)耀華實驗學校華文部高三下學期返校第一次聯(lián)考（數(shù)學試題文）試卷

2024屆廣東省深圳市福田區(qū)耀華實驗學校華文部高三下學期返校第一次聯(lián)考（數(shù)學試題文）試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（）A．正方體 B．球體C．圓錐 D．長寬高互不相等的長方體2．某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．5783．雙曲線：（，）的一個焦點為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．在中，，，，則在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-35．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]6．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．27．已知定點，，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓8．在中，角的對邊分別為，若．則角的大小為()A． B． C． D．9．已知，則的大小關系是（）A． B． C． D．10．設集合，集合，則=（）A． B． C． D．R11．已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．112．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中各項系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____14．函數(shù)的極大值為______.15．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則_________.16．在平面直角坐標系中，點P在直線上，過點P作圓C：的一條切線，切點為T.若，則的長是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）若，，求的面積.18．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項.（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求函數(shù)的極值；（2）為的導函數(shù)，當，時，求證：．20．（12分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.21．（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC邊上的點，且△ACD的面積為，求sin∠ADB.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定．【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形．故選：C．【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．2、D【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.3、A【解析】

根據(jù)題意得到，化簡得到，得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：焦點到漸近線的距離為，故，故漸近線為.故選：.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.4、D【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用問題.5、B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎題.6、C【解析】

作出可行域，直線目標函數(shù)對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1．故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．7、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.8、A【解析】

由正弦定理化簡已知等式可得，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可得，可得，即可得解的值．【詳解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．9、B【解析】

利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可得，再利用對數(shù)運算性質(zhì)比較a,c進而可得結(jié)論.【詳解】依題意，函數(shù)與函數(shù)關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【點睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎題.10、D【解析】試題分析：由題，，，選D考點：集合的運算11、C【解析】

利用復數(shù)的四則運算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復數(shù)的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題.12、D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當時，數(shù)形結(jié)合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當時，，數(shù)形結(jié)合（如圖），由解得.在內(nèi)有3個整數(shù)解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當時，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當時，實數(shù)的取值范圍是.故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法，屬于基礎題.14、【解析】

先求函的定義域，再對函數(shù)進行求導，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進而求得極值點，即可求出函數(shù)的極大值．【詳解】函數(shù)，，，令得，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取到極大值，極大值為.故答案為：．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域優(yōu)先法則的應用．15、0.4【解析】

因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布,利用正態(tài)曲線的對稱性，即得解.【詳解】因為隨機變量ζ服從正態(tài)分布所以正態(tài)曲線關于對稱，所.【點睛】本題考查了正態(tài)分布曲線的對稱性在求概率中的應用，考查了學生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.16、【解析】

作出圖像，設點，根據(jù)已知可得，，且，可解出，計算即得.【詳解】如圖，設，圓心坐標為，可得，，，，，解得，，即的長是.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，以及求平面兩點間的距離，運用了數(shù)形結(jié)合的思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）先根據(jù)平方關系求出,再根據(jù)正弦定理即可求出；（2）分別在和中，根據(jù)正弦定理列出兩個等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再根據(jù)余弦定理求出，即可根據(jù)求出的面積．【詳解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形面積公式的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．18、（1）見解析，（2）最小正整數(shù)的值為35.【解析】

（1）由等差中項可知，當時，得，整理后可得，從而證明為等差數(shù)列，繼而可求.（2），則可求出，令，即可求出的取值范圍，進而求出最小值.【詳解】解析：（1）由題意可得，當時，，∴，，當時，，整理可得，∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整數(shù)的值為35.【點睛】本題考查了等差中項，考查了等差數(shù)列的定義，考查了與的關系，考查了裂項相消求和.當已知有與的遞推關系時，常代入進行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時，一般借助數(shù)列，即后一項與前一項的差為常數(shù).19、（1）極大值，極小值；（2）詳見解析.【解析】

首先確定函數(shù)的定義域和；（1）當時，根據(jù)的正負可確定單調(diào)性，進而確定極值點，代入可求得極值；（2）通過分析法可將問題轉(zhuǎn)化為證明，設，令，利用導數(shù)可證得，進而得到結(jié)論.【詳解】由題意得：定義域為，，（1）當時，，當和時，；當時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為.（2）要證：，即證：，即證：，化簡可得：．，，即證：，設，令，則，在上單調(diào)遞增，，則由，從而有：.【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到函數(shù)極值的求解、利用導數(shù)證明不等式的問題；本題不等式證明的關鍵是能夠?qū)⒍鄠€變量的問題轉(zhuǎn)化為一個變量的問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據(jù)二面角的余弦值，可得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系,利用向量計算線面角即可.【詳解】（1）連接，交于點，連結(jié).則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,則，于是，，設平面的法向量為，則，即，解得于是平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為，因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.21、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，可得曲線C：（）的直角坐標方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程