數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講一比較法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精一比較法1．理解作差比較法和作商比較法．2．用比較法證明不等式．1．比較法的種類(lèi)比較法一般分為兩種:____________和____________．2．作差比較法(1）作差比較法的證明依據(jù)：__________.（2）基本步驟:①______;②______；③__________;④________.用作差比較法證明不等式時(shí)，要判斷不等式兩邊差的符號(hào)，對(duì)不等式兩邊求差后，要通過(guò)配方、因式分解、通分等，對(duì)所得代數(shù)式進(jìn)行變形，得到一個(gè)能夠明顯看得出其符號(hào)的代數(shù)式,進(jìn)而得出證明．【做一做1－1】當(dāng)a＜b＜0時(shí)，下列關(guān)系式中成立的是（)A。eq\r（a2)＜eq\r（b2) B．lgb2＜lga2 C。eq\f（b,a）＞1 D．＞【做一做1－2】若P＝eq\r(2)，Q＝eq\r(6)－eq\r(2），R＝eq\r（7)－eq\r（3），則P，Q,R的大小關(guān)系是()A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P3．作商比較法（1）作商比較法的證明依據(jù)：____________(2）基本步驟：①______;②______；③______________；④________?！咀鲆蛔?－1】比較大?。簂og34__________log67?！咀鲆蛔?－2】比較大小：________.答案：1．作差比較法作商比較法2．（1）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①a<b?a－b〈0；②a＝b?a－b＝0；③a〉b?a－b〉0)）(2）作差變形判斷符號(hào)下結(jié)論【做一做1－1】B方法1:取特殊值a＝－4，b＝－1，則知選項(xiàng)A，C，D不正確，選項(xiàng)B正確,故選B；方法2：∵a＜b＜0，∴a2＞b2.而函數(shù)y＝lgx（x＞0）為增函數(shù)，∴l(xiāng)gb2＜lga2，B項(xiàng)正確．【做一做1－2】A∵eq\r(2)＋eq\r（2)＝2eq\r（2)＞eq\r(6)，∴eq\r（2)＞eq\r（6）－eq\r（2）,即P＞Q；又∵eq\r（6)＋eq\r（3）＞eq\r(7）＋eq\r（2），∴eq\r(6）－eq\r(2)＞eq\r(7)－eq\r(3），即Q＞R。∴P＞Q＞R.3．(1)當(dāng)b＞0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝b?\f(a,b）＝1；，a>b?\f(a,b)>1；，a<b?\f（a,b)<1.))（2）作商變形判斷與“1”的大小下結(jié)論【做一做2－1】＞設(shè)log34＝a，log67＝b，則3a＝4,6b＝7，得7×3a＝4×6b＝4×2b×3即3a－b＝eq\f(4×2b,7)，由log67＝b可知，b＞1，所以2b＞2，則3a－b＝eq\f（4×2b,7)＞1，所以a－b＞0，即a＞b,即log34＞log67。【做一做2－2】＞＝＝，又∵＞＝1，∴＞1?！啵?1．作差比較法證明不等式的一般步驟剖析：（1)作差：將不等式左右兩邊的式子看作一個(gè)整體進(jìn)行作差．(2)變形：將差式進(jìn)行變形，變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方和等等．(3）判斷符號(hào)：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)．(4)結(jié)論：肯定不等式成立的結(jié)論．若差式的符號(hào)不能確定，且與某些字母的取值有關(guān)時(shí)，需對(duì)這些字母進(jìn)行討論．2．作商比較法中的符號(hào)問(wèn)題的確定剖析：在作商比較法中，eq\f（b，a）＞1b＞a是不正確的，這與a，b的符號(hào)有關(guān)，比如若a，b＞0，由eq\f(b,a）＞1，可得b＞a，但若a,b＜0，則由eq\f(b，a）＞1得出的反而是b＜a，也就是說(shuō)，在作商比較法中，要對(duì)a，b的符號(hào)作出判斷．否則,結(jié)論將是錯(cuò)誤的．對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，可分為含參數(shù)變量類(lèi)的和大小固定的，因而也可以通過(guò)特殊值的方法進(jìn)行一定的猜測(cè),進(jìn)而給出一定的理性推理或證明過(guò)程．使用作商比較法時(shí)一定要注意不等式兩邊的式子均為正值,若均為負(fù)值時(shí)，可先同乘以－1，轉(zhuǎn)化后再進(jìn)行證明．題型一利用作差比較法證明不等式【例1】已知a≥1，求證：eq\r(a＋1）－eq\r（a）＜eq\r（a)－eq\r(a－1).分析:因不等式兩邊進(jìn)行分子有理化相減后，可判斷差的符號(hào)，故可用作差比較法進(jìn)行證明．反思：根據(jù)左、右兩邊都含無(wú)理式的特點(diǎn)，也可以采取兩邊平方的方法來(lái)比較，但是應(yīng)先判斷兩邊的符號(hào)，都大于0時(shí)，兩邊平方是等價(jià)變形，否則要改變不等號(hào)．又因?yàn)閍≥1,所以不等式兩邊都大于0，故還可以用作商比較法進(jìn)行證明．題型二利用作商比較法證明不等式【例2】已知a＞0，b＞0，求證：eq\f（a,\r（b）)＋eq\f(b，\r(a））≥eq\r（a）＋eq\r（b）.分析：因?yàn)閍,b均為正數(shù)，故而不等式左邊和右邊都是正數(shù)，所以可以用作商比較法進(jìn)行比較．反思：作商比較法的前提條件是兩個(gè)數(shù)a，b都大于0，對(duì)eq\f（a,b）進(jìn)行整理，直到能清晰看出eq\f（a,b)與1的大小關(guān)系為止．在運(yùn)算過(guò)程中注意運(yùn)用計(jì)算技巧．題型三比較法在綜合題目中的應(yīng)用【例3】已知數(shù)列{an｝的首項(xiàng)a1＝5,前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N＋)．(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；（2)令f(x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)，并比較2f′(1)與23n2－13n的大小分析:在比較大小時(shí),作差法的差式與“n"的取值有關(guān)，且大小關(guān)系隨“n”的變化而變化．反思:此類(lèi)題是典型的結(jié)論不唯一的比較大小的問(wèn)題．在數(shù)列中，大小問(wèn)題可能會(huì)隨“n"變化而變化．往往n＝1，2，…前幾個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的值與后面n≥n0的值大小不一樣，這就要求在解答這樣的題時(shí),要時(shí)刻有“大小關(guān)系不一定唯一"的念頭，即時(shí)刻提醒自己所求解的問(wèn)題是否需要討論．答案：【例1】證明：∵（eq\r（a＋1）－eq\r（a））－（eq\r(a)－eq\r（a－1)）＝eq\f(1，\r(a＋1)＋\r(a）)－eq\f（1，\r(a)＋\r（a－1）)＝eq\f（\r(a－1)－\r（a＋1)，\r(a＋1）＋\r（a）\r（a)＋\r(a－1））＜0，∴eq\r(a＋1)－eq\r(a)＜eq\r（a）－eq\r(a－1）。【例2】證明：∵eq\f（\f(a，\r（b）)＋\f（b，\r（a）），\r（a）＋\r（b)）＝eq\f(\f（a,\r(b）)，\r(a)＋\r(b））＋eq\f(\f(b,\r(a）），\r（a）＋\r（b）)＝eq\f（a,\r(ab）＋b）＋eq\f（b,\r（ab）＋a）＝eq\f(a\r(ab）＋a2＋b\r(ab)＋b2，2ab＋a＋b\r(ab））＝eq\f（a2＋b2＋a＋b\r(ab）,2ab＋a＋b\r（ab）)，又∵a2＋b2≥2ab，∴eq\f（a2＋b2＋a＋b\r（ab），2ab＋a＋b\r（ab))≥eq\f(2ab＋a＋b\r（ab),2ab＋a＋b\r（ab））＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＞0時(shí)取等號(hào)．∴eq\f（a,\r(b))＋eq\f（b,\r(a））≥eq\r（a）＋eq\r（b).【例3】（1)證明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5,①∴n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n＋4，②①②兩式相減,得Sn＋1－Sn＝2（Sn－Sn－1）＋1,即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2（an＋1)．當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1又a1＝5，故a2＝11,從而a2＋1＝2（a1＋1)．故總有an＋1＋1＝2（an＋1),n∈N＋.又∵a1＝5,∴a1＋1≠0,從而eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，即｛an＋1}是以a1＋1＝6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(2）解：由(1)可知an＝3×2n－1.∵f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1從而f′(1）＝a1＋2a2＋…＋na＝(3×2－1）＋2(3×22－1）＋…＋n（3×2n－1）＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝3［n×2n＋1－（2＋…＋2n)]－eq\f（nn＋1,2）＝3（n×2n＋1－2n＋1＋2)－eq\f（nn＋1,2)＝3(n－1)·2n＋1－eq\f（nn＋1,2）＋6。則2f′(1)－(23n2－13n＝12（n－1)·2n－12(2n2－n－1）＝12(n－1)·2n－12(n－1)(2n＋1）＝12(n－1)[2n－（2n＋1)］．(＊)當(dāng)n＝1時(shí),（＊）式＝0，∴2f′（1）＝23n2－13n當(dāng)n＝2時(shí),(＊)式＝－12＜0，∴2f′(1)＜23n2－13n當(dāng)n≥3時(shí)，n－1＞0，又2n＝（1＋1）n＝Ceq\o\al(0，n）＋Ceq\o\al（1,n)＋…＋Ceq\o\al（n－1,n）＋Ceq\o\al(n，n)≥2n＋2＞2n＋1，∴(n－1)[2n－(2n＋1)］＞0，即(*）式＞0，從而2f′（1)＞23n2－13n1．已知a＞0且a≠1，P＝loga（a3＋1)，Q＝loga(a2＋1）,則P，Q的大小關(guān)系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．大小不確定2．下列命題：①當(dāng)b＞0時(shí),a＞b＞1；②當(dāng)b＞0時(shí),a＜b＜1；③當(dāng)a＞0，b＞0時(shí),＞1a＞b；④當(dāng)ab＞0時(shí),＞1a＞b.其中是真命題的為（)A．①②③ B．①②④ C．④ D．①②③④3．當(dāng)x＞1時(shí)，x3與x2－x＋1的大小關(guān)系是__________．4．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，求證：x2＋3＞2x。5．已知｛an}是公比為q的等比數(shù)列,且a1，a3，a2成等差數(shù)列．（1)求q的值；（2）設(shè)｛bn｝是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小,并說(shuō)明理由．答案：1．AP－Q＝loga（a3＋1)－loga（a2＋1）＝.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜＜1，∴＞0,即P－Q＞0.∴P＞Q。當(dāng)a＞1時(shí),a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，∴＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.2．A3．x3＞x2－x＋1∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2（x－1)＋（x－1)＝(x－1)(x2＋1）,且x＞1，∴x－1＞0.又x2＋1＞0，∴x3