數(shù)學學案：第二講一比較法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精一比較法1．理解作差比較法和作商比較法．2．用比較法證明不等式．1．比較法的種類比較法一般分為兩種:____________和____________．2．作差比較法(1）作差比較法的證明依據(jù)：__________.（2）基本步驟:①______;②______；③__________;④________.用作差比較法證明不等式時，要判斷不等式兩邊差的符號，對不等式兩邊求差后，要通過配方、因式分解、通分等，對所得代數(shù)式進行變形，得到一個能夠明顯看得出其符號的代數(shù)式,進而得出證明．【做一做1－1】當a＜b＜0時，下列關系式中成立的是（)A。eq\r（a2)＜eq\r（b2) B．lgb2＜lga2 C。eq\f（b,a）＞1 D．＞【做一做1－2】若P＝eq\r(2)，Q＝eq\r(6)－eq\r(2），R＝eq\r（7)－eq\r（3），則P，Q,R的大小關系是()A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P3．作商比較法（1）作商比較法的證明依據(jù)：____________(2）基本步驟：①______;②______；③______________；④________?！咀鲆蛔?－1】比較大?。簂og34__________log67?！咀鲆蛔?－2】比較大?。篲_______.答案：1．作差比較法作商比較法2．（1）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①a<b?a－b〈0；②a＝b?a－b＝0；③a〉b?a－b〉0)）(2）作差變形判斷符號下結論【做一做1－1】B方法1:取特殊值a＝－4，b＝－1，則知選項A，C，D不正確，選項B正確,故選B；方法2：∵a＜b＜0，∴a2＞b2.而函數(shù)y＝lgx（x＞0）為增函數(shù)，∴l(xiāng)gb2＜lga2，B項正確．【做一做1－2】A∵eq\r(2)＋eq\r（2)＝2eq\r（2)＞eq\r(6)，∴eq\r（2)＞eq\r（6）－eq\r（2）,即P＞Q；又∵eq\r（6)＋eq\r（3）＞eq\r(7）＋eq\r（2），∴eq\r(6）－eq\r(2)＞eq\r(7)－eq\r(3），即Q＞R。∴P＞Q＞R.3．(1)當b＞0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝b?\f(a,b）＝1；，a>b?\f(a,b)>1；，a<b?\f（a,b)<1.))（2）作商變形判斷與“1”的大小下結論【做一做2－1】＞設log34＝a，log67＝b，則3a＝4,6b＝7，得7×3a＝4×6b＝4×2b×3即3a－b＝eq\f(4×2b,7)，由log67＝b可知，b＞1，所以2b＞2，則3a－b＝eq\f（4×2b,7)＞1，所以a－b＞0，即a＞b,即log34＞log67?！咀鲆蛔?－2】＞＝＝，又∵＞＝1，∴＞1。∴＞.1．作差比較法證明不等式的一般步驟剖析：（1)作差：將不等式左右兩邊的式子看作一個整體進行作差．(2)變形：將差式進行變形，變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方和等等．(3）判斷符號：根據(jù)已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號．(4)結論：肯定不等式成立的結論．若差式的符號不能確定，且與某些字母的取值有關時，需對這些字母進行討論．2．作商比較法中的符號問題的確定剖析：在作商比較法中，eq\f（b，a）＞1b＞a是不正確的，這與a，b的符號有關，比如若a，b＞0，由eq\f(b,a）＞1，可得b＞a，但若a,b＜0，則由eq\f(b，a）＞1得出的反而是b＜a，也就是說，在作商比較法中，要對a，b的符號作出判斷．否則,結論將是錯誤的．對于此類問題，可分為含參數(shù)變量類的和大小固定的，因而也可以通過特殊值的方法進行一定的猜測,進而給出一定的理性推理或證明過程．使用作商比較法時一定要注意不等式兩邊的式子均為正值,若均為負值時，可先同乘以－1，轉化后再進行證明．題型一利用作差比較法證明不等式【例1】已知a≥1，求證：eq\r(a＋1）－eq\r（a）＜eq\r（a)－eq\r(a－1).分析:因不等式兩邊進行分子有理化相減后，可判斷差的符號，故可用作差比較法進行證明．反思：根據(jù)左、右兩邊都含無理式的特點，也可以采取兩邊平方的方法來比較，但是應先判斷兩邊的符號，都大于0時，兩邊平方是等價變形，否則要改變不等號．又因為a≥1,所以不等式兩邊都大于0，故還可以用作商比較法進行證明．題型二利用作商比較法證明不等式【例2】已知a＞0，b＞0，求證：eq\f（a,\r（b）)＋eq\f(b，\r(a））≥eq\r（a）＋eq\r（b）.分析：因為a,b均為正數(shù)，故而不等式左邊和右邊都是正數(shù)，所以可以用作商比較法進行比較．反思：作商比較法的前提條件是兩個數(shù)a，b都大于0，對eq\f（a,b）進行整理，直到能清晰看出eq\f（a,b)與1的大小關系為止．在運算過程中注意運用計算技巧．題型三比較法在綜合題目中的應用【例3】已知數(shù)列{an｝的首項a1＝5,前n項和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N＋)．(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；（2)令f(x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函數(shù)f(x)在點x＝1處的導數(shù)f′(1)，并比較2f′(1)與23n2－13n的大小分析:在比較大小時,作差法的差式與“n"的取值有關，且大小關系隨“n”的變化而變化．反思:此類題是典型的結論不唯一的比較大小的問題．在數(shù)列中，大小問題可能會隨“n"變化而變化．往往n＝1，2，…前幾個自然數(shù)對應的值與后面n≥n0的值大小不一樣，這就要求在解答這樣的題時,要時刻有“大小關系不一定唯一"的念頭，即時刻提醒自己所求解的問題是否需要討論．答案：【例1】證明：∵（eq\r（a＋1）－eq\r（a））－（eq\r(a)－eq\r（a－1)）＝eq\f(1，\r(a＋1)＋\r(a）)－eq\f（1，\r(a)＋\r（a－1）)＝eq\f（\r(a－1)－\r（a＋1)，\r(a＋1）＋\r（a）\r（a)＋\r(a－1））＜0，∴eq\r(a＋1)－eq\r(a)＜eq\r（a）－eq\r(a－1）?！纠?】證明：∵eq\f（\f(a，\r（b）)＋\f（b，\r（a）），\r（a）＋\r（b)）＝eq\f(\f（a,\r(b）)，\r(a)＋\r(b））＋eq\f(\f(b,\r(a）），\r（a）＋\r（b）)＝eq\f（a,\r(ab）＋b）＋eq\f（b,\r（ab）＋a）＝eq\f(a\r(ab）＋a2＋b\r(ab)＋b2，2ab＋a＋b\r(ab））＝eq\f（a2＋b2＋a＋b\r(ab）,2ab＋a＋b\r（ab）)，又∵a2＋b2≥2ab，∴eq\f（a2＋b2＋a＋b\r（ab），2ab＋a＋b\r（ab))≥eq\f(2ab＋a＋b\r（ab),2ab＋a＋b\r（ab））＝1，當且僅當a＝b＞0時取等號．∴eq\f（a,\r(b))＋eq\f（b,\r(a））≥eq\r（a）＋eq\r（b).【例3】（1)證明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5,①∴n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n＋4，②①②兩式相減,得Sn＋1－Sn＝2（Sn－Sn－1）＋1,即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2（an＋1)．當n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1又a1＝5，故a2＝11,從而a2＋1＝2（a1＋1)．故總有an＋1＋1＝2（an＋1),n∈N＋.又∵a1＝5,∴a1＋1≠0,從而eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，即｛an＋1}是以a1＋1＝6為首項，2為公比的等比數(shù)列．(2）解：由(1)可知an＝3×2n－1.∵f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1從而f′(1）＝a1＋2a2＋…＋na＝(3×2－1）＋2(3×22－1）＋…＋n（3×2n－1）＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝3［n×2n＋1－（2＋…＋2n)]－eq\f（nn＋1,2）＝3（n×2n＋1－2n＋1＋2)－eq\f（nn＋1,2)＝3(n－1)·2n＋1－eq\f（nn＋1,2）＋6。則2f′(1)－(23n2－13n＝12（n－1)·2n－12(2n2－n－1）＝12(n－1)·2n－12(n－1)(2n＋1）＝12(n－1)[2n－（2n＋1)］．(＊)當n＝1時,（＊）式＝0，∴2f′（1）＝23n2－13n當n＝2時,(＊)式＝－12＜0，∴2f′(1)＜23n2－13n當n≥3時，n－1＞0，又2n＝（1＋1）n＝Ceq\o\al(0，n）＋Ceq\o\al（1,n)＋…＋Ceq\o\al（n－1,n）＋Ceq\o\al(n，n)≥2n＋2＞2n＋1，∴(n－1)[2n－(2n＋1)］＞0，即(*）式＞0，從而2f′（1)＞23n2－13n1．已知a＞0且a≠1，P＝loga（a3＋1)，Q＝loga(a2＋1）,則P，Q的大小關系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．大小不確定2．下列命題：①當b＞0時,a＞b＞1；②當b＞0時,a＜b＜1；③當a＞0，b＞0時,＞1a＞b；④當ab＞0時,＞1a＞b.其中是真命題的為（)A．①②③ B．①②④ C．④ D．①②③④3．當x＞1時，x3與x2－x＋1的大小關系是__________．4．對于任意的實數(shù)x，求證：x2＋3＞2x。5．已知｛an}是公比為q的等比數(shù)列,且a1，a3，a2成等差數(shù)列．（1)求q的值；（2）設｛bn｝是以2為首項，q為公差的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，當n≥2時，比較Sn與bn的大小,并說明理由．答案：1．AP－Q＝loga（a3＋1)－loga（a2＋1）＝.當0＜a＜1時，0＜a3＋1＜a2＋1，則0＜＜1，∴＞0,即P－Q＞0.∴P＞Q。當a＞1時,a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，∴＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.2．A3．x3＞x2－x＋1∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2（x－1)＋（x－1)＝(x－1)(x2＋1）,且x＞1，∴x－1＞0.又x2＋1＞0，∴x3