數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講一圓周角定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精一圓周角定理1．了解圓心角定理，并能解決問題．2．理解圓周角定理及其兩個推論,并能解決有關(guān)問題．1．圓周角定理文字語言圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半圖形語言符號語言在⊙O中，所對的圓周角和圓心角分別是∠BAC,∠BOC,則有∠BAC＝______∠BOC作用確定圓中兩個角的大小關(guān)系定理中的圓心角與圓周角一定是對著同一條弧，它們才有上面定理中所說的數(shù)量關(guān)系．【做一做1】如圖所示,在⊙O中，∠BAC＝25°，則∠BOC等于（)A．25°B．50°C．30°D．12.5°2．圓心角定理文字語言圓心角的度數(shù)等于它所對____的度數(shù)圖形語言符號語言A，B是⊙O上兩點(diǎn),則弧的度數(shù)等于______的度數(shù)作用確定圓弧或圓心角的度數(shù)【做一做2】如圖所示，兩個同心圓中，的度數(shù)是30°，且大圓的半徑R＝4，小圓的半徑r＝2，則的度數(shù)是__________．3．圓周角定理的推論(1)推論1:同弧或等弧所對的圓周角______；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧______．（2）推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是______；90°的圓周角所對的弦是______．(1)圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等，但并不是“圓心角等于它所對的弧"；（2）“相等的圓周角所對的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中"；（3）由弦相等推出弧相等時,這里的弧要求同是優(yōu)弧或同是劣弧，一般選劣?。?)在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間的相等關(guān)系簡單地說，就是圓心角相等能推出弧相等，進(jìn)而能推出弦相等．【做一做3－1】如圖所示，在⊙O中,∠BAC＝60°，則∠BDC等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【做一做3－2】如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是上的一點(diǎn)，且AC＝4，BC＝3，則⊙O的半徑r等于(）A．eq\f(5,2)B．5C．10D．不確定答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．eq\f（1，2）【做一做1】B根據(jù)圓周角定理，得∠BOC＝2∠BAC＝50°.2．弧∠AOB【做一做2】30°的度數(shù)等于∠AOB，又的度數(shù)等于∠AOB，則的度數(shù)是30°。3．(1)相等相等(2）90°直徑【做一做3－1】C∠BDC＝∠BAC＝60°.【做一做3－2】A∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB＝90°.∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r（42＋32）＝5?！?r＝AB＝5?！鄏＝eq\f（5，2).相等的圓周角所對的弧不一定相等剖析：“相等的圓周角所對的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立的,如圖．若AB∥DG,則∠BAC＝∠EDF，但≠。題型一求線段的長【例題1】如圖,△ABC的三個頂點(diǎn)都在⊙O上，∠BAC的平分線與BC邊和⊙O分別交于點(diǎn)D，E.（1）指出圖中相似的三角形，并說明理由;（2）若EC＝4，DE＝2，求AD的長．分析：（1）本題證三角形相似要用三角形相似的判定定理，而其中角的條件由同弧所對的圓周角相等得出；（2)要求線段長度，先由三角形相似得線段成比例，然后再求其長度．反思：求圓中線段長時，常先利用圓周角定理及其推論得到相似三角形,從而得到成比例線段，再列方程求得線段長．題型二證明線段相等【例題2】如圖，BC為圓O的直徑,AD⊥BC，＝，BF和AD相交于E，求證：AE＝BE。分析：要證AE＝BE，只需在△ABE中證明∠ABE＝∠EAB,而要證這兩個角相等，只需借助∠ACB即可．反思：（1)有關(guān)圓的題目中,圓周角與它所對的弧經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，即欲證圓周角相等，可轉(zhuǎn)化為證明它們所對的弧相等;要證線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明它們所對的弧相等，這是證明圓中線段相等的常見策略．(2)若已知條件中出現(xiàn)直徑，則常用到“直徑所對的圓周角為直角”這一性質(zhì)解決問題．題型三易錯辨析易錯點(diǎn)誤認(rèn)為同弦或等弦所對圓周角相等【例題3】如圖所示，∠BAD＝75°，則∠BCD＝__________。錯解：∵∠BAD和∠BCD所對的弦都是BD，∴∠BAD＝∠BCD．∴∠BCD＝75°。錯因分析：錯解中,沒有注意到圓周角∠BAD和∠BCD所對的弧不相等，導(dǎo)致得到錯誤的結(jié)論∠BAD＝∠BCD．反思：同弦或等弦所對的圓周角不一定相等．當(dāng)弦是直徑時，同弦或等弦所對的圓周角相等,都等于90°；當(dāng)弦不是直徑時,該弦將圓周分成兩條弧:優(yōu)弧和劣弧,若圓周角的頂點(diǎn)同在優(yōu)弧上,或同在劣弧上，同弦或等弦所對的圓周角相等；若一個圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上,另一個圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上，則同弦或等弦所對的圓周角不相等，它們互補(bǔ)（如本題)．答案:【例題1】解：(1)∵AE平分∠BAC,∴∠BAD＝∠EAC。又∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC.∵∠B＝∠E，∠BAE＝∠BCE，∴△ABD∽△CED，△AEC∽△CED.（2)∵△CED∽△AEC,∴eq\f（CE,AE）＝eq\f(ED，EC)?！郈E2＝ED·AE，∴16＝2×AE，∴AE＝8.∴AD＝AE－DE＝6?！纠}2】證明：∵BC是⊙O的直徑,∴∠BAC為直角．又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠ACB.∵＝，∴∠FBA＝∠ACB，∴∠BAD＝∠FBA。∴△ABE為等腰三角形．∴AE＝BE。【例題3】正解：∠BAD是所對的圓周角，∠BCD是所對的圓周角，則所對的圓心角為2×75°＝150°,又和所對圓心角的和是周角360°，∴所對圓心角是360°－150°＝210°,∴所對圓周角∠BCD＝eq\f（1,2）×210°＝105°。1如圖所示，弦AC與BD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，且AB＝10，CD＝5,BP＝8，則PC＝__________。2(2011·湖南高三十二校聯(lián)考)如圖，AC是⊙O的直徑，B是圓上一點(diǎn)，∠ABC的平分線與⊙O相交于點(diǎn)D,已知BC＝1，AB＝eq\r（3），則AD＝__________。3如圖，AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長BD到點(diǎn)C,使AC＝AB,求證：BD＝DC．4已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑,AD的延長線交外接圓于F，求證：＝。5如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E。（1）證明:△ABE∽△ADC；(2）若△ABC的面積S＝eq\f(1,2）AD·AE，求∠BAC的大?。鸢福?．4∵∠A＝∠D，∠C＝∠B,∴△ABP∽△DCP?！鄀q\f(AB，CD）＝eq\f（BP，PC）.∴eq\f（10,5)＝eq\f(8,PC),解得PC＝4.2．如圖所示，連接OD，由于AC是⊙O的直徑，則∠ABC＝90°。又BC＝1，AB＝eq\r(3)，則AC＝eq\r（AB2＋BC2)＝eq\r(12＋(\r（3）)2)＝2，所以O(shè)A＝OD＝eq\f（1,2）AC＝1.又∠AOD＝2∠ABD＝∠ABC＝90°，故△AOD是等腰直角三角形，則AD＝eq\r（2）OA＝eq\r（2)×1＝eq\r（2）。3．證明：如圖,連接AD?！逜B是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AC＝AB，∴BD＝CD。4．分析：轉(zhuǎn)化為證明∠BAE＝∠FAC，再轉(zhuǎn)化為證明△ABE∽△ADC.證明:∵AE是直徑，∴∠ABE＝90°。又∠ADC＝90°,∴∠ADC＝∠ABE。又∠AEB＝∠DCA,∴△ABE∽△ADC。∴∠BAE＝∠FAC，∴＝.5．分析：(1)證明這兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等;（2）利用（1)的結(jié)論，和三角形面積公式的正弦形式，轉(zhuǎn)化為求sin∠BAC.（1）證明:∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD.又∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角,∴∠AEB＝∠A