一第3講 不等式-2021年高考數(shù)學二輪復習高分沖刺之精煉與答題規(guī)范

第3講不等式

［考情分析］1.不等式的解法是數(shù)學的基本功，在許多題目中起到工具作用.2.求最值和不等式

恒成立問題常用到基本不等式3題型多以選擇題、填空題形式考查，中等難度.

考點一不等式的性質與解法

【核心提煉】

I.不等式的倒數(shù)性質

(\)a>b,ab>0=>—<—.

ab

(2)。<0<。=—<—.

ab

cd

2.不等式恒成立問題的解題方法

。次0>々對一切］￡/恒成立Q/a)min>。，x￡/；對一切恒成立氣/U)max<a,X^I.

(2)/U)>g(x)對一切恒成立O當xe/Ht,?r)的圖象在g(x)的圖象的上方.

(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法.

例1⑴若則下列不等式正確的是()

l)p

C.m~<n~D.logmp>\ognp

【答案】D

【解析】方法一設機=1，n^-,p=2,逐個代入可知D正確.

42

方法二對于選項A,因為0<加v〃<l,所以Ov—vl,又p>l,所以0<—故A不正

n\^)

確；對于選項B,KZ竺一絲=生二變"型20=也二㈣>0,所以”，

p-nnn{p-ri)n(p-n)p-nn

故B不正確；對于選項C,由于函數(shù)y=x"在(0,+8)上為減函數(shù)，且0<加<〃<1,所以加一

。>〃一。,故C不正確；對于選項D,結合對數(shù)函數(shù)的圖象可得,當時Jog必>log孫

故D正確.

⑵(2020?北京市昌平區(qū)新學道臨川學校模擬)已知關于x的不等式公TWO的解集是［2,+8),則

關于x的不等式爾十(3。-6)x—3X0的解集是()

A.(-8,-3)U(2,+8)B.(-3,2)

C.(-8,-2)U(3,+°°)D.(-2,3)

【答案】A

【解析】由關于x的不等式以一bWO的解集是[2,+8),得6=2〃且a<0,

則關于x的不等式ax2+(3a—b)x—3b<0可化為x2+x—6>0,

即(x+3)(x—2)>0,解得x<—3或x>2,

所以不等式的解集為(-8,-3)U(2,+8).

易錯提醒求解含參不等式a?+bx+c<0恒成立問題的易錯點

(1)對參數(shù)進行討論時分類不完整，易忽略。=0時的情況.

(2)不會通過轉換把參數(shù)作為主元進行求解.

(3)不考慮a的符號.

3,x<一,

跟蹤演練1⑴己知函數(shù)於)=<]j則不等式寺2+x—2W0的解集是

【答案】{x|-1WxWl}

【解析】由￡/(x)+x—2<0,得

1x>—,

x<—,?

2或.：

3X2+X2<0X2--+X-2<0

x>-

2

-l<x<-x<l

I31

-1Wx<，或J_I,

22

原不等式的解集為國一IWXWI}.

(2)若不等式(42—4)/+(〃+2立―120的解集是空集，則實數(shù)a的取值范圍是()

c6°6、

C.-2,-D.-2,-U{2}

【答案】B

【解析】當/一4=0時，解得a=2或〃=—2,

當a=2時，不等式可化為4x—1》0,解集不是空集，不符合題意；當“=—2時，不等式可

化為-120,此式不成立，解集為空集.

當次一4/0時，要使不等式的解集為空集，

-4<0,6

則有1o.解得一2<“<一.

A=(a+2)2+4(/-4)v05

綜上，實數(shù)。的取值范圍是—2,《).

考點二基本不等式

【核心提煉】

基本不等式求最值的三種解題技巧

⑴湊項：通過調整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值.

(2)湊系數(shù)：若無法直接運用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而利用

基本不等式求最值.

(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開，

A

即化為)，=,〃+----+Bg(x)(AB>0),g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值.

g(x)

例2(1)下列不等式的證明過程正確的是()

A.若a,6GR,則2+巴222.巴=2

ab\ab

4I~4

B.若4<0,則Q+—2—2Ja—=-4

aVa

C.若。，Z?e(0,+°°),則1g〃+lg匕N2

D.若aGR,則2"+2一"22)2"-2-"=2

【答案】D

【解析】由于2b,a2的符號不確定，故選項A錯誤；V?<0,??.?+4-=-(—。)+(——4iW

ahaaJ

一4(當且僅當。=-2時，等號成立)，故B錯誤；由于Iga,Igb的符號

不確定，故選項C錯誤；；2。>0,27>0,...2“+2-"22,2"-2-“=2(當且僅當a=0時,等號

成立)，故選項D正確.

(x+l)(2y+l)

(2)(2019天津)設x>0,y>0,x+2y=5,則的最小值為

【答案】4百

.any(x+l)(2y+l)2xy+2y+x+l2xy+6/—,6./日

【解析】——令』-―尸-----=)—=2yJxy+-P=.由x+2y=5得

J孫yjxyyjxyy/xy

522而，即而W斗，即孫W等，當且僅當x=2y=|?時等號成立.所以2而+

-Y=N22y/^--^==4百,當且僅當2=-^=,即xy=3時取等號，結合“W紀

yjxy\^xyy/xy8

(x+l)(2y+l)

可知，xy可以取到3,故的最小值為4G.

而

易錯提醒運用基本不等式時，一定要注意應用的前提：“一正”“二定"''三相等".所

謂“一正”是指“正數(shù)”；“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相

等”是指滿足等號成立的條件.若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的

條件一致，否則最值取不到.

跟蹤演練2（1）（2020?北京市中國人民大學附屬中學模擬）已知a>0,b>0,且“一6=1,則2。

+」的最小值為.

b

【答案】2c+2

【解析】V>0,b>0,由a—8=1,得a^\+b,：.2a+-^2+2b+-^2+2.2h---2

flbb\b

+20,當且僅當6=2—時，等號成立，.?.2a+*!■的最小值為20+2.

2b

（2）（2020?江蘇）己知SfV+ynia，yWR），則x2+V的最小值是.

4

【答案】-

5

【解析】方法一由題意知y#0.由5/尸+），4=1,

1-V4

可得『=-

5〉

所以,+丁=察+丁=翳

1/o

當且僅當二=49，即y=±半時取等號.

4

所以/+V的最小值為

方法二設f+、2=/>0,則/=/一9.

因為5%斤+;/=1,所以5?—W+y4=i,

所以4）#—5/>2+I=O.

由/=25尸一1620,解得L二舍去）

4

故f+產的最小值為二.

專題強化練

一、單項選擇題

1.不等式（一x+3）（x—1）<0的解集是（）

A.{x|—l<x<3}B.{x|l<x<3）

C.{小<-1或x>3}D.{小<1或x>3}

【答案】D

【解析】不等式即（x—3）（x—1）>0,由二次不等式的解法大于分兩邊可得不等式的解集為

或x>3}.

2.下列命題中正確的是（）

A.若a>b,貝！Ja（r>b（?'

B.若a>6,c<d,則

cd

C.若a>b,c>d,則a—c>〃一4

D.若ab>。,cob,則

ab

【答案】D

【解析】對于A選項，當c=0時，不成立，故A選項錯誤.

當a=l,b=0,c=—2,d=—1時，—,故B選項錯誤.

cd

當a=l,b—0,c—1,d=0時，a—c—b—d,故C選項錯誤.

由不等式的性質知D正確.

3.（2020?北京市昌平區(qū)新學道臨川學校模擬）已知一元二次不等式於）<0的解集為{x|x<-2或

x>3},貝的解集為（）

A.{x|x<-2或x>lg3}B.{x|-2<x<lg3}

C.{x|x>lg3}D.{x|x<lg3}

【答案】D

【解析】一元二次不等式/(x)<0的解集為{x|x<-2或x>3],

則/%)>0的解集為3—2<x<3},

則川0?0可化為一2<l(Tv3,解得x<lg3,

所以所求不等式的解集為以僅<也3}.

4.若公功>0,且仍=1,則下列不等式成立的是（）

.1b,

A.?+—<—<10g2（tz+Z?）

b、?.1

B.—<log2（〃+b）<a+—

,1,b

C.a+—<log2（a+b）<—

「、.1b

D.Iog2（〃+份<〃+4<牙"

【答案】B

【解析】由題意得公

???捺<1,Iog2（o+b）>log22y[ab=1,

篦11

2b>〃+—>〃+/?=>〃+—>log2（a+力.

bb

5.（2018?全國山）設a=logo.20.3,*=log20.3,則（）

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【解析】Va=logo,20.3>logo,21=0,

/?=log20.3<log21=0,/.ab<0.

..?a+h=j_+j_=log。3O.2+log。32=logo.30.4,

ahab

1=logo.30.3>logo.304>logo.31=0,

0<a+b<1,ab<a+b<0.

ab

6.已知心>0,y>0,x+2y+2xy=S,則x+2y的最小值是（）

「-911

A.3B.4C.-D.—

22

【答案】B

【解析】由題意得%+2y=8—?2丫28—(音上)2,當且僅當犬=2>時，等號成立，整理得

(x+2y)2+4(x+2y)—3220,即(x+2y—4)(x+2y+8)20,又x+2y>0,所以x+2y24,所以

x+2y的最小值為4.故選B.

7.已知〃>—1,b>—2,(?+1)0+2)=16,則〃+匕的最小值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】由a>—1,b>—2,得〃+1>0,Z?+2>0,〃+力=(a+l)+(b+2)—322J(a+l)(Z?+2)

-3=2X4—3=5,當且僅當〃+1=力+2=4,即。=3,/?=2時等號成立，所以的最小

值是5.

8.已知正實數(shù)a,b,c滿足2浦+9〃-c=0,則當他取得最大值時，』+'一日的

cabc

最大值為()

9

A.3B.-C.1D.0

4

【答案】C

【解析】由正實數(shù)mb,c滿足。2—2"+處2—c=o,

a22ab.9b24ab

得-------H--------=12-------

一廠/?9b一曰1.cib

當且僅當一=---,即。=36時，一取取&大t值一，

ccc4

又因為a1—2ab+9b2—c=0,

所以此時c=12/?2,

當且僅當〃=1時等號成立.故最大值為1.

二、多項選擇題

9.設段)=lnx,0<〃<h,若p=/(J拓)，7)-=g[A〃)+7(份]，則下列關系式中正

確的是()

A.q—rB.p<qC.p=rD.p>q

【答案】BC

【解析】r=；(Ina+lnb)=p=\ny/ab,p=\n\[ab<q=\n-1^.

10.已知“CZ,關于x的一元二次不等式f-6尤+“W0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則a

的值可以是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】ABC

【解析】方法一設y=f—6x+a,則其圖象為開口向上，對稱軸是x=3的拋物線，如圖所

示.

若關于x的一元二次不等式x2—6x+a<0的解集中有且僅有3個整數(shù)，

(2~—6x2+aW0,

則1,解得5<aW8,

-6xl+a>0,

又aWZ,故a可以為6,7,8.

方法二分離常數(shù)，得aW—f+6x,函數(shù)y=-f+6x的圖象及直線y=a,如圖所示，由圖

易知5<aW8.

11.(2020?威海模擬)若a,人為正實數(shù)，則a泌的充要條件為()

I1

A.—>—B.Ina>lnb

ah

C.alna<b\nbD.a—b<ell—eh

【答案】BD

【解析】對于A,因為a>/?>0,所以故A錯誤；對于B,因為y=lnx在(0,+°O)

ab

上為增函數(shù)，所以a>/?0Olntz>ln%,故B正確；對于C,設y(x)=xlnx,則/(x)=lnx+l(x>0),

令/(x)=0,得x=L當xe伍時(x)<0,於)單調遞減；當xe[L+co]時,/(x)>0,

大用單調遞增，所以不能推出aln“Cln6,故C錯誤；對于D,設g(x)=x-e，(x>0),

貝i]g'(x)=l—e，.因為x>0,所以e*>l,所以g'(x)<0,g(x)在(0,+8)上單調遞減，所以當

a>b>0時，g(a)<g(h),即a—ea<h—eb,即a—h<ea—eb,充分性成立；當a>0,h>0,且a—

*e"-e"時，易證得必要性成立，故D正確.

12.(2020?新高考全國I)已知a>0,b>0,且a+b=l,貝女)

A.a2+b2^-B.2ll~b>-

22

C.k)g2a+log2。2—2D.+\/bV2

【答案】ABD

【解析】因為〃>0,b>0,a+b=l9

所以a-\-b^2\[cib,

當且僅當〃=人=1時，等號成立，即有HW1.

24

122

對于A,a+b=(<a+b)—2ab=\—2ab^\—2X-,故A正確;

42

1

對于B,2"P=2〃r=-X2”9

2

因為a>0,所以2為>1,即2“F>L,故B正確；

2

對于C,Iog2iz+log2z?=log2^^1og2-=-2,故C錯誤；

4

對于D,由(A/^+yjH)2=a+b+2Jah=1+2JalW2,

得y/a+\[bW5/2,故D正確.

三、填空題

13.對于0<〃<1,給出下列四個不等式：①log〃(l+a)<log,(l+1)；②log"(l+a)>k)g,(l+1)；

,141

③。；④+—.其中正確的是.(填序號)

a

【答案】②④

【解析】由于0<。<1,所以函數(shù)yu)=iog6和以無)=/在定義域上都是單調遞減函數(shù)，而且1

+a<\+—,所以②④是正確的.

a

14.當尢￡(0,+8)時，關于x的不等式蛆2—(〃?+1)冗+〃?>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍

是.

【答案】(1,+8)

【解析】?.“￡(0,+°°),"/一(〃z+l)x+m>0恒成立,

/.機(X2—x+1)>X恒成立，

Y

...機—恒成立,

JC-X+1

x1

當x￡(0,+8)時，--------------1------4T=1'

%+X-1r+112V1-1

XH-------1

X

當且僅當X=L,即X=1時取“=”.???加>1