教輔：高考數(shù)學復習練習之解答題8

解答題(八)

17.(2020.山東濟寧嘉祥縣萌山高級中學五模)已知等比數(shù)列｛z｝的公比夕＞1,

且⑶，。3的等差中項為10,42=8.

(1)求數(shù)列他”｝的通項公式；

n

(2)設(shè)及=不求數(shù)列｛瓦｝的前〃項和

Cln

ai(l+</2)=20,

解(1)由題意可得

a\q=8,

：.2g1-5q+2=0.

a\=4,

q>l

0=2,

數(shù)列｛〃”｝的通項公式為an=2/1(〃€N*).

n

幾.cJ_2_2

(2)?！?2〃+1,…=22+23+2彳+…+2〃+]，

121n

,+2〃+1+2〃+2，

上述兩式相減可得畀弓+揖喪+…

11

J_J_J__1_n22"+in〃+2

,-in=21+22+23++2n-2M+1=1-2"+1=]-2"+1,

2

18.(2020.北京高考)在△ABC中，a+b=\\,再從條件①、條件②這兩個條

件中選擇一個作為已知，求：

(Da的值;

(2)sinC和△ABC的面積.

條件①：c=7,cosA=

19

條件②：cosA=g,cosB=諱.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

解選擇條件①：⑴,?,c=7,cosA=-y,a+b=11,

由余弦定理a2=b2+c2-IbccosA,得

/=(11-a)2+72-2(ll一a)X7X(-；),

.,.a=8.

(2),.'cosA=-y?A€(0,71),

_______4r:

/.sinA1_cos2A=

/.AABC的面積S=^?csinA=gx(U-8)X7X砰=6小.

19

選擇條件②：(l).「cosA=w，cos8=A,(0,兀),

/.sinA=-\jl-cos2A=sinB=yj1-cos2B=

ClbCL]1-Q

由正弦定理，得殺^=宿，即踵=；五，??"=6.

816

(2)sinC=sin(A+B)=sia4cos8+sinBcosA

嚕

9甯1

XX-VZ

=+8=4

16

S=^absinC=X6X(11-6)x'=

19.(2020.遼寧大連高三二模)在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城”的過程中，環(huán)保部

門對某市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參

加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分C芮分：100分)數(shù)據(jù),

統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

組另IJ[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2515020025022510050

(1)已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布14.52),〃近似為這1000

人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)，請利用正態(tài)分布

的知識求P(36<ZW79.5)；

(2)在(1)的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機

話費；

②每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率如下表.現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查,

記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列及數(shù)學期望.

贈送的隨機話費(單位：元)2040

概率

4

附：若X?NQi,<r),則P(/z—a<XW〃+<7)=0.6827,PQi—2G〈XJI+2a)=

0.9545,P(/z-3(T<XW〃+3(r)=0.9973.

解(1)由題意可得

35X25+45X150+55X200+65X250+75X225+85X100+95X50

iooo

=65,

又a=14.5,

.,.36=65-29=65-2X14.5=〃-2*79.5=65+14.5="+。，

94=65+29=65+2X14.5=〃+2。，50.5=65-14.5=//-<7,

.'.P(50.5<Z<79.5)=0.6827,

P(36<ZW94)=0.9545,

P(36<ZW79.5)=P(/.i-2a<ZW〃+a)

=P(/i-2(T<ZW")++a)

P(/i-2cr<XW〃+2(T)+P(/i-+a)

=2

0.9545+0.6827

=------2------=°-8186.

(2)根據(jù)題意，可得出隨機變量X的可能取值有20,40,60,80元，

由題可知產(chǎn)(Z</z)=尸(Z2〃)=g,

133

貝P(X=20)=2><4=8>

1113313

P(X=40)=2><4+2X4X4=32'

P(X=60)=2X|X1X1=-^,

P(X=80)=|x|x|=^,

???隨機變量X的分布列如下表所示:

X20406080

31331

p

8321632

3133175

??.隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)=20Xg+40X方+60X而+80X方=5.

20.（2020.山東臨沂二模、棗莊三調(diào)）如圖①，在RtZkABC中，3為直角，AB

TT

=BC=6,EFIIBC,AE=2,沿EF將△4￡：/折起，使=得到如圖②的

幾何體，點。在線段AC上.

(1)求證：平面AE/1平面ABC；

⑵若AEII平面BDF,求直線AF與平面瓦加所成角的正弦值.

解(1)證明：在AABE中，

兀

：AE=2,BE=4,ZAEB=q,

由余弦定理得AB2=AE2+BE1-2AE-BE-cosZAEB=4+16-2X2X4Xy=

12,

：.AB=2y[3,

jr

.-.BE2=A￡2+AB2,：.ZEABJepAELAB,

XEFlBE,EF1AE,AECBE=E,

.?.EF,平面ABE,?「ABU平面ABE,

：.EFX_AB,

XAEHEF=E,AE,EEU平面AEF,「.AB，平面AM,

又ABU平面ABC,二平面AE￡L平面ABC.

（2）解法一：以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AE所在直線為），軸，過

點A垂直于平面A8E的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則A(0,0,0),BQ幣,0,0),E(0,2,0),尸(0,2,2),0(273,0,6),

.-.AF=（0,2,2）,麗=（2小，-2,-2）,元=（2小，0,6）.

連接EC與尸B交于點G,連接。G,

,.,AE//平面BDF,DG為平面AEC與平面BO尸的交線,

.GCDC

：

.AEIIGD,GE=DA)

在四邊形8CEE中，???￡///8C,.,.△EFGsaCBG,

.QC_BC.DC：.AD=^AC,

GE~EF~^'?'DA

設(shè)0(xo,yo,zo),則4D=設(shè),yo,zo),

「理

x（）二2，

由=：Q，得＜y）=0,二0停，°，|

3

[zo=],

.,.訪=(坐,-2,一9

設(shè)平面80尸的法向量為〃=(X,>,Z),

\n-FD=Wx_2y-=0,

則

、n-FB=25x-2y-2z=0,

取x=l,則2=審，y=0,

.?.n=（l,0,?。?/p>

設(shè)直線AF與平面跳邛所成角為仇

制.有麗?m2s&

則sm0=一=4、歷=，

HR同4"

即直線AF與平面3。廠所成角的正弦值為號

解法二：以E為坐標原點，在平面A8E中過E作所的垂線為x軸，EB所

在直線為），軸，族所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

c

"A

貝ljE(0,0,0),/(0,0,2),5(0,4,0),C(0,4,6),A(小，1,0),

:?第=(-小,-1,2),麗=(0,4,-2),AC=(-y/3,3,6).

連接EC,與交于點G,連接。G,

?:AE//平面BDF,OG為平面AEC與平面B。尸的交線,

,GCDC

：

.AEIIDG,GE=DA'

在四邊形BCFE中，???EF//8C,.,.△EFGS2\C3G,

.GCBC.■.^J=3,：.AD=^AC,

GE=EF=3

設(shè)DO,yo,zo),則AO=(xo-小，yo-1,zo),

r不

u-

-vM--=

xoPxo

yo37

-一

由

得

<解

得-

。zo1-

A=-==4

4yo

33

----

k2’<zo2

73

--

42，

竽71

-

=4-2-

設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z),

取y=1,

^n-FB=4y-2z=0,

則z=2,x=-3,

」.〃=(一乎,1,2),

設(shè)直線AF與平面BDF所成角為仇則

.八\AF-n\4巫

sin0==一=------7==-V.

\^F]\n\小義

二直線AF與平面BDF所成角的正弦值為

21.在平面直角坐標系X。)，中，已知拋物線C：x1=2py(p＞Q),過拋物線的焦

點尸且與)，軸垂直的直線與拋物線相交于A,8兩點，且△0A8的周長為2+小.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/過焦點/且與拋物線C相交于M,N兩點，過點M,N分別作拋

物線C的切線伍b,切線/i與/2相交于點P,求|Pf]2-IM/TWW的值.

解⑴由題意，知焦點尸的坐標為(0,勻，將y=g代入拋物線C的方程可求

22

得點A,8的坐標分別為(-p,(p,目，則|AB|=2p,\OA\=\OB\=ylP+^

、行

=2P，可得的周長為2p+小p,貝1J2p+小。=2+小，解得。=1.故拋物

線。的方程為＜=2y.

(2)由(1),知拋物線C的方程可化為＞，=%,求導可得y'=x.設(shè)點M,N的

坐標分別為⑶，V),(以y2),直線/的方程為丁=履+/直線/的斜率顯然存在).

聯(lián)立方程Ix\+X2=2k,

整理，得2日-1=0,財

X\X2=-1,

所以yi+”=k(xi+X2)+1=242+1,y\y2=%源=

因為yi=5+,>'k=X]=xi,所以直線/1的方程為y-另=X1（X-X1）,即丁=

同理可得直線h的方程為y=X2X-

XI+X2

y=x\x-

x=2

聯(lián)立方程＜解得＜

y=X2X-X1X2

則點P的坐標為,，-3).

由拋物線的幾何性質(zhì)，知IMF]=yi+；,\NF\=yi+\,\PF]=

[伙一0)2+(-3-=、幺+1，所以IMFHNFI=+￡!=#"+1cvi+”)

+常+呆(2標+l)+*d+i,所以|PE2_|MFHNF|=0.

22.