江蘇省南通如皋市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析2

江蘇省南通如皋市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.33．若函數(shù)，滿足且，則（）A.1 B.2C.3 D.44．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于5．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（）A. B.C. D.6．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值7．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.328．如圖，M為OA的中點(diǎn)，以為基底，，則實(shí)數(shù)組等于（）A. B.C. D.9．一輛汽車(chē)做直線運(yùn)動(dòng)，位移與時(shí)間的關(guān)系為，若汽車(chē)在時(shí)的瞬時(shí)速度為12，則（）A. B.C.2 D.310．已知點(diǎn)在橢圓上，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.11．圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是A. B.C. D.12．已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則下列和與公差無(wú)關(guān)的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．沈陽(yáng)市某高中有高一學(xué)生600人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生550人，現(xiàn)對(duì)學(xué)生關(guān)于消防安全知識(shí)了解情況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，若抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，則n的值等于________.14．已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________.15．已知點(diǎn)為雙曲線，右支上一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，的角平分線與線段交于點(diǎn)，且滿足，則________；若為線段的中點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______16．過(guò)拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)做拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，則A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為_(kāi)__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線路（如圖所示）.在點(diǎn)與圓弧上的一點(diǎn)（不同于A，B兩點(diǎn)）之間設(shè)計(jì)為直線段小路，在直線段小路的兩側(cè)（注意是兩側(cè)）種植綠化帶；再?gòu)狞c(diǎn)到點(diǎn)設(shè)計(jì)為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內(nèi)側(cè)（注意是一側(cè)）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）.（1）設(shè)(弧度)，將綠化帶總長(zhǎng)度表示為的函數(shù)；（2）試確定的值，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大.(弧度公式：，其中為弧所對(duì)的圓心角)18．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由；若相交，請(qǐng)求出弦長(zhǎng)19．（12分）圓心在軸正半軸上、半徑為2的圓與直線相交于兩點(diǎn)且.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線，圓上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，求直線的方程.20．（12分）已知橢圓的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且軸，，為垂足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線（斜率不為）與橢圓交于兩點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)（其中A在B的上方），過(guò)線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA、OB，l于點(diǎn)P、Q、N（1）試探索PM與NQ長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)P、Q是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，求直線AB的斜率；（3）當(dāng)P、Q不是線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，證明：以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線段NP22．（10分）已知直線，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線平行，設(shè)直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn).（1）求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；（2）若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和B，且圓心C在直線上，求圓C的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題設(shè)易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時(shí)，在上；由時(shí)，在上遞減，值域?yàn)?；令且，則，當(dāng)時(shí)，，即遞增，值域?yàn)?，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上，即遞減，在上，即遞增，此時(shí)值域?yàn)?；?dāng)，即時(shí)存在，而在中，此時(shí)，不合題設(shè)；所以，此時(shí)要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)易知上，只需在上恒有即可.2、D【解析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程，過(guò)A作l的垂線段，結(jié)合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線l：，顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過(guò)A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點(diǎn)P是過(guò)A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為3.故選：D3、C【解析】先取，得與之間的關(guān)系，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算直接求導(dǎo)，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因?yàn)樗?，所以，所?故選：C4、D【解析】由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論5、B【解析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B6、C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)的關(guān)系，可判斷A,B的結(jié)論;根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷、的結(jié)論【詳解】函數(shù)在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)圖象，函數(shù)在時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故正確；由A的分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)處取得極小值，故正確，故選：7、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D8、B【解析】根據(jù)空間向量減法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以實(shí)數(shù)組故選：B9、D【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因?yàn)?，所以又汽?chē)在時(shí)的瞬時(shí)速度為12，即即，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】由，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得，得出，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，可得，所以，因?yàn)?，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因?yàn)?，所以，即又由，所以，解?故選：B.11、A【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，兩圓的相交弦的垂直平分線即為直線，其方程為，即；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程、兩圓的相交弦問(wèn)題；處理直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，往往結(jié)合平面幾何知識(shí)（如本題中，求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過(guò)兩圓的圓心的直線方程）可減小運(yùn)算量.12、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，，，，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、33【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槌槿×艘粋€(gè)容量為n的樣本，其中高三學(xué)生有11人，所以有，故答案為：3314、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為3，故答案為：3.15、①.②.【解析】過(guò)作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，由向量共線定理可得；再由角平分線性質(zhì)定理和雙曲線的定義、結(jié)合余弦定理和離心率公式，可得所求值【詳解】解：過(guò)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由，得，由角平分線定理；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由雙曲線的定義，，所以，，，在中，由余弦定理，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)定理和余弦定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題16、8【解析】設(shè)，，，，由可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切線的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，三點(diǎn)共線時(shí)距離最小，進(jìn)而求出最小值【詳解】解：設(shè)，，，，由可得，所以，所以直線，的方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，，又有在準(zhǔn)線上，所以，所以，設(shè)直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，可得，所以可得，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即直線恒過(guò)焦點(diǎn)，即直的方程為：，代入拋物線的方程：，，所以，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離之和，所以當(dāng)時(shí)，距離之和最小且為8，這時(shí)直線平行于軸故答案為：8三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長(zhǎng)公式求出弧的長(zhǎng)度，則可得函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中，所以由于則弧的長(zhǎng)為（2）由（1）可知，令得，因?yàn)樗?，?dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，使得綠化帶總長(zhǎng)度最大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：仔細(xì)審題，注意題目中的關(guān)鍵詞“兩側(cè)”和“一側(cè)”是解題關(guān)鍵.18、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得【小問(wèn)2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為1設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設(shè)其交點(diǎn)為A，B，則，即19、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸正半軸上、半徑為2，所以設(shè)方程為：，圓心，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)椋杂校蛏崛?，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，圓的半徑為，因?yàn)橹本€，所以設(shè)直線的方程為，因?yàn)閳A上僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以直線與該圓相離，當(dāng)兩平行線間的距離為，于是有：，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：，符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時(shí)直線的方程為.當(dāng)兩平行線間的距離為，于是有：，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：，不符合題意；當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為：：，不符合題意，此時(shí)直線的方程為.故直線方程為或.20、（1）（2）【解析】（1）利用△∽△構(gòu)造齊次方程，求出離心率，再利用焦距即可求出橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理求出和，利用幾何關(guān)系可知，即可得，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求得點(diǎn)坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的焦距為，∴，即，軸，∴，則,由，，則△∽△，∴，即，整理得，即，解得或（舍去）∴，∴，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，且，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，，則，，∵，∴，∴,∴，∴，即.21、（1），證明見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程及，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得出直線的斜率；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論及求根公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合的表達(dá)式，結(jié)合圖形可知,由的范圍和的取值即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè)直線的方程為，則，消去，得，，，所以直線的方程為，由因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，同理，，,所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻、Q是線段MN的三等分點(diǎn)，所以，，，又，，所以，所以，解得或（舍）所以直線AB的斜率為.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，，得