2024-2025學年新教材高中數學第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3第2課時平面與平面垂直的性質教學用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE第2課時平面與平面垂直的性質素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學法指導1．駕馭面面垂直的性質定理.(直觀想象)2．能利用面面垂直得到線面垂直.(邏輯推理)面面垂直的性質定理中的條件“有始終線垂直于這兩個平面的交線”既為證明指明白方向，又有很強的約束性，因此運用定理時，肯定要留意定理的條件.必備學問·探新知學問點平面與平面垂直的性質定理文字語言兩個平面垂直，假如一個平面內有始終線垂直于這兩個平面的__交線__，那么這條直線與另一個平面__垂直__符號語言α⊥β，α∩β＝l，__a?α__，__a⊥l__?a⊥β圖形語言[學問解讀]對面面垂直的性質定理的理解(1)定理成立的條件有三個：①兩個平面相互垂直；②直線在其中一個平面內；③直線與兩平面的交線垂直.(2)定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直.(3)已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直.關鍵實力·攻重難題型探究題型一平面與平面垂直的性質及應用典例1如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形.側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G為AD邊的中點.求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.[證明](1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.[歸納提升]若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質定理將其轉化為線面垂直、線線垂直.應用面面垂直的性質定理，留意三點：①兩個平面垂直是前提條件；②直線必需在其中一個平面內；③直線必需垂直于它們的交線.【對點練習】?如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[證明](1)在平面ABD內，AB⊥AD，EF⊥AD.則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.∵AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AD⊥AC.題型二線線、線面、面面垂直的綜合典例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A，D，N三點的平面交PC于M，E為AD的中點.求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[證明](1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中點，∴點M為PC的中點.∴MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又∵E為AD的中點，∴MN∥DE且MN＝DE.∴四邊形DENM為平行四邊形.∴EN∥DM，且DM?平面PDC.∴EN∥平面PDC.(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵側面PAD是正三角形，且E為中點，∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.[歸納提升]垂直關系的轉化在關于垂直問題的論證中要留意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化.每一種垂直的判定都是從某一垂直起先轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：【對點練習】?如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.求證：(1)PA⊥平面ABC；(2)當E為△PBC的垂心時，△ABC是直角三角形.[證明](1)在平面ABC內任取一點D，作DF⊥AC于點F，作DG⊥AB于點G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.同理可證，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長交PC于點H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.易錯警示對面面垂直的條件把握不精確致誤典例3已知兩個平面垂直，有下列命題：①一個平面內的一條直線必垂直于另一個平面內的隨意一條直線；②一個平面內的一條直線必垂直于另一個平面內的多數條直線；③一個平面內的隨意一條直線必垂直于另一個平面；④過平面內隨意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題的個數是(C)A．3 B．2C．1 D．0[錯解]B[錯因分析]④中過一個平面內隨意一點作交線的垂線，并沒有說明這一垂線肯定在平面內.[正解]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1平面AA1D1D⊥平面ABCD.對于①，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，且夾角為60°，故①錯誤；②明顯正確；對于③，AD1?平面AA1D1D，但AD1與平面ABCD不垂直，故③錯誤；對于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，過點D作AD的垂線，假設為C1D，易證C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD明顯不成立，故④錯誤.綜上，正確命題的個數為1．[誤區(qū)警示]對于④，很簡單認為是正確的而錯選B“兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直”與“兩個平面垂直，過一個平面內隨意一點作交線的垂線，則此垂線與另一個平面垂