（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專題9.6 直線與圓錐曲線（含答案及解析）

專題9.6直線與圓錐曲線題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題題型三三角形（四邊形）問(wèn)題題型四中點(diǎn)弦問(wèn)題題型五求參數(shù)范圍及最值問(wèn)題題型六定點(diǎn)問(wèn)題題型七定值問(wèn)題題型八定直線問(wèn)題題型九圓錐曲線的切線問(wèn)題題型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）已知直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．（2023春·上海浦東新·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定練習(xí)1．（2022秋·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學(xué)校考期中）直線：與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交練習(xí)2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條練習(xí)3．（2021秋·高三單元測(cè)試）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．練習(xí)4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為_(kāi)_____．練習(xí)5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5題型二 弦長(zhǎng)問(wèn)題例3．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4例4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3練習(xí)6．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)________．練習(xí)7．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則_____________．練習(xí)8．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．練習(xí)9．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條練習(xí)10．（2023春·上海奉賢·高三?？茧A段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，過(guò)點(diǎn)，離心率直線l:被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)為，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)的值.題型三 三角形（四邊形）問(wèn)題例5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）正方形ABCD的邊AB在直線上，C、D兩點(diǎn)在拋物線上，則正方形ABCD的面積為_(kāi)_________．例6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．練習(xí)11．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)和面積．練習(xí)12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于，，，四點(diǎn).若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．練習(xí)13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，且，的內(nèi)切圓半徑為4，的面積為9，則（

）

A．18 B．32 C．50 D．14練習(xí)14．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是______________.練習(xí)15．（2023秋·高二單元測(cè)試）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積等于__________．題型四 中點(diǎn)弦問(wèn)題例7．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為_(kāi)________．例8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．練習(xí)16．（2023秋·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中?？计谀┰O(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．練習(xí)17．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的直線的斜率為，則等于（）A． B． C． D．練習(xí)18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍為_(kāi)_____．練習(xí)19．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）不與軸重合的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為_(kāi)________.練習(xí)20．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為_(kāi)________．題型五 求參數(shù)范圍及最值問(wèn)題例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，為左準(zhǔn)線上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例10．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上三點(diǎn)A，B，C，且當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習(xí)21．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中）已知拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)線段AB的中點(diǎn)M作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F，則的最大值為_(kāi)_______．練習(xí)22．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是平面向量，，若非零向量滿足，向量滿足，則的軌跡方程為_(kāi)_________；的最小值為_(kāi)_________.練習(xí)23．（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考期末）若點(diǎn)依次為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，，.若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_________.練習(xí)24．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．練習(xí)25．（2023春·四川德陽(yáng)·高三德陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線按照伸縮變換后得到曲線方程(1)求曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于相異的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍題型六 定點(diǎn)問(wèn)題例11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，和交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)使？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.例12．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若所在直線l的方程為．(1)求拋物線S的方程；(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線S上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足．試說(shuō)明動(dòng)直線是否過(guò)定點(diǎn)．練習(xí)26．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)中，設(shè)，，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線l與軌跡W交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)．練習(xí)27．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.練習(xí)28．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）雙曲線的離心率為，分別是的左，右頂點(diǎn)，是上異于的一動(dòng)點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)______________.練習(xí)29．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)____________.練習(xí)30．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)M，N,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．題型七 定值問(wèn)題例13．（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）橢圓的焦距為為橢圓右焦點(diǎn)，.

(1)求橢圓的方程與離心率；(2)設(shè)為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為.直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線與直線交于點(diǎn).求證：.例14．（安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中點(diǎn)為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線，在直線上任取一點(diǎn)，連接與雙曲線相交于點(diǎn)，求證點(diǎn)到直線的距離是定值.練習(xí)31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．練習(xí)32．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P是橢圓C上異于的一點(diǎn)，且直線PA、PB分別與y軸和x軸交于點(diǎn)，求證：為定值．練習(xí)33．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且，，成等差數(shù)列.(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的上方），PQ的中點(diǎn)為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.練習(xí)34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，求出定值.練習(xí)35．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)E），直線分別交直線于點(diǎn)M，N．(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知O為原點(diǎn)，求證：為定值．題型八 定直線問(wèn)題例15．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切．(1)求p的值：(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)36．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上．練習(xí)37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：（p>0），過(guò)點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．練習(xí)38．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點(diǎn)，為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為．過(guò)點(diǎn)且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點(diǎn)．(1)求Γ的方程；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME，NF的交點(diǎn)在定直線上．練習(xí)39．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程．(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問(wèn)點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．練習(xí)40．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問(wèn)點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由．題型九 圓錐曲線的切線問(wèn)題例17．（2023秋·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)直線上的點(diǎn)作拋物線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.例18．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的切線方程為；(3)若點(diǎn)M為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作該橢圓的切線MA，MB，切點(diǎn)分別為，求△的面積的最小值．練習(xí)41．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知A，B為拋物線上兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的兩條切線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A，B的直線斜率為，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，則______.練習(xí)42．（2023秋·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為2.記的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)若是曲線上一點(diǎn),且點(diǎn)不在軸上.作于點(diǎn),證明:曲線在點(diǎn)處的切線過(guò)的外心.練習(xí)43．（2023秋·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為2.記M的軌跡為曲線E.(1)求E的方程；(2)若P是曲線E上一點(diǎn)，且點(diǎn)P不在x軸上，作PQ⊥l于點(diǎn)Q，證明：曲線E在點(diǎn)P處的切線過(guò)△PQA的外心.練習(xí)44．（2023春·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)在線段上，且滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.練習(xí)45．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？级＃┰O(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，，若與交于點(diǎn)P，且滿足，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8

專題9.6直線與圓錐曲線題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題題型三三角形（四邊形）問(wèn)題題型四中點(diǎn)弦問(wèn)題題型五求參數(shù)范圍及最值問(wèn)題題型六定點(diǎn)問(wèn)題題型七定值問(wèn)題題型八定直線問(wèn)題題型九圓錐曲線的切線問(wèn)題題型一 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）已知直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用判別式研究即可.【詳解】聯(lián)立，消去得，當(dāng)時(shí)，方程有解，即直線與雙曲線有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，解得或.故選：C.例2．（2023春·上海浦東新·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)直線方程可得直線過(guò)定點(diǎn)，判斷點(diǎn)與橢圓C的位置關(guān)系即可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于直線，整理得，令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn).∵，則點(diǎn)在橢圓C的內(nèi)部，所以直線l與橢圓C相交.故選：A.練習(xí)1．（2022秋·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學(xué)?？计谥校┲本€：與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相切或相交【答案】A【分析】方法1：先求含參直線l恒過(guò)定點(diǎn)M，研究定點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系可判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系；方法2：代數(shù)法，聯(lián)立直線l與橢圓方程，消參后可由判斷出直線l與橢圓的位置關(guān)系.【詳解】方法1：∵，即：，∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)，又∵橢圓∴，∴定點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，∴直線l與橢圓相交.方法2：∴恒成立，∴直線l與橢圓相交.故選：A.練習(xí)2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【分析】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，使得方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求出對(duì)應(yīng)的的取值個(gè)數(shù)即可.【詳解】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程為僅有一解，符合題意；當(dāng)時(shí)，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C練習(xí)3．（2021秋·高三單元測(cè)試）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】聯(lián)立方程組得到，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，分類討論，即可求解.【詳解】聯(lián)立方程組，整理得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，具體為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，由，即，可得且，此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；由，即，可得，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；由，即，可得或，此時(shí)直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；綜上可得：當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).練習(xí)4．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為_(kāi)_____．【答案】【詳解】

設(shè)雙曲線的半焦距為，，根據(jù)題意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，則．設(shè)，，則，，兩式相減可得，所以．設(shè)，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，，又，所以．故答案為：.練習(xí)5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5【答案】B【分析】令，問(wèn)題化為與有交點(diǎn)情況下，直線在x軸上截距最大，聯(lián)立方程求相切情況下m值，即可得最大值.【詳解】令，則直線與有交點(diǎn)情況下，直線在x軸上截距最大，假設(shè)直線與橢圓相切，則，即，所以，可得，即，要使在x軸上截距最大，即.故選：B.題型二 弦長(zhǎng)問(wèn)題例3．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖所示，由題得，利用拋物線的定義化簡(jiǎn)即得解.【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.所以.故選：C

例4．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先求過(guò)左焦點(diǎn)的通徑長(zhǎng)度，由橢圓的性質(zhì)：過(guò)左焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)最短為通徑長(zhǎng)，最長(zhǎng)為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合已知弦長(zhǎng)判斷直線的條數(shù)即可.【詳解】左焦點(diǎn)為，若直線垂直x軸，則直線為，代入橢圓方程得，可得，此時(shí)通徑長(zhǎng)，所以，由橢圓性質(zhì)知：的直線有僅只有一條.故選：B練習(xí)6．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】在橢圓中，，，則，故點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，由題意可知，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，.故答案為：.練習(xí)7．（2023·北京·人大附中校考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，則_____________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義有，結(jié)合已知即可求參數(shù)p的值.【詳解】由拋物線定義知：，而AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故答案為：練習(xí)8．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解最值.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)直線為，設(shè),聯(lián)立，則，故所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：A練習(xí)9．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】設(shè)直線方程與雙曲線聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式解方程判斷根的個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得雙曲線左焦點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于橫軸時(shí)，不符合題意，雙曲線漸近線方程為；故可設(shè)，與雙曲線聯(lián)立可得，，由弦長(zhǎng)公式知，則或.故存在四條直線滿足條件.故選：D練習(xí)10．（2023春·上海奉賢·高三?？茧A段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，過(guò)點(diǎn)，離心率直線l:被橢圓C所截得的弦長(zhǎng)為，(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓C的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即可作答.（2）聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用弦長(zhǎng)公式求解作答.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)，則橢圓C的短半軸長(zhǎng)為2，設(shè)其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由離心率得：，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，設(shè)直線l被橢圓C所截弦的端點(diǎn)，于是，，解得，滿足條件，所以.題型三 三角形（四邊形）問(wèn)題例5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）正方形ABCD的邊AB在直線上，C、D兩點(diǎn)在拋物線上，則正方形ABCD的面積為_(kāi)_________．【答案】18或50【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由正方形的特征建立等量關(guān)系求解即可.【詳解】如圖：

設(shè)，，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以，化為?由正方形可得，所以②，①②聯(lián)立化為.解得或或（舍）或（舍）.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)正方形的面積為18.當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)正方形的面積為50.故答案為：18或50.例6．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.練習(xí)11．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)和面積．【答案】的周長(zhǎng)為，面積為．【分析】利用橢圓定義和焦點(diǎn)三角形性質(zhì)即可求得的周長(zhǎng)為，寫(xiě)出直線的方程并與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理，寫(xiě)出面積表達(dá)式即可求得面積為.【詳解】如下圖所示：

由橢圓方程可知，根據(jù)橢圓定義可知，所以的周長(zhǎng)為，即的周長(zhǎng)為；易知，又直線的傾斜角為，則，所以直線的方程為，設(shè)聯(lián)立整理可得，由韋達(dá)定理可知；由圖可知的面積為；所以的周長(zhǎng)為，面積為練習(xí)12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與雙曲線的兩條漸近線分別交于，，，四點(diǎn).若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件得出，在直角中，利用幾何條件得出，再結(jié)合條件得出，再聯(lián)立圓的方程和漸近線方程求出四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與雙曲線的兩條漸近線分別交于，，，四點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，，又為的中點(diǎn)，所以在直角中，，所以，所以漸近線，即，又，所以，故以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，即，同理可得，由雙曲線的對(duì)稱性，易知四邊形為矩形，所以四邊形的面積為.故選：A.練習(xí)13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)，且，的內(nèi)切圓半徑為4，的面積為9，則（

）

A．18 B．32 C．50 D．14【答案】C【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法及相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比練習(xí)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以為直角三角形，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)榈拿娣e為9，所以，因?yàn)?，所以，所以．易知，所以，所以．故選：C.練習(xí)14．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是______________.【答案】128【分析】由題意可得，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線：，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出，由于直線，互相垂直，可得，用同樣的方法求出，根據(jù)四邊形的面積公式和均值不等式，即可求其最小值.【詳解】由題意可得，直線的斜率存在且不為0，

設(shè)直線：，，，由于直線，互相垂直，則，聯(lián)立，整理得，則，，從而，同理可得，四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即四邊形ADBE面積的最小值是128，故答案為：128.練習(xí)15．（2023秋·高二單元測(cè)試）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積等于__________．【答案】【分析】先根據(jù)題意求得的方程，再聯(lián)立拋物線方程得到關(guān)于的一元二次方程，從而求得，再結(jié)合即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，

因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，直線的傾斜角為，故，則為：，即，聯(lián)立，消去得，即，易得，則，所以，.故答案為：.題型四 中點(diǎn)弦問(wèn)題例7．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）直線截橢圓所得弦的中點(diǎn)M與橢圓中心連線的斜率為_(kāi)________．【答案】/【分析】根據(jù)題意利用點(diǎn)差法分析運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得，因?yàn)樵跈E圓上，則，兩式相減得，整理得，即所以.故答案為：.例8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對(duì)于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.練習(xí)16．（2023秋·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中?？计谀┰O(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系以及韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，所以該直線的斜率不等于0，所以可假設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，所以所以，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，所以，所以，故選：B.練習(xí)17．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)的直線的斜率為，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)差法計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，M、N中點(diǎn)為D，則，由題意得：因?yàn)镸、N在橢圓上，則，兩式相減整理得，∴.故選：B.練習(xí)18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】先求出雙曲線方程，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程表示出，然后判斷出直線和雙曲線一定交于兩支后進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題知，解得，即雙曲線的方程為：.直線的斜率若不存在，則垂直于軸，由于雙曲線頂點(diǎn)為，斜率不存在的直線和雙曲線有交點(diǎn)，則兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)相等且均大于，與點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1矛盾；直線的斜率也不會(huì)為，否則根據(jù)對(duì)稱性可知，的橫坐標(biāo)為，矛盾.故直線斜率存在且非零.設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得到，由.設(shè)，由題意，，即，的縱坐標(biāo)為，即.根據(jù)雙曲線的范圍可知，若直線和雙曲線交于同一支，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)均大于或小于，與的橫坐標(biāo)為矛盾，故直線和雙曲線交于兩支.由，得到，顯然滿足判別式條件：.由，于是故答案為：練習(xí)19．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┎慌c軸重合的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為_(kāi)________.【答案】【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，故，則.故答案為：練習(xí)20．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為_(kāi)________．【答案】【分析】求出及其表達(dá)式，求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和的值，即可求出橢圓的方程.【詳解】由題意，在橢圓中，一個(gè)焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的方程為,∴，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為,弦中點(diǎn)為∵直線截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.

題型五 求參數(shù)范圍及最值問(wèn)題例9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，為左準(zhǔn)線上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理表達(dá)出，結(jié)合不等式即可求解最值.【詳解】由題意可知：，左準(zhǔn)線方程為，故設(shè)，則,當(dāng)在軸上，此時(shí)為0，時(shí)當(dāng)不在軸時(shí)，在中，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，由于,故最大為，故選：B例10．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上三點(diǎn)A，B，C，且當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)題意分析可得，換元，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可設(shè)：，因?yàn)?，因?yàn)椋瑒t，且，則，可得，整理得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則；綜上所述：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是.故選：A.練習(xí)21．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上，過(guò)線段AB的中點(diǎn)M作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】/【分析】由題設(shè)可得且，再結(jié)合基本不等式求的最大值，注意取值條件.【詳解】假設(shè)拋物線如下圖示，由題設(shè)：，則，，，即，以AB為直徑的圓過(guò)F，所以，所以，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：練習(xí)22．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是平面向量，，若非零向量滿足，向量滿足，則的軌跡方程為_(kāi)_________；的最小值為_(kāi)_________.【答案】【分析】第一空，建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；第二空利用動(dòng)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算求最值即可.【詳解】根據(jù)題意不妨設(shè)，，則，，由可得；而，由題意得，如圖所示，設(shè)則，問(wèn)題式即求拋物線上一點(diǎn)到直線距離最小值，由對(duì)稱性不妨求到直線距離最小值即.即的最小值為.

練習(xí)23．（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考期末）若點(diǎn)依次為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，，.若雙曲線C上存在點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【分析】由題意可得，結(jié)合點(diǎn)P在雙曲線上，可得，利用雙曲線的x的范圍可推出，再結(jié)合，即得答案.【詳解】設(shè)雙曲線上的點(diǎn)滿足，即，即，又，，即，，且，，則，，又，實(shí)數(shù)b的取值范圍是，故答案為：.練習(xí)24．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意方程求得，設(shè)，利用傾斜角的概念以及兩角差的正切公式，基本不等式，正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得：，則，所以.因?yàn)辄c(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，不妨設(shè),設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的最大值是.故選:A.練習(xí)25．（2023春·四川德陽(yáng)·高三德陽(yáng)五中校考階段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，曲線按照伸縮變換后得到曲線方程(1)求曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于相異的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)伸縮變換的規(guī)律可知將代入曲線中，即可得曲線的方程；（2）設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，再利用即可得出，將代入橢圓方程聯(lián)立可解得，再由橢圓性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍為.【詳解】（1）由伸縮變換可知；將代入得，即曲線的方程為．（2）如下圖所示：

設(shè)，，由得，從而，，即，因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，故，即，又在橢圓上，即，解得，由橢圓定義知，故，解得，又由題設(shè)知，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．題型六 定點(diǎn)問(wèn)題例11．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，和交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)使？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）利用已知條件表示出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線，的方程，聯(lián)立即可得出點(diǎn)軌跡方程.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組，得出，，由整理得出，對(duì)恒成立，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得，直線方程為：，直線方程為：，兩式移項(xiàng)相乘得：，整理得，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即其方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組消得，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，即，，，，，，整理得：，，對(duì)恒成立，，得，，所以存在定點(diǎn)坐標(biāo)為或.例12．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若所在直線l的方程為．(1)求拋物線S的方程；(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線S上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足．試說(shuō)明動(dòng)直線是否過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）設(shè)拋物線的方程為，聯(lián)立方程組，設(shè)，則，和，再設(shè)，由重心的性質(zhì)，求得，代入拋物線方程求得的值，即可求解；（2）當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線的方程為，因?yàn)椋O(shè)，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求得，得到直線恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí)，由，得到為等腰直角三角形，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，由，可得或，設(shè)，則，所以，設(shè)，由的重心為，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）解：當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線的方程為，顯然，因?yàn)?，所以，設(shè)，所以，所以，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，所以?dòng)直線的方程為，此時(shí)動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然軸，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，由和，得到，此時(shí)直線也過(guò)定點(diǎn)，綜上可得，動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).練習(xí)26．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)中，設(shè)，，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線l與軌跡W交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)直線恒過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）直接求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程即可；（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)出直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立求解即可.【詳解】（1）由題意可得，，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．所以,即，所以.即，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程為：.（2）如圖：

由題意可知直線l的斜率一定存在，故設(shè)直線l的方程為，，，則.由聯(lián)立得，，則或則，.直線的方程為：，所以，所以，所以，所以，即所以，直線恒過(guò)定點(diǎn).練習(xí)27．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)F的直線交E于，兩點(diǎn)，則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使得PA，PB分別交E于另外兩點(diǎn)C，D，且？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線l：的距離，結(jié)合拋物線的定義得出拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，由結(jié)合拋物線方程得出是方程的兩根，設(shè)直線AB的方程為，并與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得出點(diǎn)P坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線l：的距離小，所以點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線l：的距離，則點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線E的方程為.（2）設(shè)，由得：，且，得，即，所以，代入拋物線方程，得，整理得，同理可得故是方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得①，由題意，直線AB的斜率一定存在，故設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，易得，由韋達(dá)定理可得②，由①②可得，故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)滿足條件.

練習(xí)28．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）雙曲線的離心率為，分別是的左，右頂點(diǎn)，是上異于的一動(dòng)點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)______________.【答案】或【分析】根據(jù)離心率可確定雙曲線方程和坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)直線方程可求得坐標(biāo)；設(shè)，由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和雙曲線方程可得，根據(jù)等式恒成立可構(gòu)造方程組求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線的離心率，，即雙曲線，，，設(shè)，則，，直線，，，，設(shè)，則，，，又，，，解得：，定點(diǎn)或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查雙曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，解題的基本思路是根據(jù)已知中的等量關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于所求點(diǎn)的方程，根據(jù)方程恒成立，可讓變量的系數(shù)為零，從而構(gòu)造方程組求得定點(diǎn)坐標(biāo).練習(xí)29．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)____________.【答案】【分析】先根據(jù)漸近線的傾斜角算出，然后聯(lián)立直線和雙曲線，結(jié)合題目條件和韋達(dá)定理找到的關(guān)系，從而得到定點(diǎn).【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為一條漸近線的傾斜角的正切值為.所以，解得，所以雙曲線方程為.設(shè)，，聯(lián)立得，.由韋達(dá)定理得，.因?yàn)?，所?所以，由題意知，此時(shí).所以直線方程為，恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為.故答案為：練習(xí)30．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)M，N,問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用已知條件列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)后即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）先假設(shè)存在點(diǎn)P，由面積公式得出關(guān)系式，根據(jù)角相等消去三角函數(shù)得比練習(xí)式，整理得出方程式，解方程即得.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由直線與的斜率之積等于，得，化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.（2）若存在點(diǎn)P使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，因?yàn)?，所以，?作直線，作于，于，則，所以，同理，所以可得，整理得，解得；因?yàn)?，所?故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

題型七 定值問(wèn)題例13．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓的焦距為為橢圓右焦點(diǎn)，.

(1)求橢圓的方程與離心率；(2)設(shè)為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為.直線與直線交于點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線與直線交于點(diǎn).求證：.【答案】(1)，.(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題知,,求得,再由,即可求橢圓的方程與離心率.（2）設(shè)的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)，求得坐標(biāo)，求得直線的方程，分別取得，點(diǎn)坐標(biāo)，則，，在和中和都與互余，所以.【詳解】（1）橢圓的焦距為，所以，，又，所以，橢圓的方程是，離心率為.（2）由（1）得.設(shè)的中點(diǎn)為，.設(shè)直線的方程為:，將其代入橢圓方程，整理得，所以，所以，，即，所以直線的斜率是，所以直線的方程是，令得，直線的方程是，令得，由，得直線的斜率是，所以，記垂足為;因?yàn)橹本€的斜率是，所以，記垂足為.在和中，和都與互余，所以.

例14．（安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中點(diǎn)為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為，若，.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線，在直線上任取一點(diǎn)，連接與雙曲線相交于點(diǎn)，求證點(diǎn)到直線的距離是定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，列出方程求得，再由，求得，即可求得雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，得到直線的方程，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，根據(jù)，取得，得到直線的方程為，設(shè)，根據(jù)共線，求得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】（1）解：由雙曲線，可得焦點(diǎn)，其中一條漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離為，解得，又由，可得，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：由雙曲線，可得，設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，即，由題意，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上，可設(shè)點(diǎn)，又由，可得，解得，即直線的方程為，設(shè)，由點(diǎn)共線，可得，即，得，即點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.即點(diǎn)到直線的距離為定值.

練習(xí)31．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）設(shè)過(guò)原點(diǎn)作圓的切線，利用圓心到直線的距離等于半徑得到，利用韋達(dá)定理及得到，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，即可求出半徑；（2）設(shè)，，由，可得，再由點(diǎn)在橢圓上得到，，即可得到，從而求出的值.【詳解】（1）設(shè)直線，的方程分別為，，過(guò)原點(diǎn)作圓的切線，則，即，即，所以，即，所以.（2）是定值，且，理由如下：設(shè)，，因?yàn)椋?，即①，又、在橢圓上，所以，，所以，，代入①可得，化簡(jiǎn)得，所以，所以.練習(xí)32．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P是橢圓C上異于的一點(diǎn)，且直線PA、PB分別與y軸和x軸交于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得，代入可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，利用三點(diǎn)共線斜率相等即可求得點(diǎn)得的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出的表達(dá)式，結(jié)合化簡(jiǎn)可得.【詳解】（1）由右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)可得，，所以；即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知，由點(diǎn)P是異于的一點(diǎn)，設(shè)，則；設(shè)，由三點(diǎn)共線得，即，可得所以；由三點(diǎn)共線得，即，得，所以．故．因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，代入即得為定值．練習(xí)33．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，且，，成等差數(shù)列.(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的右支交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q的上方），PQ的中點(diǎn)為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意和可得，然后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上即可求解；（2）依題意可設(shè)PQ：，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到，利用韋達(dá)定理和已知條件求出的表達(dá)式，然后求出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可求證.【詳解】（1）因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，又，所以.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入C的方程得，解得，所以，所以C的方程為.（2）依題意可設(shè)PQ：，由，得,

設(shè)，，，則.，，則，而，所以，所以是定值.練習(xí)34．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，求出定值.【答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）延長(zhǎng)與交于，根據(jù)，得到，再設(shè)，利用雙曲線的定義求解；（2）設(shè)，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設(shè)直線方程為，聯(lián)立求得即可.【詳解】（1）解：如圖所示：

延長(zhǎng)與交于，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，，故方程為；（2）設(shè)，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設(shè)直線方程為，將漸近線兩側(cè)平方與直線聯(lián)立，則可得，則，則，故.練習(xí)35．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知是拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)E），直線分別交直線于點(diǎn)M，N．(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知O為原點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由于在拋物線上，代入求解即可；（2）設(shè)出直線的方程聯(lián)立拋物線的方程，表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，由，求證為定值即可.【詳解】（1）因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，即，所以拋物線方程為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.（2）證明：如圖：

設(shè)，，，,設(shè)直線l方程為，直線l方程與拋物線方程聯(lián)立得消去，整理得：，恒成立.則，，又直線的方程為：，即.令，得，則，同理可得，則，.所以.所以，即，為定值.題型八 定直線問(wèn)題例15．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過(guò)的焦點(diǎn)且與相切．(1)求p的值：(2)點(diǎn)M在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在上，在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定直線方程為.【分析】（1）設(shè)直線l1的方程為，再根據(jù)直線和圓相切求出的值得解；（2）依題意設(shè)，求出切線l2的方程和B點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，即得證.【詳解】（1）由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線l1的方程為，由已知得圓的圓心，半徑，因?yàn)橹本€l1與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以.（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)A，），則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為所以切線l2的方程為．令，即l2交y軸于B點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，∴，∴．設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，所以點(diǎn)N在定直線上．

例16．（2023春·安徽滁州·高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)1(2)是在定直線上，定直線【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組得到，設(shè)，，，利用點(diǎn)差法即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，設(shè)直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理聯(lián)立直線與直線的方程得出，進(jìn)而得證.【詳解】（1）由題意得，所以，設(shè)，，，則，作差得，又MN的斜率，，所以.（2）∵，∴，，，直線l：，，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，所以，設(shè)直線AN：，BM：，所以，所以．故存在定直線，使直線AN與直線BM的交點(diǎn)G在定直線上．練習(xí)36．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AM，AN，BC，BD分別垂直于坐標(biāo)軸，垂足依次為M，N，C，D．(1)若矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，求的值；(2)求證：直線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)4；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)A，B坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理計(jì)算作答.（2）利用（1）中信息，求出直線MN，CD的方程，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可推理作答.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，由消去x并整理得，，設(shè)點(diǎn)，，則，，矩形ANOM和矩形BDOC面積分別為，，所以．（2）由（1）得，，，，于是得直線MN的方程為：，直線CD的方程為：，由消去y并整理得：，而，因此有，即直線MN與直線CD交點(diǎn)在直線上.所以線MN與直線CD交點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及用過(guò)定點(diǎn)的直線l解決問(wèn)題，若直線l不垂直于x軸，可設(shè)其方程為：；若直線l不垂直于y軸，可設(shè)其方程為：.練習(xí)37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：（p>0），過(guò)點(diǎn)的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)．當(dāng)l1的斜率為時(shí)，(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G必在定直線上．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線方程，與拋物線聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式，求出的值，從而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為或，與拋物線聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理得出，，求出直線方程和直線方程，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，得方程為，由,消元得，，，；由弦長(zhǎng)公式得，即，解得或（舍去），滿足，從而的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）法一：因?yàn)閘1，l2分別交E于AB兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，所以直線斜率存在設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，消去得，則.設(shè)直線的方程為，同理，消去得可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．法二：設(shè)直線方程為，由消去得，設(shè)，則．設(shè)直線的方程為，同理可得．直線方程為，即，化簡(jiǎn)得，同理，直線方程為，．因?yàn)樵趻佄锞€的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證的橫坐標(biāo)為定值即可．由消去，因?yàn)橹本€與相交，所以，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即直線與的交點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中的證明問(wèn)題的關(guān)鍵是：設(shè)出直線的橫截距或者縱截距方程，聯(lián)立拋物線，結(jié)合韋達(dá)定理，把目標(biāo)逐步化簡(jiǎn)，得出待證明的結(jié)論.練習(xí)38．（2023春·黑龍江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線Γ：，，為Γ的左、右頂點(diǎn)，為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為．過(guò)點(diǎn)且不垂直于x軸的直線l與Γ交于M，N兩點(diǎn)．(1)求Γ的方程；(2)若點(diǎn)E，F(xiàn)為直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的不重合兩點(diǎn)，證明：直線ME，NF的交點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)；(2)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由題可知，根據(jù)條件列出方程組，進(jìn)而即得；（2）設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立雙曲線方程求得，再由直線和的方程，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）由題意得，又為Γ上一點(diǎn)，的斜率與的斜率之積為，所以，解得，所以雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線MN的方程為，由，可得，則，，設(shè)，，，，，所以，直線：，：，聯(lián)立兩方程，可得：，解得，當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，則，：，：，聯(lián)立可得，綜上，直線ME與NF的交點(diǎn)在定直線上.練習(xí)39．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程．(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（異于點(diǎn)A，B），記直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，試問(wèn)點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)M在定直線上【分析】（1）根據(jù)左右頂點(diǎn)及點(diǎn)在橢圓上列式求解寫(xiě)書(shū)橢圓方程即可；（2）先設(shè)直線方程再聯(lián)立方程組求韋達(dá)定理，再求兩個(gè)直線的交點(diǎn)，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)即得.【詳解】（1）設(shè)橢圓E的方程為．則，解得，故橢圓E的方程為．（2）依題可設(shè)直線l的方程為，，，．聯(lián)立方程組，整理得，則，直線AP的方程為，直線BQ的方程為，聯(lián)立方程組，得由，得，得．所以.故點(diǎn)M在定直線上．練習(xí)40．（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問(wèn)點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)在定直線上，理由見(jiàn)詳解.【分析】（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可；（2）由對(duì)稱性分析該定直線為平行于橫軸的直線，將直線MN與橢圓聯(lián)立消，設(shè)直線AN、BM的方程解出G縱坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)榍€C是橢圓，所以，解得；.（2）是在定直線上，理由如下：當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓，設(shè)點(diǎn)與直線l聯(lián)立得，，且，所以易知，則，兩式作商得是定值，故G在定直線上.

題型九 圓錐曲線的切線問(wèn)題例17．（2023秋·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為且.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)直線上的點(diǎn)作拋物線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，求點(diǎn)到直線的距離的最大值.【答案】(1)(2)最大值為5【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義和可求方程；（2）聯(lián)立方程，根據(jù)相切可求切線方程，進(jìn)而得到的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求答案.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.（2）記，，則可設(shè)直線，由消去并整理得，則由題意得，又得，所以直線的方程為，同理，直線的方程為，若設(shè)，則，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離，即，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閯t即，所以且；綜上，.所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為5.例18．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的切線方程為；(3)若點(diǎn)M為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作該橢