（圓夢高考數(shù)學）專題10.7二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布（含答案及解析）

題10.7二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布題型一兩點分布題型二超幾何分布題型三二項分布題型四二項分布的概率最大問題題型五二項分布與超幾何分布的綜合題型六正態(tài)分布求概率題型七正態(tài)分布的對稱題型八正態(tài)分布的實際應用題型一 兩點分布例1．隨機變量服從兩點分布，且，令，則（

）A． B． C． D．例2．已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為_____．練習1．已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足，且，則（

）A． B． C． D．練習2．某企業(yè)擬定4種改革方案，經統(tǒng)計它們在該企業(yè)的支持率分別為，，，，用“”表示員工支持第種方案，用“”表示員工不支持第種方案，那么方差，，，的大小關系為（

）A．B．C．D．練習3．（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．練習4．（多選）隨機變量服從兩點分布，若，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．練習5．已知隨機變量服從兩點分布，且，，那么_____．題型二 超幾何分布例3．（多選）某單位推出了道有關二十大的測試題供學習者學習和測試，乙能答對其中的道題，規(guī)定每次測試都是從這道題中隨機抽出道，答對一題加分，答錯一題或不答減分，最終得分最低為分，則下列說法正確的是（

）A．乙得分的概率是 B．乙得分的概率是C．乙得分的概率是 D．乙得分的概率是例4．某研究小組為研究經常鍛煉與成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有體育鍛煉習慣的有45人．經調查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析成績優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關系．經常鍛煉不經常鍛煉合計合格25優(yōu)秀10合計100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828練習6．第三十一屆世界大學生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕．來自113個國家和地區(qū)的6500名運動員在此屆運動會上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團結、友誼的新篇章．外國運動員在返家時紛紛購買紀念品，尤其對中國的唐裝頗感興趣．現(xiàn)隨機對200名外國運動員（其中男性120名，女性80名）就是否有興趣購買唐裝進行了解，統(tǒng)計結果如下：有興趣無興趣合計男性運動員8040120女性運動員404080合計12080200(1)是否有的把握認為“外國運動員對唐裝感興趣與性別有關”；(2)按分層抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名運動員作進一步采訪，記3名運動員中男性有名，求的分布列與數(shù)學期望．參考公式：臨界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828練習7．某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．練習8．一個口袋中有4個白球，2個黑球，每次從袋中取出一個球(1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；(2)若不放回的取3次球，求取出白球次數(shù)X的分布列及.練習9．某公司生產一種電子產品，每批產品進入市場之前，需要對其進行檢測，現(xiàn)從某批產品中隨機抽取9箱進行檢測，其中有5箱為一等品.(1)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.練習10．下表為某班學生理科綜合能力測試成績（百分制）的頻率分布表，已知在分數(shù)段內的學生人數(shù)為21.`分數(shù)段頻率0.10.150.20.20.150.1*(1)求測試成績在分數(shù)段內的人數(shù)；(2)現(xiàn)欲從分數(shù)段內的學生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為，求分數(shù)段內男生的人數(shù)；(3)若在分數(shù)段內的女生為4人，現(xiàn)欲從分數(shù)段內的學生中抽出3人參加培優(yōu)小組，為分配到此組的3名學生中男生的人數(shù)．求的分布列及期望題型三 二項分布例5．某地區(qū)對某次考試成績進行分析，隨機抽取100名學生的A，B兩門學科成績作為樣本．將他們的A學科成績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達到70分為良好．已知他們中B學科良好的有50人，兩門學科均良好的有40人．

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為這次考試學生的A學科良好與B學科良好有關；B學科良好B學科不夠良好合計A學科良好A學科不夠良好合計(2)用樣本頻率估計總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學生中隨機抽取3人，記這3人中A，B學科均良好的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072例6．近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，已逐漸成為社交平臺發(fā)展的新方向，同時出現(xiàn)了利用短視頻平臺進行直播銷售的模式.已知甲公司和乙公司兩家購物平臺所售商品類似，存在競爭關系.現(xiàn)對某時段100名觀看過這兩家短視頻的用戶與使用這兩家購物平臺購物的情況進行調查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司購物平臺選擇乙公司購物平臺合計用戶年齡段為歲302050用戶年齡段為歲203050合計5050100(1)能否有的把握認為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關？(2)為了了解用戶觀看兩家短視頻后選擇哪家公司購物的原因，用頻率近似概率，從觀看過這兩家短視頻的年齡段為1924歲和2534歲的用戶中各抽取2名用戶進行回訪，求抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2的概率.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828練習11．某數(shù)學興趣小組設計了一個開盲盒游戲：在編號為1到4號的四個箱子中隨機放入獎品，每個箱子中放入的獎品個數(shù)滿足，每個箱子中所放獎品的個數(shù)相互獨立．游戲規(guī)定：當箱子中獎品的個數(shù)超過3個時，可以從該箱中取走一個獎品，否則從該箱中不取獎品．每個參與游戲的同學依次從1到4號箱子中取獎品，4個箱子都取完后該同學結束游戲．甲、乙兩人依次參與該游戲．(1)求甲能從1號箱子中取走一個獎品的概率；(2)設甲游戲結束時取走的獎品個數(shù)為，求的概率分布與數(shù)學期望；(3)設乙游戲結束時取走的獎品個數(shù)為，求的數(shù)學期望．練習12．設甲、乙兩位同學上學期間，每天之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．(1)用表示甲同學上學期間的三天中之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列；(2)設為事件“上學期間的三天中，甲同學在之前到校的天數(shù)比乙同學在之前到校的天數(shù)恰好多”，求事件發(fā)生的概率．練習13．某公司使用甲、乙兩臺機器生產芯片，已知每天甲機器生產的芯片占產量的六成，且合格率為；乙機器生產的芯片占產量的四成，且合格率為，已知兩臺機器生產芯片的質量互不影響.現(xiàn)對某天生產的芯片進行抽樣.(1)從所有芯片中任意抽取一個，求該芯片是不合格品的概率；(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機抽取3個芯片，記其中由乙機器生產的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學期望.練習14．卡塔爾世界杯的吉祥物“拉伊卜”引發(fā)網友和球迷喜愛，并被親切地稱為“餃子皮”.某公司被授權銷售以“拉伊卜”為設計主題的精制書簽.該精制書簽的生產成本為50元/個，為了確定書簽的銷售價格，該公司對有購買精制書簽意向的球迷進行了調查，共收集了200位球迷的心理價格來估計全部球迷的心理價格分布.這200位球迷的心理價格對應人數(shù)比練習分布如下圖：

若只有在精制書簽的銷售價格不超過球迷的心理價格時，球迷才會購買精制書簽.公司采用常見的饑餓營銷的方法刺激球迷購買產品，規(guī)定每位球迷最多只能購買一個該精制書簽.設每位球迷是否購買該精制書簽相互獨立，精制書簽的銷售價格為元/個().(1)若，已知某時段有3名球迷有購買意向而咨詢公司，設為這3名球迷中購買精制書簽的人數(shù)，求的分布列和期望；(2)假設共有名球迷可能購買該精制書簽，請比較當精制書簽的售價分別定為70元和80元時，哪種售價對應的總利潤的期望最大?練習15．“雙減”政策執(zhí)行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.(1)估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學生中隨機選取人，記表示這人一周參加課后活動的時間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.題型四 二項分布的概率最大問題例7．若，則取得最大值時，_____.例8．某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查，得到的情況如表所示：用時/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立．若該興趣小組在全市范圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6練習16．設隨機變量，記，．在研究的最大值時，某學習小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結論：若為正整數(shù)，當時，，此時這兩項概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當且僅當取的整數(shù)部分時，取最大值．某同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當投擲到第20次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為_____的概率最大．練習17．近年來，隨著智能手機的普及，網絡購物、直播帶貨、網上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為"不喜歡網上買菜".某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100(1)是否有99.9%的把握認為社區(qū)的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關?(2)社區(qū)的市民李華周一、周二均在網上買菜，且周一從，兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為；如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，求李華周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數(shù)為，事件“”的概率為，求使取得最大值時的的值.參考公式：，其中.0.10.050.00.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828練習18．為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？練習19．在十余年的學習生活中，部分學生養(yǎng)成了上課轉筆的習慣．某研究小組為研究轉筆與學習成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有45人．經調查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請完成下列22列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的條件下，認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆有關．上課轉筆上課不轉筆合計合格25優(yōu)秀10合計100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調查，記20人中上課轉筆的人數(shù)為的概率為，當取最大值時，求k的值．附：，其中k練習20．某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優(yōu)質果、精品果、禮品果，一般地，果徑越大售價越高.為幫助果農創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設計了一套方案，并在兩片果園中進行對比實驗，其中實驗園采用實驗方案，對照園未采用.實驗周期結束后，分別在兩片果園中各隨機選取100個果實，按果徑分成5組進行統(tǒng)計：（單位：mm）.統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達到36mm及以上的為“大果”.

(1)估計實驗園的“大果”率；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個，再從這10個果實中隨機抽取3個，記其中“大果”的個數(shù)為X，求X的分布列；(3)以頻率估計概率，從對照園這批果實中隨機抽取n（，）個，設其中恰有2個“大果”的概率為，當最大時，寫出n的值.題型五 二項分布與超幾何分布的綜合例9．2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評比活動，學生會成員隨機抽取了12間寢室進行量化評估，其中有4間寢室被評為優(yōu)秀寢室.(1)現(xiàn)從這12間寢室中隨機抽取3間，求有1間優(yōu)秀的概率；(2)以這12間寢室的評估情況來估計全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀的寢室間數(shù)，求X的分布列和期望.例10．某學校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.(1)假設30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學校全體男生中隨機選取3人，記為3人中身高不超過的人數(shù)，以頻率估計概率求的分布列及數(shù)學期望；(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.練習21．2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動，某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100名參賽學生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學生中，使用分層抽樣抽取10個學生，問各抽取多少人？(2)在（1）條件下，再從這10學生中抽取6人進行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(3)以這100名參賽學生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.練習22．某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設置了抽獎環(huán)節(jié)．在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案．抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是．”(1)求抽獎者獲獎的概率；(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值．練習23．某試驗機床生產了12個電子元件，其中8個合格品，4個次品．從中隨機抽出4個電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個數(shù)．(1)若有放回的抽取，求X的分布列與期望；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比練習與總體中合格品的比練習之差的絕對值不超過的概率．練習24．甲、乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，至少得15分才能入選.甲乙兩人的答題情況相互獨立(1)求甲得分的分布列和數(shù)學期望；(2)求甲、乙兩人同時入選的概率；練習25．某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試題中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.（1）試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（2）若答對一題得5分，答錯或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列.題型六 正態(tài)分布求概率例11．已知某工廠生產零件的尺寸指標，單位為.該廠每天生產的零件尺寸在的數(shù)量為818600，則可以估計該廠每天生產的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A．1587 B．2275 C．2700 D．1350例12．一批燈泡的使用時間（單位：小時）服從正態(tài)分布，則這批燈泡使用時間在內的概率是_____．練習26．甲?乙兩地舉行數(shù)學聯(lián)考，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：甲地學生的成績，乙地學生的成績.下圖分別是其正態(tài)分布的密度曲線，則（

）（若隨機變量，則，，）

A．甲地數(shù)學的平均成績比乙地的高 B．甲地數(shù)學成績的離散程度比乙地的小C． D．若，則練習27．某田地生長的小麥的株高服從正態(tài)分布，則（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，）A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759練習28．（多選）已知在一次數(shù)學測驗中，某校1000學生的成績服從正態(tài)分布，其中90分為及格線，120分為優(yōu)秀線，則對于該校學生成績，下列說法正確的有(參考數(shù)據(jù)：①；②；③（

）A．標準差為100B．及格率超過C．得分在內的人數(shù)約為997D．得分低于80的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等練習29．（多選）裝疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，這種玻璃有較好的平均線膨脹系數(shù)（簡稱：膨脹系數(shù)）．某玻璃廠有兩條硼硅玻璃的生產線，其中甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，乙生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)，則下列選項正確的是（

）．（附：若，則，，）A．甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)范圍在的概率約為0.7685B．甲生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)比乙生產線所產硼硅玻璃的膨脹系數(shù)數(shù)值更集中C．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)不能超過5，則乙生產線所產硼硅玻璃符合標準的概率更大D．若用于疫苗藥瓶的硼硅玻璃的膨脹系數(shù)為，則甲生產線所產硼硅玻璃符合標準的概率約為乙生產線的2倍練習30．假設某個地區(qū)高二學生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170（單位：，下同），標準差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學生，求這名學生的身高：(1)不高于170的概率；(2)在區(qū)間內的概率；(3)不高于180的概率.題型七 正態(tài)分布的對稱例13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．0 C．2 D．6例14．設隨機變量服從正態(tài)分布，且，，則_____.練習31．（多選）設隨機變量ξ服從正態(tài)分布，若，則下列結論正確的為（

）A． B．C． D．練習32．已知隨機變量，若，則實數(shù)的值為_____.練習33．設隨機變量服從正態(tài)分布，向量與向量的夾角為銳角的概率是，則_____．練習34．已知隨機變量，且其正態(tài)曲線在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且．(1)求參數(shù)，的值．(2)求．附：若，則，練習35．（多選）若，則，．已知，且，則（

）．A． B．C． D．題型八 正態(tài)分布的實際應用例15．零件的精度幾乎決定了產品的質量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業(yè)為了提高零件產品質量，質檢部門隨機抽查了100個零件的直徑進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點值代表）.(1)分別求，的值；(2)試估計這批零件直徑在的概率；(3)隨機抽查2000個零件，估計在這2000個零件中，零件的直徑在的個數(shù).參考數(shù)據(jù)：；若隨機變量，則，，.例16．某校舉辦顛乒乓球比賽，現(xiàn)從高一年級1000名學生中隨機選出40名學生統(tǒng)計成績，其中24名女生平均成績?yōu)?0個，標準差為4；16名男生平均成績?yōu)?0個，標準差為6.(1)高一年級全員參加顛球比賽的成績近似服從正態(tài)分布，若用這40名參賽的同學的樣本平均數(shù)和標準差（四舍五入取整數(shù)）分別作為，，估計高一年級顛球成績不超過60個的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；(2)顛球比賽決賽采用5局3勝制，甲、乙兩名同學爭奪冠亞軍，如果甲每局比賽獲勝的概率為，在甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率.附：若，則，，.練習36．河北省高考從2018年秋季高中入學的新生開始新模式，即模式；2021年開始，高考總成績由語數(shù)外＋物理、歷史（選1門）＋化學、生物、政治、地理（選2門）等六門科目構成．現(xiàn)將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、、B、、C、、D、E共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比練習分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比練習轉換法則，分別轉換到、、、、、、、八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中化學考試原始成績基本服從正態(tài)分布．(1)求化學原始成績在區(qū)間的人數(shù)；(2)按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．（附：若隨機變量，則，，）練習37．根據(jù)以往大量的測量知某加工廠生產的鋼管內徑尺寸X服從正態(tài)分布，并把鋼管內徑在內的產品稱為一等品，鋼管內徑在內的產品稱為二等品，一等品與二等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內的產品作為廢品回收．現(xiàn)從該企業(yè)生產的產品中隨機抽取1000件，測得鋼管內徑的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：

(1)通過檢測得樣本數(shù)據(jù)的標準差，用樣本平均數(shù)x作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，根據(jù)所給數(shù)據(jù)求該企業(yè)生產的產品為正品的鋼管內徑尺寸范圍；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）(2)假如企業(yè)包裝時要求把2個一等品和個二等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同，則該箱產品記為A，否則該箱產品記為B．①試用含n的代數(shù)式表示某箱產品抽檢被記為B的概率p；②設抽檢5箱產品恰有3箱被記為B的概率為，求當n為何值時，取得最大值，并求出最大值．參考數(shù)據(jù)：練習38．十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領廣大農村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經過不懈的奮力拼搏，新農村建設取得巨大進步，農民年收入也逐年增加，為了制定提升農民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；(2)由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農民收入X服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經計算得，利用該正態(tài)分布，求：①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準，則最低年收入大約為多少千元？②為了調研“精準扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1000位農民.若每位農民的年收入互相獨立，記這1000位農民中的年收入高于千元的人數(shù)為，求.附參考數(shù)據(jù)：，若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，.練習39．全面建設社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨最繁重的任務仍然在農村，強國必先強農，農強方能國強．某市為了解當?shù)剞r村經濟情況，隨機抽取該地2000戶農戶家庭年收入x（單位：萬元）進行調查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求這2000戶農戶家庭年收入的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）．(2)由直方圖可認為農戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．①估計這2000戶農戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結果保留整數(shù)）②如果用該地區(qū)農戶家庭年收入的情況來估計全市農戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農戶家庭中隨機抽取4戶，即年收入不超過9.52萬元的農戶家庭數(shù)為，求．（結果精確到0.001）附：①；②若，則，；③．練習40．某商場在五一假期間開展了一項有獎闖關活動，并對每一關根據(jù)難度進行賦分，競猜活動共五關，規(guī)定：上一關不通過則不進入下一關，本關第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機會，兩次均未通過，則闖關失敗，且各關能否通過相互獨立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項闖關活動.(1)若甲第一關通過的概率為，第二關通過的概率為，求甲可以進入第三關的概率；(2)已知該闖關活動累計得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.①假設該闖關活動平均分數(shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；②丙得知他的分數(shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關活動平均分數(shù)為201分，351分以上共有57人”，請結合統(tǒng)計學知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?附：若隨機變量，則；；.

專題10.7二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布題型一兩點分布題型二超幾何分布題型三二項分布題型四二項分布的概率最大問題題型五二項分布與超幾何分布的綜合題型六正態(tài)分布求概率題型七正態(tài)分布的對稱題型八正態(tài)分布的實際應用題型一 兩點分布例1．隨機變量服從兩點分布，且，令，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點分布的性質求出，則.【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，由，所以.故選：D例2．已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為．【答案】【分析】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設，所以，由題意可求出，所以可求出．【詳解】因為離散型隨機變量X服從兩點分布，設，所以，所以，代入有：，解得：，，因為離散型隨機變量X服從兩點分布，所以.故答案為：.練習1．已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點分布的性質可得，結合題意求得，再根據(jù)兩點分布的期望公式即可得解.【詳解】解：因為隨機變量X的分布列服從兩點分布，所以，則，解得或，又因，所以，則，所以.故選：C.練習2．某企業(yè)擬定4種改革方案，經統(tǒng)計它們在該企業(yè)的支持率分別為，，，，用“”表示員工支持第種方案，用“”表示員工不支持第種方案，那么方差，，，的大小關系為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意可知：隨機變量服從兩點分布，由兩點分布的方差公式可解.【詳解】由題意可知：用“”表示員工支持第種方案，用“”表示員工不支持，第種方案，所以隨機變量服從兩點分布，則，，，，所以，D選項正確.故選：D練習3．（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求出，即可求出、，再根據(jù)期望與方差的性質計算可得.【詳解】依題意，所以，所以，.所以，，，所以AB選項正確，CD選項錯誤.故選：AB練習4．（多選）隨機變量服從兩點分布，若，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)兩點分布的定義以及期望，方差的性質即可解出．【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，，所以，故，因此，，，所以正確的是ABD．故選：ABD．練習5．已知隨機變量服從兩點分布，且，，那么．【答案】/0.5【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.【詳解】由題意可知或，由于，所以，故答案為：題型二 超幾何分布例3．（多選）某單位推出了道有關二十大的測試題供學習者學習和測試，乙能答對其中的道題，規(guī)定每次測試都是從這道題中隨機抽出道，答對一題加分，答錯一題或不答減分，最終得分最低為分，則下列說法正確的是（

）A．乙得分的概率是 B．乙得分的概率是C．乙得分的概率是 D．乙得分的概率是【答案】ABC【分析】根據(jù)古典概型概率公式結合組合數(shù)計算即可.【詳解】設乙的得分為，則由題意的所有可能取值為0，10，25，40，所以，，，，故選：ABC例4．某研究小組為研究經常鍛煉與成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有體育鍛煉習慣的有45人．經調查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析成績優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關系．經常鍛煉不經常鍛煉合計合格25優(yōu)秀10合計100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列．附：，其中．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；成績優(yōu)秀與是否經常體育鍛煉有關聯(lián)(2)分布列見解析【分析】（1）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，求得的值，結合附表，即可得到結論；（2）根據(jù)題意，求得抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，得到服從超幾何分布，得出的可能值，求得相應的概率，列出分布列.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表經常鍛煉不經常鍛煉合計合格254570優(yōu)秀201030合計4555100零假設：成績是否優(yōu)秀與是否經常體育鍛煉無關，可得．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以的把握認為成績優(yōu)秀與是否經常體育鍛煉有關聯(lián).（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為0，1，2，3可得，，，所以隨機變量分布列為X0123P練習6．第三十一屆世界大學生夏季運動會于2023年8月8日晚在四川省成都市勝利閉幕．來自113個國家和地區(qū)的6500名運動員在此屆運動會上展現(xiàn)了青春力量，綻放青春光彩，以飽滿的熱情和優(yōu)異的狀態(tài)譜寫了青春、團結、友誼的新篇章．外國運動員在返家時紛紛購買紀念品，尤其對中國的唐裝頗感興趣．現(xiàn)隨機對200名外國運動員（其中男性120名，女性80名）就是否有興趣購買唐裝進行了解，統(tǒng)計結果如下：有興趣無興趣合計男性運動員8040120女性運動員404080合計12080200(1)是否有的把握認為“外國運動員對唐裝感興趣與性別有關”；(2)按分層抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，再從中任意抽取3名運動員作進一步采訪，記3名運動員中男性有名，求的分布列與數(shù)學期望．參考公式：臨界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)沒有的把握認為“外國運動員對唐裝感興趣與性別有關(2)分布列見解析，期望為2【分析】（1）根據(jù)卡方的計算即可求解，（2）由超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.【詳解】（1）由已知故沒有的把握認為“外國運動員對店裝感興趣與性別有關”（2）按分層抽樣的方法抽取6名對唐裝有興趣的運動員，則其中男性運動員4名，女性運動員2名，則的分布列如下表123練習7．某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【分析】（1）由頻率分布直方圖概率之和為求出，再由頻率直方圖中位數(shù)的計算方法求解即可；（2）求出的可能取值，及其對應的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學期望公式即可得出答案.【詳解】（1）由直方圖可知，解得．因為，，所以學員該項技能的評價指標的中位數(shù)在內．設學員該項技能的評價指標的中位數(shù)為，則，解得．（2）由題意可知抽取的12名學員中該項技能的評價指標在內的有4名，在內的有8名．由題意可知的所有可能取值為．，，，，，則的分布列為01234練習8．一個口袋中有4個白球，2個黑球，每次從袋中取出一個球(1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的條件下，第二次取出的是黑球的概率；(2)若不放回的取3次球，求取出白球次數(shù)X的分布列及.【答案】(1)(2)分布列見解析，2【分析】（1）問題相當于“從3個白球，2個黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，進而求得.（2）不放回的依次取出3個球，則取到白球次數(shù)X的可能取值為1，2，3，計算出各自對應的概率，求得X的分布列，從而利用公式求得．【詳解】（1）問題相當于“從3個白球，2個黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以所求概率；（2）不放回的依次取出3個球，則取到白球次數(shù)X的可能取值為1，2，3，則；；.則X的分布列為：故.練習9．某公司生產一種電子產品，每批產品進入市場之前，需要對其進行檢測，現(xiàn)從某批產品中隨機抽取9箱進行檢測，其中有5箱為一等品.(1)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若從這9箱產品中隨機抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）有古典概型概率計算公式以及組合數(shù)的計算即可求解.（2）利用超幾何分布的知識求得分布列以及期望.【詳解】（1）設從這9箱產品中隨機抽取的3箱產品中至少有2箱是一等品的事件為，則，因此從這9箱產品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率為.（2）由題意可知的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得，，，，所以的分布列為：0123所以.練習10．下表為某班學生理科綜合能力測試成績（百分制）的頻率分布表，已知在分數(shù)段內的學生人數(shù)為21.`分數(shù)段頻率0.10.150.20.20.150.1*(1)求測試成績在分數(shù)段內的人數(shù)；(2)現(xiàn)欲從分數(shù)段內的學生中抽出2人參加物理興趣小組，若其中至少有一名男生的概率為，求分數(shù)段內男生的人數(shù)；(3)若在分數(shù)段內的女生為4人，現(xiàn)欲從分數(shù)段內的學生中抽出3人參加培優(yōu)小組，為分配到此組的3名學生中男生的人數(shù)．求的分布列及期望【答案】(1)6(2)2(3)分布列見解析，【分析】（1）利用在分數(shù)段內的學生數(shù)為21人求出高二年級某班學生總數(shù)，再利用頻率和為1求出，兩數(shù)相乘可得答案；（2）設男生有人，根據(jù)抽出2人這2人都是男生的概率為，解得可得答案；（3）求出在分數(shù)段內的學生人數(shù)及男生人數(shù)，可得的取值及對應的概率，可得分布列和期望.【詳解】（1）某班學生共有人，因為，所以，所以測試成績在分數(shù)段內的人數(shù)為人.（2）由（1）知在分數(shù)段內的學生有6人，設男生有人，若抽出2人至少有一名男生的概率為，則，解得，所以在分數(shù)段內男生有2人.（3）在分數(shù)段內的學生有人，所以男生有2人，X的取值有，，，，X的分布列為012.題型三 二項分布例5．某地區(qū)對某次考試成績進行分析，隨機抽取100名學生的A，B兩門學科成績作為樣本．將他們的A學科成績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達到70分為良好．已知他們中B學科良好的有50人，兩門學科均良好的有40人．

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為這次考試學生的A學科良好與B學科良好有關；B學科良好B學科不夠良好合計A學科良好A學科不夠良好合計(2)用樣本頻率估計總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學生中隨機抽取3人，記這3人中A，B學科均良好的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072【答案】(1)填表見解析，有95%把握認為A學科良好與B學科良好有關(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算可得出A學科良好的人數(shù)，進而即可得出2×2列聯(lián)表.根據(jù)公式計算得出的值，比較即可根據(jù)獨立性檢驗得出答案；（2）根據(jù)（1）得出AB學科均良好的概率，可知.然后計算得出取不同值的概率，列出分布列，根據(jù)期望公式即可得出答案.【詳解】（1）由直方圖可得A學科良好的人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表如下：B學科良好B學科不夠良好合計A學科良好403070A學科不夠良好102030合計5050100假設：A學科良好與B學科良好無關，，所以有95%把握認為A學科良好與B學科良好有關．（2）AB學科均良好的概率，X的可能取值為0，1，2，3，且．所以，，，．所以X的分布列為X0123P因為，所以．例6．近年來，短視頻作為以視頻為載體的聚合平臺，社交屬性愈發(fā)突出，在用戶生活中覆蓋面越來越廣泛，已逐漸成為社交平臺發(fā)展的新方向，同時出現(xiàn)了利用短視頻平臺進行直播銷售的模式.已知甲公司和乙公司兩家購物平臺所售商品類似，存在競爭關系.現(xiàn)對某時段100名觀看過這兩家短視頻的用戶與使用這兩家購物平臺購物的情況進行調查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司購物平臺選擇乙公司購物平臺合計用戶年齡段為歲302050用戶年齡段為歲203050合計5050100(1)能否有的把握認為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關？(2)為了了解用戶觀看兩家短視頻后選擇哪家公司購物的原因，用頻率近似概率，從觀看過這兩家短視頻的年齡段為1924歲和2534歲的用戶中各抽取2名用戶進行回訪，求抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2的概率.參考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有的把握認為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關聯(lián)(2)【分析】（1）根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)，由卡方的計算公式，結合獨立性檢驗的思想即可寫結論；（2）由題意，根據(jù)二項分布的定義和二項分布求概率公式計算即可求解.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，則，所以有的把握認為使用哪家購物平臺購物與觀看這兩家短視頻的用戶的年齡有關聯(lián).（2）設從觀看過這兩家短視頻的年齡段為19~24歲的用戶中抽取的2名用戶中選擇甲公司購物的人數(shù)為，則.設從觀看過這兩家短視頻的年齡段為25~34歲的用戶中抽取的2名用戶中選擇甲公司購物的人數(shù)為，則.設“抽出的4人中選擇甲公司購物的人數(shù)恰好為2”為事件A，則.因為，，，所以.練習11．某數(shù)學興趣小組設計了一個開盲盒游戲：在編號為1到4號的四個箱子中隨機放入獎品，每個箱子中放入的獎品個數(shù)滿足，每個箱子中所放獎品的個數(shù)相互獨立．游戲規(guī)定：當箱子中獎品的個數(shù)超過3個時，可以從該箱中取走一個獎品，否則從該箱中不取獎品．每個參與游戲的同學依次從1到4號箱子中取獎品，4個箱子都取完后該同學結束游戲．甲、乙兩人依次參與該游戲．(1)求甲能從1號箱子中取走一個獎品的概率；(2)設甲游戲結束時取走的獎品個數(shù)為，求的概率分布與數(shù)學期望；(3)設乙游戲結束時取走的獎品個數(shù)為，求的數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為(3)【分析】（1）先求得，然后求得的概率分布，進而求得甲能從1號箱子中取走一個獎品的概率.（2）根據(jù)二項分布的知識求得的概率分布，進而求得數(shù)學期望.（3）根據(jù)二項分布的期望計算公式求得正確答案.【詳解】（1）因為每個箱子中放入的獎品個數(shù)滿足，所以，則，所以的概率分布為：12345P設事件為甲能從1號箱子中取走一個獎品，則，所以甲能從1號箱子中取走一個獎品的概率為.（2），因為甲能從每個箱子中取走一個獎品的概率為，所以，所以，，X的概率分布為：01234所以X的數(shù)學期望為．或．（3）乙能從箱子中取到獎品必須箱子中最初有5個獎品，即乙能從每個箱子中取走一個獎品的概率為，所以，所以Y的數(shù)學期望為．練習12．設甲、乙兩位同學上學期間，每天之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．(1)用表示甲同學上學期間的三天中之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列；(2)設為事件“上學期間的三天中，甲同學在之前到校的天數(shù)比乙同學在之前到校的天數(shù)恰好多”，求事件發(fā)生的概率．【答案】(1)分布列見解析(2)【分析】（1）根據(jù)二項分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；（2）事件，根據(jù)互斥、獨立事件、和事件概率公式可求得結果.【詳解】（1）由題意知：，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：（2）設乙同學上學期間的三天中之前到校的天數(shù)為，則，事件．由題意知：事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，.練習13．某公司使用甲、乙兩臺機器生產芯片，已知每天甲機器生產的芯片占產量的六成，且合格率為；乙機器生產的芯片占產量的四成，且合格率為，已知兩臺機器生產芯片的質量互不影響.現(xiàn)對某天生產的芯片進行抽樣.(1)從所有芯片中任意抽取一個，求該芯片是不合格品的概率；(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機抽取3個芯片，記其中由乙機器生產的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學期望.【答案】(1)0.056(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求得答案；（2）確定，由二項分布的概率計算可求得分布列，根據(jù)期望公式即可求得數(shù)學期望.【詳解】（1）記事件表示芯片來自甲機器生產，事件表示芯片來自乙機器生產，事件表示取到的是合格品；則.（2）由題意得，，故，所以的分布列為0123故.練習14．卡塔爾世界杯的吉祥物“拉伊卜”引發(fā)網友和球迷喜愛，并被親切地稱為“餃子皮”.某公司被授權銷售以“拉伊卜”為設計主題的精制書簽.該精制書簽的生產成本為50元/個，為了確定書簽的銷售價格，該公司對有購買精制書簽意向的球迷進行了調查，共收集了200位球迷的心理價格來估計全部球迷的心理價格分布.這200位球迷的心理價格對應人數(shù)比練習分布如下圖：

若只有在精制書簽的銷售價格不超過球迷的心理價格時，球迷才會購買精制書簽.公司采用常見的饑餓營銷的方法刺激球迷購買產品，規(guī)定每位球迷最多只能購買一個該精制書簽.設每位球迷是否購買該精制書簽相互獨立，精制書簽的銷售價格為元/個().(1)若，已知某時段有3名球迷有購買意向而咨詢公司，設為這3名球迷中購買精制書簽的人數(shù)，求的分布列和期望；(2)假設共有名球迷可能購買該精制書簽，請比較當精制書簽的售價分別定為70元和80元時，哪種售價對應的總利潤的期望最大?【答案】(1)分布列見解析，(2)當精制書簽的銷售價格定為70元時，對應的總利潤的期望最大【分析】（1）先確定購買該精制書簽的概率，根據(jù)二項分布的概率得分布列與數(shù)學期望；（2）根據(jù)隨機變量之間的關系確定當，時的與的關系，即可判斷得結論.【詳解】（1）當時，由樣本數(shù)據(jù)估計球迷購買該精制書簽的概率為.因每位球迷是否購買該精制書簽相互獨立，∴，X的可能取值為.；其分布列為：0123其期望為.（2）設該公司銷售該精制書簽所得總利潤為元，當時，由樣本數(shù)據(jù)估計球迷購買該精制書簽的概率為，此時；當時，由樣本數(shù)據(jù)估計球迷購買該精制書簽的概率為.此時；∵，所以當精制書簽的銷售價格定為70元時，對應的總利潤的期望最大.練習15．“雙減”政策執(zhí)行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動.某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立.(1)估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學生中隨機選取人，記表示這人一周參加課后活動的時間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算對應的頻率即為所求概率；（2）用頻率估計概率，可知，利用二項分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；根據(jù)二項分布數(shù)學期望公式可求得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知：人中，一周參加課后活動的事件位于區(qū)間的頻率為，用頻率估計概率，全校學生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率為.（2）用頻率估計概率，從全校學生中隨機抽取人，則該人一周參加課后活動的事件在區(qū)間的概率，，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.題型四 二項分布的概率最大問題例7．若，則取得最大值時，.【答案】6或7【分析】根據(jù)已知條件，結合二項分布的概率公式列不等式即可求解．【詳解】由題意可知，服從二項分布，所以，，且，由不等式，即，解得，所以時，，時，，其中當時，，所以或7時，取得最大值．故答案為：6或7．例8．某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查，得到的情況如表所示：用時/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立．若該興趣小組在全市范圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，確定，即可表示出，列不等式組求最大時k的值，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為，設隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為，則，其中，時，；顯然，即不可能為最大值，當時，由得，化簡得，解得，又這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是5，故選：C．練習16．設隨機變量，記，．在研究的最大值時，某學習小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結論：若為正整數(shù)，當時，，此時這兩項概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當且僅當取的整數(shù)部分時，取最大值．某同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當投擲到第20次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．【答案】17【分析】直接根據(jù)服從二項分布，結合取整數(shù)部分可得后面80次出現(xiàn)點數(shù)1的次數(shù)為13概率最大，從而得解.【詳解】繼續(xù)再進行80次投擲試驗，出現(xiàn)點數(shù)為1次數(shù)服從二項分布，由，結合題中結論可知，時概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點數(shù)1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.故答案為：17.練習17．近年來，隨著智能手機的普及，網絡購物、直播帶貨、網上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為“喜歡網上買菜”，不超過3次甚至從不在網上買菜的市民認定為"不喜歡網上買菜".某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網上買菜不喜歡網上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100(1)是否有99.9%的把握認為社區(qū)的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關?(2)社區(qū)的市民李華周一、周二均在網上買菜，且周一從，兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為；如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇平臺買菜的概率為，求李華周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網上買菜的市民人數(shù)為，事件“”的概率為，求使取得最大值時的的值.參考公式：，其中.0.10.050.00.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有99.9%的把握認為社區(qū)的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關.(2)(3)12【分析】（1）根據(jù)題意，計算出的值即可求解；（2）根據(jù)概率的乘法公式求解；（3）利用二項分布求出，然后計算，可得結果.【詳解】（1）零假設社區(qū)的市民是否喜歡網上買菜與年齡無關，由題可得，，所以零假設不成立，所以有99.9%的把握認為社區(qū)的市民是否喜歡網上買菜與年齡有關.（2）周二選擇平臺買菜的情況有：①周一選擇平臺買菜，周二選擇平臺買菜，概率為,②周一選擇平臺買菜，周二選擇平臺買菜，概率為,所以李華周二選擇平臺買菜的概率為.（3）由表知，喜歡網上買菜的頻率為，則,所以設，令，解得，；，解得，所以當時，最大，所以使取得最大值時的的值為12.練習18．為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大【分析】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，的可能值為5，4，3，2，根據(jù)事件相互獨立求出的分布列、數(shù)學期望；（2）設小A每天贏得的局數(shù)為，則，從而得到關于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，這些事件相互獨立，由條件知的可能值為5，4，3，2.；；；.則其分布列為5432所以.（2）設小明每天贏得的局數(shù)為，則易知，于是.假設贏得局的概率最大，則據(jù)條件得，即，整理得，解之得，又因為，所以，因此在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.練習19．在十余年的學習生活中，部分學生養(yǎng)成了上課轉筆的習慣．某研究小組為研究轉筆與學習成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有45人．經調查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請完成下列22列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的條件下，認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆有關．上課轉筆上課不轉筆合計合格25優(yōu)秀10合計100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調查，記20人中上課轉筆的人數(shù)為的概率為，當取最大值時，求k的值．附：，其中k【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆有關.(2)分布列見解析，.(3).【分析】（1）由卡方獨立性檢驗計算可得；（2）由超幾何分布的概率計算公式可得；（3）由二項分布的概率公式，結合求概率最大的方法可得.【詳解】（1）上課轉筆上課不轉筆合計合格254570優(yōu)秀201030合計4555100零假設：成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆無關.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆有關.（2）根據(jù)頻率分布直方圖大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，故由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機抽取5人，合格人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為，故，，，，故分布列為2345.（3）由題意隨機抽取1人則其上課轉筆的概率為，故根據(jù)題意，則，若上課轉筆的人數(shù)為時，最大，則，解得，故，所以當最大時，.練習20．某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優(yōu)質果、精品果、禮品果，一般地，果徑越大售價越高.為幫助果農創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設計了一套方案，并在兩片果園中進行對比實驗，其中實驗園采用實驗方案，對照園未采用.實驗周期結束后，分別在兩片果園中各隨機選取100個果實，按果徑分成5組進行統(tǒng)計：（單位：mm）.統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達到36mm及以上的為“大果”.

(1)估計實驗園的“大果”率；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個，再從這10個果實中隨機抽取3個，記其中“大果”的個數(shù)為X，求X的分布列；(3)以頻率估計概率，從對照園這批果實中隨機抽取n（，）個，設其中恰有2個“大果”的概率為，當最大時，寫出n的值.【答案】(1)60%(2)分布列見解析(3)6【分析】（1）由頻率分布直方圖求出頻率，得到實驗園的“大果”率；（2）求出的可能取值及對應的概率，得到的分布列；（3）根據(jù)，求出n的取值范圍，由求出答案.【詳解】（1）由題中實驗園的頻率分布直方圖得這100個果實中大果的頻率為（，所以估實驗園大果率為60%.（2）由題中對照園的頻率分布直方圖得，這100個果實中大果的個數(shù)為（（采用分層抽樣的方法從對照園選取的100個果實中抽取10個，其中大果有，從這10個果實中隨機抽取3個，其中“大果”的個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，所以X的分布列為X0123P（3）由題可知，要使最大，則且，∴，又∵，∴.題型五 二項分布與超幾何分布的綜合例9．2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評比活動，學生會成員隨機抽取了12間寢室進行量化評估，其中有4間寢室被評為優(yōu)秀寢室.(1)現(xiàn)從這12間寢室中隨機抽取3間，求有1間優(yōu)秀的概率；(2)以這12間寢室的評估情況來估計全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀的寢室間數(shù)，求X的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)公式，結合超幾何分布的概率公式，即可求解；（2）首先由題意可得，再根據(jù)二項分布概率公式，即可求分布列和數(shù)學期望.【詳解】（1）設表示所抽取的3間寢室中有間寢室優(yōu)秀，抽取的3間寢室中有1間優(yōu)秀為事件，則；（2）由題表數(shù)據(jù)可知，從12間寢室中任選1間是優(yōu)秀的概率為，由題可知的所有可能取值為，則，，所以的分布列為0123.例10．某學校從全體師生中隨機抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會實踐活動.(1)假設30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學校全體男生中隨機選取3人，記為3人中身高不超過的人數(shù)，以頻率估計概率求的分布列及數(shù)學期望；(2)從參加社會實踐活動的72人中一次性隨機選出30位，記被選出的人中恰好有個男生的概率為，求使得取得最大值的的值.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為；(2).【分析】（1）所有可能的取值為，且，根據(jù)二項分布的概率公式求解，從而可得分布列與期望；（2）設事件為“被選出的人中恰好有位男生”，求解即可.【詳解】（1）所有可能的取值為，且.；；；.故的分布列為01230.0080.0960.3840.512所以.（2）設事件為“被選出的人中恰好有位男生”，則30個人中剩下個人為女生或者老師，事件包含樣本點的個數(shù)為，所以.所以，解得.所以，故當時，最大.練習21．2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動，某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100名參賽學生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學生中，使用分層抽樣抽取10個學生，問各抽取多少人？(2)在（1）條件下，再從這10學生中抽取6人進行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(3)以這100名參賽學生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)6人，4人(2)(3)分布列見解析，【分析】(1)結合頻率分布表，求出抽樣比，進而即可得到答案；(2)結合超幾何分布即可求解；(3)結合已知條件，利用二項分布即可求解.【詳解】（1）因為成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計，共人，抽樣比為，所以成績?yōu)椤傲己谩钡某槿∪耍煽優(yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取人．（2）抽取的6人中至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”可以分成兩類：3個優(yōu)3個良和4個優(yōu)2個良，故至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率.（3）由題意知，的可能取值，，，．由題可知，任意1名學生競賽得分“優(yōu)秀”的概率為，競賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為．若以頻率估計概率，則服從二項分布，；；；．故的分布列為數(shù)學期望.練習22．某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設置了抽獎環(huán)節(jié)．在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案．抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是．”(1)求抽獎者獲獎的概率；(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）設“掃黑除惡利國利民”卡有n張，根據(jù)題意求出n，再計算抽獎者獲獎的概率即可；（2）在新規(guī)則下，每個抽獎者獲獎的概率為，則X～B，寫出分布列和期望即可．【詳解】（1）設“掃黑除惡利國利民”卡有n張，由＝，得n＝4，故“普法宣傳人人參與”卡有5張，抽獎者獲獎的概率為＝．（2）在新規(guī)則下，每個抽獎者獲獎的概率為×＋×＝，所以X～B，則，（k＝0，1，2，3），X的分布列為X0123P所以E(X)＝3×＝．練習23．某試驗機床生產了12個電子元件，其中8個合格品，4個次品．從中隨機抽出4個電子元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個數(shù)．(1)若有放回的抽取，求X的分布列與期望；(2)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比練習與總體中合格品的比練習之差的絕對值不超過的概率．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學期望為.(2)【分析】（1）依題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4，求出對應的概率，即可列出分布列、求出數(shù)學期望.（2）總體中合格品的比練習為，樣本中合格品的比練習與總體中合格品的比練習之差的絕對值不超過即樣品中合格品的比練習大于小于.(1)有放回的抽取，，根據(jù)題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4，所以,,,,.X的分布列為：P01234X所以X的數(shù)學期望.(2)由題意得總體中合格品的比練習為，因為樣本中合格品的比練習與總體中合格品的比練習之差的絕對值不超過，所以樣本中樣品中合格品的比練習大于小于，即樣品中合格品的個數(shù)為2或3.,。所以練習24．甲、乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，至少得15分才能入選.甲乙兩人的答題情況相互獨立(1)求甲得分的分布列和數(shù)學期望；(2)求甲、乙兩人同時入選的概率；【答案】(1)分布列見解析，12(2)【分析】（1）由二項分布概率公式求解（2）由概率的加法與乘法公式求解【詳解】（1）設甲答對的題目數(shù)量為隨機變量X，則得分為隨機變量Y，，，，Y-1501530P（2）設乙入選的事件為，則甲入選的概率為甲乙同時入選的概率為練習25．某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試題中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.（1）試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（2）若答對一題得5分，答錯或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列.【答案】（1）甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）見解析【分析】（1）根據(jù)條件答對3題或4題才能通過初試，再由8個試題中甲能答對6個，知甲通過初試的概率計算屬于超幾何分布概率計算，而乙能答對每個試題的概率為，知乙通過初試的概率計算屬于二項分布概率計算，根據(jù)各自的概率計算公式即可求解.（2）設乙答對試題的個數(shù)為，得，由的可能取值及乙能答對每個試題的概率為知：，根據(jù)二項分布概率計算公式及與的關系可得到的分布列.【詳解】解：（1）參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，在這8個試題中甲能答對6個，甲通過自主招生初試的概率，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，在這8個試題中乙能答對每個試題的概率為，乙通過自主招生初試的概率，，甲通過自主招生初試的可能性更大.（2）根據(jù)題意，乙答對題的個數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4，因為乙能答對每個試題的概率為，所以，且，的概率分布列為：05101520【點睛】本題考查超幾何分布與二項分布的概率計算，二項分布的分布列及性質，關鍵在于熟知二項分布與超幾何分布的區(qū)別，根據(jù)條件能準確識別.題型六 正態(tài)分布求概率例11．已知某工廠生產零件的尺寸指標，單位為.該廠每天生產的零件尺寸在的數(shù)量為818600，則可以估計該廠每天生產的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A．1587 B．2275 C．2700 D．1350【答案】D【分析】由正態(tài)分布得，，零件尺寸在的概率為，零件尺寸在15.15以上的概率為，根據(jù)已知求得其概率后可得所求零件數(shù)．【詳解】由已知，，，零件尺寸在15.15以上的概率為，設零件尺寸在15.15以上的零件數(shù)為，則，，故選：D．例12．一批燈泡的使用時間（單位：小時）服從正態(tài)分布，則這批燈泡使用時間在內的概率是．【答案】【分析】利用3原則即可得到概率.【詳解】因為，，