微積分教學課件1-5無窮大和無窮小

第五節(jié)無窮小和無窮大無窮小量和無窮大量無窮小的階及其比較無窮小的運算一、無窮小量與無窮大量1、定義:在某種變化趨勢下，極限為零的變量稱為無窮小.例如,注意（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).判斷下面的函數(shù)是否為無窮小量

2、定義：在某種變化趨勢下，絕對值無限增大的變量稱為無窮大量.特殊情形：正無窮大，負無窮大．例：注意:（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.例、函數(shù)

當時,是無界變量，但不是無窮大量。定義：如果或，則直線是函數(shù)圖形的水平漸進近線。定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.二、無窮小的階及其比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義:設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,例如，注：一般地規(guī)定例1、例2、確定當時，的階。例3、確定當時，的階。分析：解：分析：解：例4、當時比較和的階

(n為正整數(shù)）解、例

容易驗證是等價無窮小。三、無窮小運算無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);定理4在同一過程中,（1）有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.（2）有限個無窮小的乘積也是無窮?。?）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

例5、求解：注意

無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理5(等價無窮小代換定理)證推論1、推論2、意義：1、若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不會改變原式的極限．無窮小替換會使計算大大簡化。2、用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式．例如,常用等價無窮小:例6、求例7、求解解例8、求解例9、求解1

解2不能濫用等價無窮小代換.切記，只可對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，對于代數(shù)和中各無窮小不能分別代換.注意練習：習1習2習3習1解習2解習3解解錯例10解注：可以用無窮小分析求極限四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:無窮小的定義，無窮小的階及其比較，無窮小的運算。2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮??；（3）無界變量未必是無窮大.（4）并不是所有的無窮小都能比較。無窮小的比較反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比較.等價無窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.