蘇科版九年級數(shù)學上冊同步精講精練2.4圓周角(十二大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形---圓》2.4圓周角知識點一知識點一圓周角的概念◆1、圓周角定義:頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.【特征】①角的頂點在圓上.②角的兩邊都與圓相交.◆2、圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系圓心角圓周角區(qū)別頂點在圓心頂點在圓上在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的.在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數(shù)個.聯(lián)系兩邊都與圓相交知識點二知識點二圓周角定理及其推論◆1、圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等.◆2、圓周角與圓心角的位置有三種情況，如圖：即∠ABC=12∠◆3、圓周角定理的推論圓周角和直徑的關系：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.知識點三知識點三圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)◆1、圓內(nèi)接四邊形：一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.如右圖：四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形的外接圓.◆2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如右圖：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.【例題1】A．20° B．25° C．35° D．45°解題技巧提煉利用“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”結(jié)合其它知識來求角的度數(shù)或線段長.【變式1-1】（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．52° D．64°【變式1-2】（2022?長沙縣校級開學）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，則∠OAB＝（）A．18° B．54° C．36° D．72°【變式1-3】（2023?蒲城縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB＝10，BG＝2，則BE的長為（）A．3 B．4 C．6 D．8【變式1-4】（2023?綿陽二模）若A，B，C是⊙O上三點，∠ABC＝150°，AC＝6，則⊙O的半徑是（）A．23 B．32 C．6 【變式1-5】（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度數(shù)是（）A．150° B．140° C．145° D．130°【變式1-6】（2023?云巖區(qū)校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點E、點F是⊙O上一點、連接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．（1）求證：DF平分∠BFC；（2）設AB交DF于點G、且DE＝GE，求∠DCF的度數(shù)．題型二同弧或等弧所對圓周角相等的運用題型二同弧或等弧所對圓周角相等的運用【例題2】（2022?濱州）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（）A．32° B．42° C．52° D．62°解題技巧提煉利用“同弧或等弧所對的圓周角相等”，以及其它的知識來求解.【變式2-1】（2022?枝江市一模）如圖，點A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，則∠CED的度數(shù)是°．【變式2-2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50°，點D是弧BAC上一點，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．20°題型三直徑所對的圓周角是90°的運用題型三直徑所對的圓周角是90°的運用【例題3】如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點G．若∠COD＝126°，求∠解題技巧提煉當有直徑時，常用直徑所對的圓周角是90°，構(gòu)造直角三角形來進行解題.【變式3-1】（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【變式3-2】（2022?德城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝4，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A．22 B．32 C．5 D．22+【變式3-3】（2023?安徽二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在圓上，AB＝10，AC＝6，點C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點．（1）求△ABC的面積；（2）求CE的長．題型四圓周角定理中的多結(jié)論問題題型四圓周角定理中的多結(jié)論問題【例題4】下列命題中，正確的有（）①頂點在圓周上的角是圓周角；②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；③90°的圓周角所對的弦是直徑；④圓周角相等，則它們所對弧也相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解題技巧提煉主要利用的是圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系，解答本題的關鍵是明確題意，對每個選項進行逐一的判斷即可．【變式4-1】如圖，已知A、B、C、D四點都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個說法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-2】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接OD、AD，則以下結(jié)論：①D是BC的中點；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分線；④OD∥AC．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，AC=CD=DB，點E是點D關于AB的對稱點，①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4題型五與圓周角定理有關的證明題型五與圓周角定理有關的證明【例題5】（2023?海珠區(qū)一模）如圖，⊙O中，AB＝CD，求證：△ABE≌DCE．解題技巧提煉主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關系，垂徑定理等知識點，熟練掌握它們是解題的關鍵．【變式5-1】（2022秋?濟寧期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，弦AB與CD相交于點M．（1）求證：AC=（2）連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑，求證：∠BAC+2∠BAD＝90°．【變式5-2】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，AD⊥BC，垂足為D，BE交AD于點F，且AB=AE，求證：AF＝【變式5-3】（2023?沂源縣一模）如圖，點B，C為⊙O上兩定點，點A為⊙O上一動點，過點B作BE∥AC，交⊙O于點E，點D為射線BC上一動點，且AC平分∠BAD，連接CE．（1）求證：AD∥EC；（2）連接EA，若BC＝CD，試判斷四邊形EBCA的形狀，并說明理由．【變式5-4】（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CE⊥AB于E，D為弧BC的中點，連接AD，分別交CE、CB于點F和點G．（1）求證：CF＝CG；（2）如圖2，若AF＝DG，連接OG，求證：OG⊥AB．題型六利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度題型六利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度【例題6】（2022?云巖區(qū)模擬）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D＝50°，則∠B為（）A．140° B．130° C．120° D．100°解題技巧提煉主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，還結(jié)合圖形的其它性質(zhì)求角的度數(shù).【變式6-1】（2022?皇姑區(qū)一模）如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五個點，圓心O在AD上，∠BCD＝110°，則∠AEB的度數(shù)為（）A．70° B．35° C．40° D．20°【變式6-2】（2023?山西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【變式6-3】（2022?通榆縣模擬）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠BAD＝108°，E是BC延長線上一點，若CF平分∠DCE，則∠DCF的大小是（）A．52° B．54° C．56° D．60°【變式6-4】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．（1）求證：∠E＝∠C；（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度數(shù)．題型七利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長題型七利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長【例題7】（2023?碭山縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，則A．52 B．5 C．52解題技巧提煉主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補，結(jié)合圖形的其它性質(zhì)轉(zhuǎn)化角之間的關系，同時還要利用勾股定理等知識進行相關的計算.【變式7-1】（2022?青島一模）如圖，A、B、C、D是半徑為4cm的⊙O上的四點，AC是直徑，∠D＝45°，則AB＝cm．【變式7-2】（2023?寶雞二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，連接OA、OC，則OA的長為（）A．4 B．22 C．3 D．【變式7-3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長為（）A．4 B．722 C．53【變式7-4】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點C為BD的中點，弦CE⊥AB于點F，與BD交于點G．（1）求證：BG＝CG；（2）若OF＝1，求AD的長．題型八利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積題型八利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積【例題8】（2023?江岸區(qū)一模）如圖，點A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC的形狀，并證明；（2）若CP=6，BC=27，求S△APB解題技巧提煉主要是利用圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式8-1】（2023?和平區(qū)模擬）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC，過點B作BE∥CD交DA的延長線于點E，若AD＝2，DC＝3，則△BDE的面積為．【變式8-2】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）請判斷△ABC的形狀？說明理由；（2）當點P位于AB的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．題型九利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論題型九利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論【例題9】（2023?安陽一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形ABOD是平行四邊形，則下列結(jié)論：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2有（）?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解題技巧提煉多結(jié)論的判斷主要利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、等腰三角形的判定等知識對每個選項進行判斷，掌握它們的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式9-1】（2022秋?永吉縣期中）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD把它的4個內(nèi)角分成了8個角，在結(jié)論①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式9-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC與BD相交于點E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列結(jié)論：①線段AC為⊙O的直徑；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD其中正確的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型十利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明題型十利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明【例題10】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求證：△解題技巧提煉利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【變式10-1】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長DC，AB交于點E，且BE＝BC，求證：△ADE是等腰三角形．【變式10-2】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點D、E在⊙O上，OD∥BE，連接AD并延長交BE延長線于C．求證：DC＝DE．【變式10-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點E．求證：BD＝BC．【變式10-4】（2023?南寧二模）如圖，四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD是對角線，過點A作EA⊥AD交DB的延長線于點E，AB＝AC．（1）求證：∠ABE＝∠ACD；（2）連接BC，若BC為⊙O的直徑，求證：BE＝CD．題型十一利用圓周角定理解決最值問題題型十一利用圓周角定理解決最值問題【例題11】（2023?六盤水二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，點D是邊BC上的一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB，AC于點M，N，連接MN，則線段MN的最小值為．解題技巧提煉求最值問題時利用圓周角定理，以及“垂線段最短”，“兩點之間線段最短”，“三角形的三邊關系”等知識，圓中的最值問題，關鍵是找到運動軌跡.【變式11-1】（2022?淮南一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點，若OB＝2，則CE+DE長的最小值為．【變式11-2】（2022秋?沈河區(qū)校級期末）如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點，P為弧AC上任意一點，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC＝6，則CD的最小值為．【變式11-3】（2023?興化市開學）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，點F是邊AB上一動點（不與A、B重合），以AF為直徑的⊙O交AC于點D，連接DB交⊙O于點E，連接CE，當點F在邊AB上移動時，則CE的最小值為．?【變式11-4】（2022秋?紅橋區(qū)校級期末）如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．（1）EF＝；（2）點P在MN上運動，則PA+PC的最小值為．題型十二圓周角定理的綜合應用問題題型十二圓周角定理的綜合應用問題【例題12】（2023?河西區(qū)校級三模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D為直徑AB同側(cè)圓上的點，且點D為AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE，交⊙O于點F，AC與DF交于點G．（Ⅰ）如圖①，若點C為DB的中點，求∠AGF的度數(shù)；（Ⅱ）如圖②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半徑．解題技巧提煉圓周角定理的綜合應用問題主要里利用圓周角定理、弧、線、圓心角定理、垂徑定理、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握這些定理是解題的關鍵．【變式12-1】（2023?遵義一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，且OC⊥AB于點O，點D是BC的中點，連接AD交OC于M，連接BD，CD．（1）∠DAB的度數(shù)為度．（2）求證：DC＝DM；（3）過點C作CE⊥AD于點E，若BD=2，求ME【變式12-2】（2023?蚌埠二模）如圖，⊙O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點P，AB經(jīng)過點O，E是AC的中點，連接OE，EP，延長EP交BD于點F．（1）若AB＝10，OE=10，求AC（2）求證：EF⊥BD．【變式12-3】已知⊙O的直徑為10，點A、點B、點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC、BD、CD的長；（2）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．【變式12-4】（2023?濱江區(qū)一模）如圖1，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，CF=CB，BF與CD交于點（1）求證：CD＝BF．（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的長．（3）連結(jié)GO，OF，如圖2，求證：2∠EOG+1

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形---圓》2.4圓周角知識點一知識點一圓周角的概念◆1、圓周角定義:頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.【特征】①角的頂點在圓上.②角的兩邊都與圓相交.◆2、圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系圓心角圓周角區(qū)別頂點在圓心頂點在圓上在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的.在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數(shù)個.聯(lián)系兩邊都與圓相交知識點二知識點二圓周角定理及其推論◆1、圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等.◆2、圓周角與圓心角的位置有三種情況，如圖：即∠ABC=12∠◆3、圓周角定理的推論圓周角和直徑的關系：直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.知識點三知識點三圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)◆1、圓內(nèi)接四邊形：一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.如右圖：四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形的外接圓.◆2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.如右圖：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.【例題1】A．20° B．25° C．35° D．45°【分析】根據(jù)圓周角定理解答．【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，由圓周角定理得，∠ACB=12∠故選：D．【點評】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．解題技巧提煉利用“圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半”結(jié)合其它知識來求角的度數(shù)或線段長.【變式1-1】（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．52° D．64°【分析】根據(jù)垂徑定理得出BC=BD，根據(jù)弧與圓心角關系得出∠COB＝∠BOD，利用圓周角定理得出∠COB＝2∠【解答】解：連接OC，∵CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，∴BC=∴∠COB＝∠BOD，∵∠A＝26°，∴∠COB＝2∠A＝52°，∴∠BOD＝52°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．故選：B．【點評】本題考查垂徑定理，弧與圓心角關系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，掌握垂徑定理，弧與圓心角關系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)是解題關鍵．【變式1-2】（2022?長沙縣校級開學）如圖，點A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，則∠OAB＝（）A．18° B．54° C．36° D．72°【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，∴∠OAB=12（180°﹣∠故選：B．【點評】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關鍵．【變式1-3】（2023?蒲城縣二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB＝10，BG＝2，則BE的長為（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】連接OD，根據(jù)弧、弦的關系求出BE＝CD，CD⊥AB，CG＝DG，根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：連接OD，如圖，∵點C是BE的中點，點B是CD的中點，∴CE=BC=BD，∴BE＝CD，CG＝DG，∵AB＝10，AB是⊙O的直徑，∴OB＝OD＝5，∵BG＝2，∴OG＝OB﹣BG＝3，在Rt△ODG中，OG＝3，OD＝5，∴DG=O∴CD＝2DG＝8，∴BE＝8，故選：D．【點評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關鍵．【變式1-4】（2023?綿陽二模）若A，B，C是⊙O上三點，∠ABC＝150°，AC＝6，則⊙O的半徑是（）A．23 B．32 C．6 【分析】⊙O的優(yōu)弧AC上取一點D，連接AD、CD，連接OA、OC，∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，根據(jù)圓周角定理求得∠AOC＝2∠ADC＝60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理知△ACO是等邊三角形，所以等邊三角形的三條邊相等，即可求解．【解答】解：⊙O的優(yōu)弧AC上取一點D，連接AD、CD，連接OA、OC，∵∠ABC＝150°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∵OA＝OC，∴△ACO是等邊三角形，∴OA＝OC＝AC＝6，∴⊙O的半徑是6．故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時，利用圓周角定理要注意圓心角與圓周角的定義，只有三個點都在圓上所組成的角才稱之為圓周角．【變式1-5】（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度數(shù)是（）A．150° B．140° C．145° D．130°【分析】根據(jù)等腰三角形等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解即可．【解答】解：∵BD＝BE，∠E＝35°，∴∠BDE＝∠E＝35°，∴∠ABD＝∠BDE+∠E＝70°，∴∠AOD＝2∠ABD＝140°，故選：B．【點評】本題考查了同弧所對的圓周角和圓心角的關系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握同弧所對的圓周角等于圓心角的一半是解本題的關鍵．【變式1-6】（2023?云巖區(qū)校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，AB⊥CD于點E、點F是⊙O上一點、連接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．（1）求證：DF平分∠BFC；（2）設AB交DF于點G、且DE＝GE，求∠DCF的度數(shù)．【分析】（1）連接OC、OD，先由∠BAD＝∠BFD＝60°證明△AOB是等邊三角形，再證明∠COD＝120°，則∠CFD=12∠COD＝60°，即可證明DF平分∠（2）根據(jù)DE＝GE可以得到∠CDG＝45°，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】（1）證明：如圖，連接OC、OD，∵OA＝OD，∠BAD＝∠BFD＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∵OC＝OD，OA⊥CD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°，∴∠CFD=12∠∴∠BFD＝∠CFD，∴DF平分∠BFC．（2）解：∵AB⊥CD于E，∴∠DEB＝90°，∵DE＝GE，∴∠CDG＝45°，根據(jù)（1）∠CFD＝60°，∴∠DCF＝180°﹣45°﹣60°＝75°．【點評】此題考查圓周角定理，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．題型二同弧或等弧所對圓周角相等的運用題型二同弧或等弧所對圓周角相等的運用【例題2】（2022?濱州）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（）A．32° B．42° C．52° D．62°【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到∠D的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，∴∠D＝48°，∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，故選：A．【點評】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關鍵是求出∠D的度數(shù)．解題技巧提煉利用“同弧或等弧所對的圓周角相等”，以及其它的知識來求解.【變式2-1】（2022?枝江市一模）如圖，點A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，則∠CED的度數(shù)是°．【分析】連接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圓周角定理即可得∠CED=12∠【解答】解：連接OC、OD，∵AB＝CD，∠AOB＝42°，∴∠AOB＝∠COD＝42°，∴∠CED=12∠故答案為：21．【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關系以及圓周角定理，解題的關鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．【變式2-2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝50°，點D是弧BAC上一點，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．20°【分析】欲求∠D的度數(shù)，需先求出同弧所對的∠A的度數(shù)；Rt△ABC中，已知∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A，由此得解．【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°；∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°；∴∠D＝∠A＝40°．故選：A．【點評】此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握直徑所對的圓周角是直角與在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用是解此題的關鍵．題型三直徑所對的圓周角是90°的運用題型三直徑所對的圓周角是90°的運用【例題3】如圖，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點G．若∠COD＝126°，求∠【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC=12∠COD＝63°，再由AB=AD得到∠B＝∠【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∵AB=∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC=12∠COD∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．所以∠AGB的度數(shù)為108°．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．解題技巧提煉當有直徑時，常用直徑所對的圓周角是90°，構(gòu)造直角三角形來進行解題.【變式3-1】（2022?蘭州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD＝40°，則∠B＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】由CD是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出∠CAD＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠ACD與∠D互余，即可求得∠D的度數(shù)，繼而求得∠B的度數(shù)．【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故選：C．【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．【變式3-2】（2022?德城區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為圓上一點，AC＝4，∠ABC的平分線交AC于點D，CD＝1，則⊙O的直徑為（）A．22 B．32 C．5 D．22+【分析】作DE⊥AB于點E，根據(jù)AB是⊙O的直徑，得∠C＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE＝CD＝1，再證明Rt△BDE≌Rt△BDC，得BE＝BC，根據(jù)勾股定理就可以求出直徑了．【解答】解：如圖，作DE⊥AB于點E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵BD平分∠CDE，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），∴BE＝BC，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，AE=AD2設BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AB2＝AC2+BC2，即（22+x）2＝42+x2∴x=2∴⊙O的直徑AB為32．故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．【變式3-3】（2023?安徽二模）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點C在圓上，AB＝10，AC＝6，點C、E分別在AB兩側(cè)，且E為半圓AB的中點．（1）求△ABC的面積；（2）求CE的長．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，則利用勾股定理可計算出BC＝8，然后利用三角形的面積可計算出△ABC的面積；（2）連接OE、AE，過A點作AH⊥CE于H點，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到OE⊥AB，則AE=BE，AE=2OA＝52，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE＝∠BCE＝45°，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CH＝AH＝32，然后利用勾股定理計算出HE＝42，最后計算CH【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC=1∴S△ABC=1（2）連接OE、AE，過A點作AH⊥CE于H點，如圖，∵E為半圓AB的中點，∴OE⊥AB，∴AE=BE，AE=2OA∴∠ACE＝∠BCE=12∠在Rt△ACH中，CH＝AH=22AC=2在Rt△AEH中，HE=AE2∴CE＝CH+HE＝32+42=7【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．題型四圓周角定理中的多結(jié)論問題題型四圓周角定理中的多結(jié)論問題【例題4】下列命題中，正確的有（）①頂點在圓周上的角是圓周角；②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；③90°的圓周角所對的弦是直徑；④圓周角相等，則它們所對弧也相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用圓周角的定義、圓周角定理等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：①頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角是圓周角，故原命題錯誤，不符合題意；②同弧所對的圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半，故原命題錯誤，不符合題意；③90°的圓周角所對的弦是直徑，正確，符合題意；④在同圓或等圓中，圓周角相等，則它們所對弧也相等，故原命題錯誤，不符合題意正確的有1個，故選：A．【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解周角的定義、圓周角定理等知識，難度不大．解題技巧提煉主要利用的是圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系，解答本題的關鍵是明確題意，對每個選項進行逐一的判斷即可．【變式4-1】如圖，已知A、B、C、D四點都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四個說法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOCA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC＝BD，AB=BC，【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴AB=BC，∴AC=2CD，故①AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②錯誤；OC⊥BD，故③正確；∠AOD＝3∠BOC，故④正確；故選：C．【點評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式4-2】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，連接OD、AD，則以下結(jié)論：①D是BC的中點；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分線；④OD∥AC．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由AB＝AC，得到∠B＝∠C，由于AB為⊙O的直徑，得到AD⊥BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①②③正確，由于OB＝OD，于是得到∠B＝∠ODB，根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得到④正確．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴D是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，∴①②③正確，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴④正確，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)﹣三線合一是解題的關鍵．【變式4-3】（2022?蘭陵縣二模）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝10，AC=CD=DB，點E是點D關于AB的對稱點，①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①錯誤，證明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；②正確．證明∠CED＝30°，可得結(jié)論；③錯誤，M是動點，DM不一定垂直CE；④正確，連接EM，證明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得結(jié)論．【解答】解：∵AC=∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵E，D關于AB對稱，∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①錯誤，∵∠CED=12∠∴∠DOB＝2∠CED，故②正確，∵M是動點，∴DM不一定垂直CE，故③錯誤，連接EM．則ME＝MD，∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正確，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．題型五與圓周角定理有關的證明題型五與圓周角定理有關的證明【例題5】（2023?海珠區(qū)一模）如圖，⊙O中，AB＝CD，求證：△ABE≌DCE．【分析】首先利用圓周角定理得到∠B＝∠C，然后利用AAS判定兩三角形全等即可．【解答】解：由題意得：∠B＝∠C，在△ABE與△DCE中，∠AEB=∠DEC∠B=∠C∴△ABE≌△DCE（AAS）．【點評】本題考查了圓周角定理及全等三角形的判定的知識，解題的關鍵是了解同弧所對的圓周角相等，難度較小．解題技巧提煉主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關系，垂徑定理等知識點，熟練掌握它們是解題的關鍵．【變式5-1】（2022秋?濟寧期末）如圖，在⊙O中，AB＝CD，弦AB與CD相交于點M．（1）求證：AC=（2）連接AC，AD，若AD是⊙O的直徑，求證：∠BAC+2∠BAD＝90°．【分析】（1）利用圓心角，弧，弦之間的關系解決問題即可；（2）利用圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)解決問題．【解答】（1）證明：如圖，∵AB＝CD，∴AB=∴AC+∴AC=（2）證明：連接AD．∵AC=∴∠ADC＝∠BAD，∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，∵AD是直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠CAB+∠AMC＝90°，∴∠CAB+2∠BAD＝90°．【點評】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式5-2】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，AD⊥BC，垂足為D，BE交AD于點F，且AB=AE，求證：AF＝【分析】延長AD交⊙O于M，根據(jù)垂徑定理求出AB=BM，求出BM=AE，根據(jù)圓周角定理得出∠【解答】證明：延長AD交⊙O于M，∵BC⊥AD，BC過圓心O，∴AB=∵AB=∴BM=∴∠BAF＝∠ABF，∴AF＝BF．【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，圓心角、弧、弦之間的關系，垂徑定理等知識點，能根據(jù)垂徑定理得出AB=【變式5-3】（2023?沂源縣一模）如圖，點B，C為⊙O上兩定點，點A為⊙O上一動點，過點B作BE∥AC，交⊙O于點E，點D為射線BC上一動點，且AC平分∠BAD，連接CE．（1）求證：AD∥EC；（2）連接EA，若BC＝CD，試判斷四邊形EBCA的形狀，并說明理由．【分析】（1）欲證明AD∥EC，只要證明∠ACE＝∠DAC即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和矩形的判定即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC∵∠E＝∠BAC∴∠E＝∠DAC，∵BE∥AC∴∠E＝∠ECA∴∠ECA＝∠DAC∴EC‖AD；（2）四邊形EBCA是矩形．理由如下，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC又∵BC＝CD∴∠ACB＝∠ACD＝90°，∴AB為⊙O的直徑．∴∠AEB＝90°，又∵BE∥AC∴∠EBC＝∠ACD＝90°∴四邊形EBCA是矩形．【點評】本題考查圓周角定理、矩形的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式5-4】（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，CE⊥AB于E，D為弧BC的中點，連接AD，分別交CE、CB于點F和點G．（1）求證：CF＝CG；（2）如圖2，若AF＝DG，連接OG，求證：OG⊥AB．【分析】（1）連接AC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，從而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠CEA＝90°，從而可得∠FAE+∠AFE＝90°，然后根據(jù)已知可得DC=DB，從而可得∠CAG＝∠FAE，進而可得∠AGC＝∠AFE，最后根據(jù)對頂角相等可得∠AFE＝∠CFG，從而可得∠AGC＝∠（2）連接AC，CD，利用（1）的結(jié)論，再根據(jù)等角的補角相等可得∠AFC＝∠CGD，然后根據(jù)SAS證明△AFC≌△DGC，從而可得AC＝CD，進而可得AC=CD=DB，最后根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠ABC＝∠DAB，從而可得【解答】證明：（1）連接AC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠AGC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴∠FAE+∠AFE＝90°，∵D為弧BC的中點，∴DC=∴∠CAG＝∠FAE，∴∠AGC＝∠AFE，∵∠AFE＝∠CFG，∴∠AGC＝∠CFG，∴CF＝CG；（2）連接AC，CD，∵∠CFG＝∠CGF，∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，∴∠AFC＝∠CGD，∵CF＝CG，AF＝CD，∴△AFC≌△DGC（SAS），∴AC＝CD，∴AC=∵CD=∴AC=∴∠ABC＝∠DAB，∴GA＝GB，∵OA＝OB，∴GO⊥AB．【點評】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．題型六利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度題型六利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度【例題6】（2022?云巖區(qū)模擬）如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D＝50°，則∠B為（）A．140° B．130° C．120° D．100°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故選：B．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．解題技巧提煉主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理，還結(jié)合圖形的其它性質(zhì)求角的度數(shù).【變式6-1】（2022?皇姑區(qū)一模）如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五個點，圓心O在AD上，∠BCD＝110°，則∠AEB的度數(shù)為（）A．70° B．35° C．40° D．20°【分析】連接DE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)對角互補和直徑所對的圓周角是直角即可求得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接DE，∵四邊形BCDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BED＝180°，∵∠BCD＝110°，∴∠BED＝70°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，故選：D．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【變式6-2】（2023?山西模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形求出∠D，根據(jù)圓周角定理即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，由圓周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，故選：D．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【變式6-3】（2022?通榆縣模擬）如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∠BAD＝108°，E是BC延長線上一點，若CF平分∠DCE，則∠DCF的大小是（）A．52° B．54° C．56° D．60°【分析】由“圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根據(jù)角平分線的定義來求∠DCF的大?。窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，∠BAD＝108°，E是BC延長線上一點，∴∠DCE＝∠BAD＝108°．∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=12∠故選：B．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關系的重要依據(jù)，在應用此性質(zhì)時，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．【變式6-4】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE、DE、DF．（1）求證：∠E＝∠C；（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度數(shù)．【分析】（1）連接BF，根據(jù)圓周角定理求出∠AFB＝90°，求出∠CFB＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DF＝CD＝BD，求出∠C＝∠CFD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠E＝∠CFD即可；（2）求出∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．【解答】（1）證明：連接BF，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°，∵BD＝CD，∴CD＝DF＝BD，∴∠C＝∠CFD，∵四邊形AEDB是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CFD＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：由（1）知：∠E＝∠C＝∠CFD，∵∠E＝50°，∴∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝50°+50°＝100°．【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．題型七利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長題型七利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求線段長【例題7】（2023?碭山縣二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，則A．52 B．5 C．52【分析】根據(jù)勾股定理求得BD＝10，根據(jù)圓內(nèi)接四邊對角互補，得出∠BCD＝90°，繼而根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖所示，連接BD，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，∴BD=A∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝90°，∴∠BCD＝90°，∵BC=∴BC＝CD=2故選：A．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，勾股定理，同弧所對弦相等，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．解題技巧提煉主要是利用圓內(nèi)接四邊形對角互補，結(jié)合圖形的其它性質(zhì)轉(zhuǎn)化角之間的關系，同時還要利用勾股定理等知識進行相關的計算.【變式7-1】（2022?青島一模）如圖，A、B、C、D是半徑為4cm的⊙O上的四點，AC是直徑，∠D＝45°，則AB＝cm．【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠A及∠ABC的度數(shù)，進而判斷出△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理計算即可求出AB．【解答】解：∵∠D＝45°，∴∠A＝45°，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2×4÷2=42故答案為：42【點評】本題主要考查圓周角定理，涉及到勾股定理，解題關鍵是熟練使用圓周角定理．【變式7-2】（2023?寶雞二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，連接OA、OC，則OA的長為（）A．4 B．22 C．3 D．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ADC＝45°，則有∠AOC＝90°，進而根據(jù)勾股定理可進行求解．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，∵OA＝OC，AC＝2，∴OA=2∴⊙O的半徑為：2．故選：D．【點評】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關鍵．【變式7-3】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的長為（）A．4 B．722 C．53【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理、直角三角形的性質(zhì)計算即可．【解答】解：過點C作CH⊥BD于H，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴AC=A∵BD平分∠ABC，∴DA＝DC＝5×22=522，BH＝∴DH=C∴BD＝BH+DH=7故選：B．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【變式7-4】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點C為BD的中點，弦CE⊥AB于點F，與BD交于點G．（1）求證：BG＝CG；（2）若OF＝1，求AD的長．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理以及圓周角定理可得BC=BE=CD，進而得到∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，再根據(jù)等腰三角形的判定可得（2）利用圓心角、弦、弧、圓心距之間的關系以及垂徑定理、三角形中位線定理可得答案．【解答】（1）證明：∵點C為BD的中點，∴BC=又∵弦CE⊥AB，AB是直徑，∴BC=∴BC=∴∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，∴BG＝CG；（2）解：如圖，過點O作OM⊥BD，垂足為M，∵BC=∴BC+即BD=∴BD＝CE，又∵OM⊥BD，OF⊥CE，∴OM＝OF＝1，DM＝BM，∵OA＝OB，∴OM是△ABD的中位線，∴OM=12∴AD＝2OM＝2．【點評】本題考查垂徑定理、圓周角定理以及圓心角、弦、弧、圓心距之間的關系定理，掌握垂徑定理、圓周角定理，圓心角、弦、弧、圓心距之間的關系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位線定理是正確解答的前提．題型八利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積題型八利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求面積【例題8】（2023?江岸區(qū)一模）如圖，點A、P、B、C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC的形狀，并證明；（2）若CP=6，BC=27，求S△APB【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明；（2）過點A作AK⊥BP交BP的延長線于點K，過點A作AJ⊥PC于點J．證明△ABK≌△ACJ（AAS），推出AK＝AJ，BK＝CJ，證明Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），推出PK＝PJ，設PK＝PJ＝x，則AK＝AJ=3x【解答】解：（1）△ABC是等邊三角形，理由如下：由圓周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）過點A作AK⊥BP交BP的延長線于點K，過點A作AJ⊥PC于點J．∵∠K＝∠AJC＝90°，AB＝AC，∠ABK＝∠ACJ，∴△ABK≌△ACJ（AAS），∴AK＝AJ，BK＝CJ，∵AP＝AP，∴Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），∴PK＝PJ，設PK＝PJ＝x，則AK＝AJ=3x∵AK2+BK2＝AB2，∴（3x）2+（6﹣x）2＝（27）2，解得，x＝1或2，∴PJ＝1或2，AK＝AJ=3或23∴PB＝2或4，∴△APB的面積=12×2×23=23或12綜上所述，△APB的面積為23．【點評】本題考查的是圓周角定理、等邊三角形的判定，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．解題技巧提煉主要是利用圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式8-1】（2023?和平區(qū)模擬）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠ABC＝60°，對角線BD平分∠ADC，過點B作BE∥CD交DA的延長線于點E，若AD＝2，DC＝3，則△BDE的面積為．【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC＝120°，則∠ADB＝∠CDB＝60°，再利用平行線的性質(zhì)得到∠EBD＝∠CDB＝60°，于是可判斷△BDE為等邊三角形，在DB上截取DF＝DA，如圖，則△ADF為等邊三角形，所以AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，接著證明△ABC為等邊三角形得到AB＝AC，然后證明△ABF≌△ACD得到BF＝CD＝3，所以BD＝5，最后根據(jù)等邊三角形的面積公式計算△BDE的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∵BE∥CD，∴∠EBD＝∠CDB＝60°，∴△BDE為等邊三角形，在DB上截取DF＝DA，如圖，∵∠ADF＝60°，DA＝DF，∴△ADF為等邊三角形，∴AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，∴∠AFB＝120°，∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，在△ABF和△ACD中，∠ABF=∠ACD∠AFB=∠ADC∴△ABF≌△ACD（AAS），∴BF＝CD＝3，∴BD＝BF+DF＝3+2＝5，即等邊△EBD的邊長為5，∴△BDE的面積=34×5故答案為：253【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．也考查了圓周角定理、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)．【變式8-2】如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）請判斷△ABC的形狀？說明理由；（2）當點P位于AB的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．【分析】（1）利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，從而可判斷△ABC的形狀；（2）過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為AB的中點時，PE+CF＝PC從而得出最大面積．【解答】解：（1）△ABC是等邊三角形．理由如下：在⊙O中，∵∠BAC與∠CPB是BC所對的圓周角，∠ABC與∠APC是AC所對的圓周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形；（2）當點P為AB的中點時，四邊形APBC的面積最大．理由如下：如圖，過點P作PE⊥AB，垂足為E．過點C作CF⊥AB，垂足為F．∵S△APB=12AB?PE，S△ABC=12∴S四邊形APBC=12AB?（PE+當點P為AB的中點時，PE+CF＝PC，PC為⊙O的直徑，∴此時四邊形APBC的面積最大．又∵⊙O的半徑為1，∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB=3∴S四邊形APBC=12×【點評】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關鍵．題型九利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論題型九利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)判斷結(jié)論【例題9】（2023?安陽一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，四邊形ABOD是平行四邊形，則下列結(jié)論：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2有（）?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由四邊形ABOD是平行四邊形，OD＝OB，判定四邊形ABOD是菱形，得到OB＝AB，由△ABO是等邊三角形得到∠AOB＝60°，由四邊形ABOD是菱形，得到∠BOD＝2∠AOB＝120°，由圓周角定理得到∠BCD=12∠BOD＝60°，由菱形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠BOD＝120°，CD和【解答】解：連接OA，∵四邊形ABOD是平行四邊形，OD＝OB，∴四邊形ABOD是菱形，∴OB＝AB，故①正確；∵OA＝OB＝AB，∴△ABO是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∵四邊形ABOD是菱形，∴∠BOD＝2∠AOB＝120°，∴∠BCD=12∠故②正確；∵四邊形ABOD是菱形，∴∠BAD＝∠BOD＝120°，故③正確；∵C的位置不確定，CD長在變化，半徑OD的長不變，∴CD和OD沒有確定的數(shù)量關系，∴④錯誤．∴正確的結(jié)論是①②③，共有3個．故選：C．【點評】本題考查圓周角定理，菱形的判定和性質(zhì)，關鍵是判定四邊形ABOD是菱形，得到∠BOD＝120°．解題技巧提煉多結(jié)論的判斷主要利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、等腰三角形的判定等知識對每個選項進行判斷，掌握它們的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式9-1】（2022秋?永吉縣期中）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD把它的4個內(nèi)角分成了8個角，在結(jié)論①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)圓周角定理進行判斷即可．【解答】解：∵∠1，∠4所對的弧都是弧CD，

∴∠1=∠4，故①正確，符合題意；

∵∠2，∠7所對的弧都是弧BC，

∴∠2=∠7，故②正確，符合題意；

∵∠3，∠6所對的弧都是弧AD，

∴∠3=∠6，故③正確，符合題意；

∵∠5，∠8所對的弧都是弧AB．

∴∠5=∠8，故④正確，符合題意．

∴正確的有4個，

故選：D．【點評】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓周角定理，熟練運用圓周角的定理解決問題是本題的關鍵．【變式9-2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC與BD相交于點E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列結(jié)論：①線段AC為⊙O的直徑；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD其中正確的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，作出輔助線，根據(jù)有關性質(zhì)和定理對每一結(jié)論進行證明即可得出答案．【解答】解：①∵AB＝AD，∴弧AB＝弧AD，∠ADB＝∠ABD．∵∠ACB＝∠ADB，∠ACD＝∠ABD，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ABD＝∠ACD．∴∠ADB＝（180°﹣∠BAD）÷2＝90°﹣∠DFC．∴∠ADB+∠DFC＝90°，即∠ACD+∠DFC＝90°，∴CD⊥DF，∴∠FDC＝90°，∴∠ADC＞90°，∴線段AC不為⊙O的直徑，∴①錯誤，②正確；③過F作FG⊥BC，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ACB＝∠ADB，∠BFC＝∠BAD，∴∠FBC＝∠ABD，∴∠FBC＝∠ADB，∴∠FBC＝∠ACB．∴FB＝FC．∴FG平分BC，G為BC中點，∠GFC=12∠BAD＝∠∴△FGC≌△DFC（∠GFC＝∠DFC，F(xiàn)C＝FC，∠ACB＝∠ACD）．∴CD＝GC=12∴BC＝2CD，∴③正確；④∵∠BFC＝∠BAD，∠AFB＝180°﹣∠BFC，∠BCD＝180°﹣∠BAD，∴∠AFB＝∠BCD∴④正確；其中正確的個數(shù)為3個．故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理；用到的知識點為圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關鍵是作出輔助線根據(jù)有關性質(zhì)和定理對每一結(jié)論進行證明．題型十利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明題型十利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明【例題10】已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求證：△【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，由AB=AC得到AB＝【解答】證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∵AB=∴AB＝AC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．【點評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧和弦的關系，等邊三角形的判定，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定是解決問題的關鍵．解題技巧提煉利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【變式10-1】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長DC，AB交于點E，且BE＝BC，求證：△ADE是等腰三角形．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＝∠BCE，∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠A＝∠BEC，∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形；【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關鍵，解答時，注意方程思想的靈活運用．【變式10-2】（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點D、E在⊙O上，OD∥BE，連接AD并延長交BE延長線于C．求證：DC＝DE．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠ADO，再利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補以及平角定義可得∠DEC＝∠A，然后再利用平行線的性質(zhì)可得∠ADO＝∠C，從而利用等量代換可得∠DEC＝∠C，最后利用等角對等邊即可解答．【解答】證明：∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠A，∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DC＝DE．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式10-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點E．求證：BD＝BC．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD+∠BAD＝180°，進而證明∠BCD＝∠EAD，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代換得到∠BCD＝∠BDC，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠EAD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝∠EAD，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【變式10-4】（2023?南寧二模）如圖，四邊形ABDC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD是對角線，過點A作EA⊥AD交DB的延長線于點E，AB＝AC．（1）求證：∠ABE＝∠ACD；（2）連接BC，若BC為⊙O的直徑，求證：BE＝CD．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補角的定義即可得到結(jié)論；（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EAB＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABDC是圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABE＝∠ACD；（2）連接BC，∵BC為圓O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，∴∠EAB+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∴∠EAB＝∠CAD，在△ABE與△ACD中，∠EAB=∠DACAB=AC∴△ABE≌△ACD（ASA）．∴BE＝CD．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．題型十一利用圓周角定理解決最值問題題型十一利用圓周角定理解決最值問題【例題11】（2023?六盤水二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，點D是邊BC上的一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB，AC于點M，N，連接MN，則線段MN的最小值為．【分析】連接OM、ON，過A點作AH⊥BC于H點，如圖，先根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關系計算出AH＝43，再根據(jù)圓周角定理得到∠MON＝90°，所以MN=2OM，則MN=22AD，然后根據(jù)垂線段最短得到AD的最小值為43【解答】解：連接OM、ON，過A點作AH⊥BC于H點，如圖，在Rt△ABH中，∵∠B＝60°，∴BH=12∴AH=3BH＝43∵∠MON＝2∠BAC＝2×45°＝90°，而OM＝ON，∴MN=2OM∵OM=12∴MN=22∴當AD的值最小時，MN的值最小，∵點D是邊BC上的一個動點，∴當點D在H點時，AD的值最小，即AD的最小值為43，∴MN的最小值為22×43=故答案為：26．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂線段最短．解題技巧提煉求最值問題時利用圓周角定理，以及“垂線段最短”，“兩點之間線段最短”，“三角形的三邊關系”等知識，圓中的最值問題，關鍵是找到運動軌跡.【變式11-1】（2022?淮南一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點，若OB＝2，則CE+DE長的最小值為．【分析】作D點關于OB的對稱點F，連接CF交OB于E，如圖，先利用角平分線定義得到∠COD＝∠BOD＝30°，再利用對稱的性質(zhì)得到∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，ED＝EF，所以CE+DE＝CF，接著根據(jù)兩點之間線段最短可判斷此時CE+DE的值最小，然后計算出CF即可．【解答】解：作D點關于OB的對稱點F，連接CF交OB于E，如圖，∵OD平分∠BOC，∴∠COD＝∠BOD=12∠∵點D與點F關于OB對稱，∴∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，OB垂直平分DF，∴ED＝EF，∴CE+DE＝CE+FE＝CF，∴此時CE+DE的值最小，∵∠COF＝90°，OC＝OF，∴CF=2OC＝22∴CE+DE長的最小值為22．故答案為：22．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了最短路徑問題．【變式11-2】（2022秋?沈河區(qū)校級期末）如圖，已知以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點，P為弧AC上任意一點，AD⊥AP交BP于D，連CD．若BC＝6，則CD的最小值為．【分析】以AB為斜邊作等腰直角三角形ABO′，連接DO′、CO′，易得△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC=32，由圓周角定理可得∠APD＝∠ACB＝45°，進而可得∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，于是可知點D在點O′為圓心，AO′為半徑的AB上運動，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得O′B=AB2=3，由勾股定理求得CO′=35，利用三角形三邊關系可知CD≥CO′﹣O′D，因此當C、D、O′三點共線時，CD取的最小值，最小值為CO【解答】解：如圖，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABO′，連接DO′、CO′，則∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，∵以BC為直徑的⊙O，A為弧BC中點，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC=BC∵AB=∴∠APD＝∠ACB＝45°，∵AD⊥AP，∴∠DAP＝90°，∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，∴點D在點O′為圓心，AO′為半徑的AB上運動，在等腰直角△ABO′中，O′B=AB在Rt△BO′C中，CO′=O′∴O′D＝O′B＝3，∵CD≥CO′﹣O′D∴當C、D、O′三點共線時，CD取的最小值，最小值為CO′﹣O′D=35故答案為：35【點評】本題主要考查圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓中的最值問題，解題關鍵是根據(jù)題意找到動點的運動軌跡，結(jié)合三角形三邊關系求最值．【變式11-3】（2023?興化市開學）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，點F是邊AB上一動點（不與A、B重合），以AF為直徑的⊙O交AC于點D，連接DB交⊙O于點E，連接CE，當點F在邊AB上移動時，則CE的最小值為．?【分析】連DF，AE，EF，得∠AEB＝180°﹣30°＝150°為定角，由此可得E在以AB為弦所對圓心角為60°的圓弧上運動，設該圓圓心為N，連NE，CN，AN，BN，由兩點之間線段最短知：CE+NE≥CN，進而可求CE的最小值．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC=AB2連DF，AE，EF，∵AF為的直徑，∴∠ADF＝∠AEF＝90°，∴∠AFD＝∠AED＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEB＝180°﹣30°＝150°為定角，∴E在以AB為弦所對圓心角為60°的圓弧上運動，設該圓圓心為N，連NE，CN，AN，BN，則∠ANB＝60°，AN＝BN，∴△AB為等邊三角形，∴AB＝BN＝AN＝4，∠ABN＝60°，∴∠CBN＝90°，∴CN=B又EN＝BN＝4，由兩點之間線段最短知：CE+NE≥CN，∴CE≥CN﹣EN＝27?∴當C、E、N在一直線時．CE有最小值為：27?故答案為：27?【點評】本題主要考查了圓周角定理、含30°角的直角三角形，熟練掌握相關知識點是解決本題的關鍵．【變式11-4】（2022秋?紅