高考數(shù)學一輪復習全套歷年真題大數(shù)據(jù)之10年高考真題專題18不等式選講特訓(原卷版+解析)

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷與新課標理科卷）專題18不等式選講真題匯總命題趨勢真題匯總命題趨勢1．【2022年全國甲卷理科23】已知a，b，c均為正數(shù)，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，則1a2．【2022年全國乙卷理科23】已知a，b，c都是正數(shù)，且a3(1)abc≤1(2)ab+c3．【2021年全國甲卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?2|,g(x)=|2x+3|?|2x?1|．（1）畫出y=f(x)和y=g(x)的圖像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范圍．4．【2021年全國乙卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?a|+|x+3|.（1）當a=1時，求不等式f(x)≥6的解集;（2）若f(x)>?a，求a的取值范圍．5．【2020年全國1卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|3x+1|?2|x?1|．（1）畫出y=f(x)的圖像；（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．6．【2020年全國2卷理科23】已知函數(shù)f(x)=x?（1）當a=2時，求不等式f(x)?4的解集；（2）若f(x)?4，求a的取值范圍.7．【2020年全國3卷理科23】設a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥348．【2019年新課標3理科23】設x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，證明：a≤﹣3或9．【2019年全國新課標2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）當a＝1時，求不等式f（x）＜0的解集；（2）當x∈（﹣∞，1）時，f（x）＜0，求a的取值范圍．10．【2019年新課標1理科23】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．證明：（1）1a+1b+1c≤a（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．11．【2018年新課標1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）當a＝1時，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍．12．【2018年新課標2理科23】設函數(shù)f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）當a＝1時，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍．13．【2018年新課標3理科23】設函數(shù)f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）的圖象；（2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．14．【2017年新課標1理科23】已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）當a＝1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍．15．【2017年新課標2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．證明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．16．【2017年新課標3理科23】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．17．【2016年新課標1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫出y＝f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．18．【2016年新課標2理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x?12|+|x+12|，M為不等式（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當a，b∈M時，|a+b|＜|1+ab|．19．【2016年新課標3理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）當a＝2時，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設函數(shù)g（x）＝|2x﹣1|，當x∈R時，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．20．【2015年新課標2理科24】設a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b＝c+d，證明：（1）若ab＞cd，則a+（2）a+b＞c+d是|a﹣21．【2014年新課標1理科24】若a＞0，b＞0，且1a（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并說明理由．22．【2014年新課標2理科24】設函數(shù)f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．23．【2013年新課標1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）當a＝﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）設a＞﹣1，且當x∈[?a2，12]時，f（x）≤g（x24．【2013年新課標2理科24】設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c＝1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤（Ⅱ）a2模擬好題模擬好題1．已知函數(shù)f(1)當a=4時，求不等式fx(2)若fx≥a2?2．已知正數(shù)a，b，c滿足a3(1)求證：0<abc≤1；(2)求證：1ab3．已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x?2|．(1)解不等式f(x)>6；(2)若關于x的不等式f(x)≥x2+m在0,44．已知fx=x?4(1)求實數(shù)m值；(2)若a+b+c=m3?35．已知fx=x?2(1)求m的值；(2)若正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=m，證明：a26．已知a，b，c均為正實數(shù)，且abc=1．證明：(1)a3(2)b67．已知fx(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，對于?x∈R，a+b2+a+c8．已知函數(shù)fx(1)當m=2,a=1，求不等式fx(2)當m=1時，證明：fx9．已知函數(shù)fx=x+2?m，(1)求m的值；(2)設a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=m，求3a+1+10．已知函數(shù)fx(1)當m=3時，求不等式fx(2)若fx?4恒成立，求實數(shù)11．已知函數(shù)fx(1)求不等式fx(2)若方程kx=f(x)存在非零實數(shù)根，求實數(shù)12．已知函數(shù)fx(1)當a=?1時，求不等式fx(2)當x∈1,2時，fx≥013．已知函數(shù)fx(1)當a=?1時，求不等式fx(2)若關于x的不等式fx?x?214．已知函數(shù)f(x)=|x?1|?2|x?3|．(1)求不等式f(x)≥?2的解集；(2)若存在x，使不等式a2?a<f(x)+|x?3|成立，求實數(shù)15．已知函數(shù)fx=x?2(1)求k的最大值k0(2)設a>0，b>0，求證：aa+2b16．已知函數(shù)f(1)當a=2時，解不等式fx(2)若不等式f(x)<|x?4|對任意x∈0,217．已知函數(shù)fx（1）解不等式fx（2）若關于x的不等式fx+3x+118．已知f(x)=x+（1）解不等式f(x)≤7（2）令f(x)的最小值為M，正數(shù)a，b滿足a+2b=M，求證：a219．已知函數(shù)f(x)=x+1（Ⅰ）解不等式f(x)≤2x+2；（Ⅱ）設函數(shù)f(x)的最小值為t，若a>0,b>0，且a+b=t，證明：a220．已知函數(shù)fx（1）求不等式fx≤4x+7的最小整數(shù)解（2）在（1）的條件下，對任意a，b∈?m,+∞，若a+b=4，求W=大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷與新課標理科卷）專題18不等式選講真題匯總命題趨勢真題匯總命題趨勢1．【2022年全國甲卷理科23】已知a，b，c均為正數(shù)，且a2(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，則1a【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：由柯西不等式有a2所以a+b+2c≤3，當且僅當a=b=2c=1時，取等號，所以a+b+2c≤3；(2)證明：因為b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c由權方和不等式知1a當且僅當1a=24c，即所以1a2．【2022年全國乙卷理科23】已知a，b，c都是正數(shù)，且a3(1)abc≤1(2)ab+c【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)證明：因為a>0，b>0，c>0，則a32>0，b所以a3即abc12≤13，所以abc≤(2)證明：因為a>0，b>0，c>0，所以b+c≥2bc，a+c≥2ac，所以ab+c≤a2a當且僅當a=b=c時取等號．3．【2021年全國甲卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?2|,g(x)=|2x+3|?|2x?1|．（1）畫出y=f(x)和y=g(x)的圖像；（2）若f(x+a)≥g(x)，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）a≥（1）可得f(x)=|x?2|={2?x,x<2g(x)=|2x+3|?|2x?1|={?4,x<?（2）f(x+a)=|x+a?2|，如圖，在同一個坐標系里畫出f(x),g(x)圖像，y=f(x+a)是y=f(x)平移了|a|個單位得到，則要使f(x+a)≥g(x)，需將y=f(x)向左平移，即a>0，當y=f(x+a)過A(12,4)時，|12則數(shù)形結合可得需至少將y=f(x)向左平移112個單位，∴a≥4．【2021年全國乙卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|x?a|+|x+3|.（1）當a=1時，求不等式f(x)≥6的解集;（2）若f(x)>?a，求a的取值范圍．【答案】（1）(?∞,?4]∪[2,+∞).（2）(?3（1）當a=1時，f(x)=|x?1|+|x+3|，|x?1|+|x+3|表示數(shù)軸上的點到1和?3的距離之和，則f(x)≥6表示數(shù)軸上的點到1和?3的距離之和不小于6，當x=?4或x=2時所對應的數(shù)軸上的點到1，?3所對應的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到1，?3所對應的點距離之和等于大于等于6得到所對應的坐標的范圍是x≤?4或x≥2，所以f(x)≥6的解集為(?∞,?4]∪[2,+∞).（2）依題意f(x)>?a，即|x?a|+|x+3|>?a恒成立，|x?a|+|x+3|=|a?x|+|x+3|≥|a+3|，當且僅當(a?x)(x+3)≥0時取等號，∴f(x)故|a+3|>?a，所以a+3>?a或a+3<a，解得a>?3所以a的取值范圍是(?35．【2020年全國1卷理科23】已知函數(shù)f(x)=|3x+1|?2|x?1|．（1）畫出y=f(x)的圖像；（2）求不等式f(x)>f(x+1)的解集．【答案】（1）詳解解析；（2）?∞,?7【解析】（1）因為fx=（2）將函數(shù)fx的圖象向左平移1個單位，可得函數(shù)f由?x?3=5x+1?1，解得所以不等式的解集為?∞,?76．【2020年全國2卷理科23】已知函數(shù)f(x)=x?（1）當a=2時，求不等式f(x)?4的解集；（2）若f(x)?4，求a的取值范圍.【答案】（1）xx≤32或x≥112【解析】（1）當a=2時，fx當x≤3時，fx=4?x+3?x=7?2x≥4，解得：當3<x<4時，fx當x≥4時，fx=x?4+x?3=2x?7≥4，解得：綜上所述：fx≥4的解集為xx≤（2）fx=x?∴a?12≥4，解得：a≤?1∴a的取值范圍為?∞,?1∪7．【2020年全國3卷理科23】設a，b，c∈R，a+b+c=0，abc=1．（1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥34【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.【解析】（1）∵(a+b+c)∴ab+bc+ca=?1∵abc=1,∴a,b,c均不為0，則a2+b（2）不妨設max{a,b,c}=a由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0，∵a=?b?c,a=1bc，當且僅當b=c時，取等號，∴a≥34，即8．【2019年新課標3理科23】設x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，證明：a≤﹣3或【答案】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2]≥（x﹣1+y+1+z+1）2＝4，可得（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2≥4即有（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為43（2）證明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）2＝（a+2）2，可得（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥(a+2即有（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2的最小值為(a+2)由題意可得(a+2)解得a≥﹣1或a≤﹣3．9．【2019年全國新課標2理科23】已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）當a＝1時，求不等式f（x）＜0的解集；（2）當x∈（﹣∞，1）時，f（x）＜0，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當a＝1時，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），∵f（x）＜0，∴當x＜1時，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；當x≥1時，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈?；綜上，不等式的解集為（﹣∞，1）；（2）當a≥1時，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；當a＜1時，x∈（a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不滿足題意，∴a的取值范圍為：[1，+∞）10．【2019年新課標1理科23】已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．證明：（1）1a+1b+1c≤a（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【答案】證明：（1）分析法：已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．要證（1）1a+1b+1c≤a2+就要證：abca+abcb+abcc≤a即證：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；當且僅當：a＝b＝c＝1時取等號．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得證．故1a+1b+1c≤a（2）證（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．（a+b）為正數(shù)；（b+c）為正數(shù)；（c+a）為正數(shù)；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）；當且僅當（a+b）＝（b+c）＝（c+a）時取等號；即：a＝b＝c＝1時取等號；∵a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1．（a+b）≥2ab；（b+c）≥2bc；（c+a）≥2ac；當且僅當a＝b，b＝c；c＝a時取等號；即：a＝b＝c＝1時取等號；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）?（b+c）?（c+a）≥3×8ab?bc?ac=24abc當且僅當a＝b＝c＝1時取等號；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得證．故得證．11．【2018年新課標1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）當a＝1時，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當a＝1時，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|=2，x＞1由f（x）＞1，∴2x＞1?1≤x≤1或2＞1解得x＞1故不等式f（x）＞1的解集為（12（2）當x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜2∴a＜∵2x∴0＜a≤2，故a的取值范圍為（0，2]．12．【2018年新課標2理科23】設函數(shù)f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）當a＝1時，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當a＝1時，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4，x≤?1當x≤﹣1時，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，當﹣1＜x＜2時，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，當x≥2時，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，綜上所述不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范圍（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．13．【2018年新課標3理科23】設函數(shù)f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）的圖象；（2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【答案】解：（1）當x≤?12時，f（x）＝﹣（2x+1）﹣（x當?12＜x＜1，f（x）＝（2x+1）﹣（x當x≥1時，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，則f（x）=?3x，畫出y＝f（x）的圖象；（2）當x∈[0，+∞）時，f（x）≤ax+b，當x＝0時，f（0）＝2≤0?a+b，∴b≥2，當x＞0時，要使f（x）≤ax+b恒成立，則函數(shù)f（x）的圖象都在直線y＝ax+b的下方或在直線上，∵f（x）的圖象與y軸的交點的縱坐標為2，且各部分直線的斜率的最大值為3，故當且僅當a≥3且b≥2時，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值為5．14．【2017年新課標1理科23】已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）當a＝1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當a＝1時，f（x）＝﹣x2+x+4，是開口向下，對稱軸為x=1g（x）＝|x+1|+|x﹣1|=2x，x＞1當x∈（1，+∞）時，令﹣x2+x+4＝2x，解得x=17?12，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴此時f（x）≥g（x當x∈[﹣1，1]時，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．當x∈（﹣∞，﹣1）時，g（x）單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．綜上所述，f（x）≥g（x）的解集為[﹣1，17?1（2）依題意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，則只需12?a?1?2≤0(?1)故a的取值范圍是[﹣1，1]．15．【2017年新課標2理科23】已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．證明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【答案】證明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a?a5+b?b5）2＝（當且僅當ab5=ba（2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴(a+b)3由均值不等式可得：(a+b)3?23(a+b)=ab∴（a+b）3﹣2≤3(a+b∴14（a+b）3∴a+b≤2，當且僅當a＝b＝1時等號成立．16．【2017年新課標3理科23】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．【答案】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|=?3，x＜?12x?1，?1≤x≤23，x＞2，f∴當﹣1≤x≤2時，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；當x＞2時，3≥1恒成立，故x＞2；綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．（2）原式等價于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，設g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=?x當x≤﹣1時，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其開口向下，對稱軸方程為x=1∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；當﹣1＜x＜2時，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其開口向下，對稱軸方程為x=32∴g（x）≤g（32）=?9當x≥2時，g（x）＝﹣x2+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x=1∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；綜上，g（x）max=5∴m的取值范圍為（﹣∞，5417．【2016年新課標1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在圖中畫出y＝f（x）的圖象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x?4，x≤?1由分段函數(shù)的圖象畫法，可得f（x）的圖象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得當x≤﹣1時，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；當﹣1＜x＜32時，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x即有﹣1＜x＜13或1＜x當x≥32時，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或3綜上可得，x＜13或1＜x＜3或則|f（x）|＞1的解集為（﹣∞，1318．【2016年新課標2理科24】已知函數(shù)f（x）＝|x?12|+|x+12|，M為不等式（Ⅰ）求M；（Ⅱ）證明：當a，b∈M時，|a+b|＜|1+ab|．【答案】解：（I）當x＜?12時，不等式f（x）＜2可化為：12?解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜?當?12≤x≤12時，不等式f（x）＜2可化為：1此時不等式恒成立，∴?12≤當x＞12時，不等式f（x）＜2可化為：?12+解得：x＜1，∴12＜綜上可得：M＝（﹣1，1）；證明：（Ⅱ）當a，b∈M時，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．19．【2016年新課標3理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）當a＝2時，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設函數(shù)g（x）＝|2x﹣1|，當x∈R時，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．【答案】解：（1）當a＝2時，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）＝|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）＝|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x?12|+2|x?a|x?12|+|x?a當a≥3時，成立，當a＜3時，|x?12|+|x?a2|≥1∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范圍是[2，+∞）．20．【2015年新課標2理科24】設a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b＝c+d，證明：（1）若ab＞cd，則a+（2）a+b＞c+d是|a﹣【答案】證明：（1）由于（a+b）2＝a+b+2（c+d）2＝c+d+2由a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b＝c+d，ab＞cd，則ab＞即有（a+b）2＞（c+則a+（2）①若a+b＞c+d，則（a+即為a+b+2ab＞c+d+2cd由a+b＝c+d，則ab＞cd，于是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2＝（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即為|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，則（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b＝c+d，則ab＞cd，則有（a+b）2＞（c+綜上可得，a+b＞c+d是|a﹣21．【2014年新課標1理科24】若a＞0，b＞0，且1a（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并說明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且1a∴ab=1a+1當且僅當a＝b=2∵a3+b3≥2(ab)3≥223=42，當且僅當a∴a3+b3的最小值為42．（Ⅱ）∵2a+3b≥22a?3b=26ab，當且僅當2a而由（1）可知，26ab≥212=4故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．22．【2014年新課標2理科24】設函數(shù)f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．【答案】解：（Ⅰ）證明：∵a＞0，f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|≥|（x+1a）﹣（x﹣a）|＝|a+1a故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）＝|3+1a|+|3﹣∴當a＞3時，不等式即a+1a＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜當0＜a≤3時，不等式即6﹣a+1a＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得綜上可得，a的取值范圍（1+52，23．【2013年新課標1理科24】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）當a＝﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）設a＞﹣1，且當x∈[?a2，12]時，f（x）≤g（x【答案】解：（Ⅰ）當a＝﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）化為|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．設y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，則y=?5x，x＜結合圖象可得，y＜0的解集為（0，2），故原不等式的解集為（0，2）．（Ⅱ）設a＞﹣1，且當x∈[?a2，12]時，f（x）＝1+a，不等式化為1+a故x≥a﹣2對x∈[?a2，故?a2解得a≤4故a的取值范圍為（﹣1，4324．【2013年新課標2理科24】設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c＝1，證明：（Ⅰ）ab+bc+ca≤（Ⅱ）a2【答案】證明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，由題設得（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤1（Ⅱ）因為a2b+b≥2a，b2c+c≥2b故a2b+b2c+c2a+（a+b+c）≥2（a+所以a2模擬好題模擬好題1．已知函數(shù)f(1)當a=4時，求不等式fx(2)若fx≥a2?【答案】(1)（-3，1）(2)?1≤a≤2【解析】(1)當a=4時，f(x)<6化為2x+4當x<?2時，不等式化為?2x?4?x?1<6，解得當?2≤x≤1時，不等式化為2x+4?x?1<6，解得當x>1時，不等式化為2x+4+x?1<6，無解，綜上所述：當a=4時，不等式f(x)<6的解集為（—3，1）(2)由fx≥a因為|2x+a|+|2x?2|≥|2x+a?2x?2|=|a+2|（當且僅當2x+a2x?2≤0時，等號成立），又因為當a+2≤0，即a≤?2時，有a2≤?a?2，即當a+2>0，即a>?2時，有a2≤a+2，田a綜上所述：a的取值范圍為?1≤a≤2..2．已知正數(shù)a，b，c滿足a3(1)求證：0<abc≤1；(2)求證：1ab【答案】(1)證明詳見解析；(2)證明詳見解析.【解析】(1)證明：∵a3當且僅當a=b=c時，等號成立，設abc=x，∴a3即3x2+x?4≤0∵a，b，c為正數(shù)，∴abc>0，∴0<abc≤1.(2)∵1由（1）可得，0<abc≤1,∴a+b+c∴(1ab+∵a2+b∴(1ab+3．已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x?2|．(1)解不等式f(x)>6；(2)若關于x的不等式f(x)≥x2+m在0,4【答案】(1)?(2)(?【解析】(1)由|x+1|+|x?2|>6得x<?1,?x?1?x+2>6或?1≤x≤2,x+1?x+2>6解得x<?52或x∈?或x>72，(2)由題意知，當x∈[0,4]時，|x+1|+∣x?2|≥x若0≤x<2，則x+1+2?x≥x2+m此時，?1<?x2+3≤3若2≤x≤4，則x+1+x?2≥x2+m，即m≤?x2+2x?1恒成立，此時，?x綜上所述，m的取值范圍是(?∞4．已知fx=x?4(1)求實數(shù)m值；(2)若a+b+c=m3?3【答案】(1)m=3(2)證明見解析【解析】(1)由題意，函數(shù)fx當x<?1時，可得fx=4?x?2x?2+x?1=1?2x，可得當?1≤x<1時，可得fx=4?x+2x+2+x?1=5+2x，可得當1≤x<4時，可得fx=4?x+2x+2+1?x=7，可得當x≥4時，可得fx=x?4+2x+2+1?x=2x?1，可得所以函數(shù)fx的最小值為3(2)解：由m=3，可得a+b+c=m所以4=a+b+c當且僅當a=b=c=?23時取等號，所以5．已知fx=x?2(1)求m的值；(2)若正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=m，證明：a2【答案】(1)5(2)證明見解析【解析】(1)fx=當且僅當?12(2)∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=5a2∴a2+2b26．已知a，b，c均為正實數(shù)，且abc=1．證明：(1)a3(2)b6【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)∵a，b，c都為正整數(shù)，且abc=1．∴a3當且僅當a=b=c=1時“=”成立．(2)法一：由題意得b①+②+③，得b6當且僅當a=b=c=1時“=”成立．法二：由Cauchy不等式，得b6令t=a則b6令gt=t+3+9t+3?6∴gt≥37．已知fx(1)若m=2，求fx(2)若a>0，b>0，c>0，abc=1，對于?x∈R，a+b2+a+c【答案】(1)x(2)?16,8【解析】(1)若m=2，則fx當x≥2，x+4?當?4<x<2時，x+4?2?x<2當x≤?4時?x?4?2?x=?6<2綜上所述：m=2時，fx<m的解集為(2)由a+b2+a+c又因為abc=1，所以4ab+ac+bc當且僅當a=b=c，ab=bc=ac時，即a=b=c=1等號成立，所以a+b2+a+c因為?x∈R，a+b2即fx當且僅當x+4x?m≥0時等號成立，解得故實數(shù)m的取值范圍為?16,8.8．已知函數(shù)fx(1)當m=2,a=1，求不等式fx(2)當m=1時，證明：fx【答案】(1)?(2)證明見解析【解析】(1)當m=2,a=1時，f(x)=|x+4|+2|x?1|=3x+2,x≥1當x≥1時，fx≤15化為3x+2≤15，解得當?4<x<1時，fx≤15化為6?x≤15，解得當x≤?4時，fx≤15化為?3x?2≤15，解得所以fx≤15的解集為(2)當m=1時，f當且僅當x+4a與x?1a異號，且4a=9．已知函數(shù)fx=x+2?m，(1)求m的值；(2)設a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=m，求3a+1+【答案】(1)1(2)3【解析】(1)由fx≤0，得x+2≤m又fx≤0的解集為所以?m?2=?3m?2=?1，解得m=1(2)由（1）知a+b+c=1由柯西不等式得(3a+1所以(3a+1所以3a+1+當且僅當3a+1=3b+1=故3a+1=3b+1=10．已知函數(shù)fx(1)當m=3時，求不等式fx(2)若fx?4恒成立，求實數(shù)【答案】(1){x∣x?1或x?6}(2)?【解析】(1)解：當m=3時，fx當x≤52時，令14?4x≥10，解得當52<x<9當x≥92時，令4x?14≥10，解得因此，不等式fx≥10的解集為{x|x≤1或(2)解：因為fx?4恒成立，所以因為f當且僅當2m?1≤x≤m所以(m?1)2?4，解得m?3或所以實數(shù)m的取值范圍是?∞11．已知函數(shù)fx(1)求不等式fx(2)若方程kx=f(x)存在非零實數(shù)根，求實數(shù)【答案】(1)(?(2)[?4,2)∪(2,4]【解析】(1)由題意f(x)={?2x+6又f(x)≥14，所以{x≤?3?2x+6≥14或{解得x≤?4或x≥10，即不等式f(x)≥14的解集為(?∞(2)由題得方程k|x|=3|x?1|?|x+3|存在非零實數(shù)根．所以k=3|x?1|?|x+3|又||3當且僅當(3x?3)(3x又3x≠0，則所以?4≤|3x?3|?|所以?4≤k≤4且k≠2，綜上，實數(shù)k的取值范圍是[?4,2)∪(2,4]．12．已知函數(shù)fx(1)當a=?1時，求不等式fx(2)當x∈1,2時，fx≥0【答案】(1)?(2)?【解析】(1)當a=?1時，fx當x≤?12時，fx=?2x?1+2?x=?3x+1<8，解得：當?12<x<2時，fx=2x+1+2?x=x+3<8當x≥2時，fx=2x+1+x?2=3x?1<8，解得：x<3，綜上所述：不等式fx<8的解集為(2)當x∈1,2時，fx=①當2x?a≥0時，2x?a≥a2?x，即a+2∴2?a≥0a+2?3a≥0?a+4≥0②當2x?a<0時，a?2x≥a2?x，即a?2∴a>4a?2?a≥02綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為?∞13．已知函數(shù)fx(1)當a=?1時，求不等式fx(2)若關于x的不等式fx?x?2【答案】(1)7(2)?【解析】(1)由題意得，2x?3+當x<32時，不等式化為3?2x+6?3x<2.解得x>75當32≤x≤2時，不等式化為2x?3+6?3x<2.解得x>1，∴當x>2時，不等式化為2x?3+3x?6<2，解得x<115，∴綜上，不等式fx<2的解集為(2)由題意得，a2∵2x?3+2x?4≥2x?3解得：a≤?1或a≥3，即a的取值范圍是?∞14．已知函數(shù)f(x)=|x?1|?2|x?3|．(1)求不等式f(x)≥?2的解集；(2)若存在x，使不等式a2?a<f(x)+|x?3|成立，求實數(shù)【答案】(1)5(2)(?1,2)【解析】(1)f(x)=x?5由f(x)≥?2可得x<1時無解，1≤x≤3時，解得：53x>3時，解得3<x≤7，綜上，解集為53(2)由已知：存在x，使不等式a2即a2又∵|x?1|?|x?3|≤|(x?1)?(x?3)|=2（當且僅當x≥3時取“=”號），∴a2?a<2，∴∴實數(shù)a的取值范圍為(?1,2)．15．已