人教版九年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題21.13一元二次方程單元測試(能力過關卷)特訓(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學年九年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題21.13一元二次方程單元測試（能力過關卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021春?八步區(qū)期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+y＝0 B．x3﹣3x+1＝0 C．3x2＝0 D．2．（2021秋?龍沙區(qū)期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則m2﹣m+2020的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20223．（2021秋?宛城區(qū)期中）將方程7x﹣3＝2x2化為一般形式后，常數(shù)項為3，則一次項系數(shù)為（）A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x4．（2021秋?津南區(qū)期中）關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≤﹣15．（2021秋?武江區(qū)校級期末）為創(chuàng)建全國文明城市，某市2019年投入城市文化打造費用2500萬元，預計2021年投入3600萬元．設這兩年投入城市文化打造費用的年平均增長百分率為x，則下列方程正確的是（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）2＝3600 C．2500（1+x%）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝36006．（2021?平南縣三模）若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a≥﹣3 B．a≠1 C．a＞﹣3且a≠1 D．a≥﹣3且a≠17．（2022?江州區(qū)模擬）《九章算術》勾股章有一問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩索有多長？若設繩索長度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2 C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝828．（2020秋?大石橋市期末）不論x，y為何實數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2y﹣4x+6的值（）A．總不小于1 B．總不大于1 C．總不小于6 D．可為任何實數(shù)9．（2022?橋西區(qū)校級模擬）如圖，將邊長為40cm的正方形硬紙板的四個角各剪掉一個同樣大小的正方形，剩余部分折成一個無蓋的盒子（紙板的厚度忽略不計）若該無蓋盒子的底面積為900cm2，盒子的容積是（）A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm310．（2022春?淄川區(qū)期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022?揚州）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于x的方程x2﹣2x+＝0有兩個不相等的實數(shù)根．12．（2021秋?密山市校級期末）以﹣2為一根且二次項次數(shù)是1的一元二次方程可寫為（寫一個即可）．13．（2020秋?滎陽市校級月考）若關于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，則m＝．14．（2022?秦淮區(qū)二模）寫出一個一元二次方程，使它的兩根之和是4，并且兩根之積是2：．15．（2020秋?紅谷灘區(qū)校級期末）已知x＝a是方程x2﹣2x﹣7＝0的根，則代數(shù)式2a2﹣4a+1的值為．16．（2020春?萊西市期中）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩根分別是m+1和2m﹣13，則＝．17．（2022?山西模擬）如圖是一張長6cm，寬5cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形（陰影部分），剩余部分可制成底面積是6cm2的有蓋的長方體鐵盒．若設剪去的正方形的邊長為xcm，則根據(jù)題意可列方程．18．（2022?仙居縣二模）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0），此方程的解為x1＝2，x2＝3．則關于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解為．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2022春?蕭山區(qū)月考）解方程：（1）2x2＝8x；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．20．（2022?零陵區(qū)二模）已知關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）當k＝3時，求一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解；（2）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．21．（2022?南京二模）已知關于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根．（1）求證：m2＝n；（2）求證：m+n≥﹣．22．（2022?豐南區(qū)一模）已知兩個整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系數(shù)■被污染．（1）若■是﹣2，化簡A+B；（2）若x＝2時，A+B的值為18．①說明原題中■是幾？②若再添加一個常數(shù)a，使A+B+a的值不為負數(shù)，求a的最小值．23．（2022?東莞市校級二模）國土資源部提出“保經濟增長、保耕地紅線”行動，堅持實行最嚴格的耕地保護制度，某村響應國家號召，2019年有耕地7200畝，經過改造后，2021年有耕地8712畝．（1）求該村耕地兩年平均增長率；（2）按照（1）中平均增長率，求2022年該村耕地擁有量．24．（2022?開州區(qū)模擬）“綠化校園，書香開州”，今年三月份，開州區(qū)某校計劃購買梧桐樹苗和杉樹苗共100棵，其中梧桐樹苗每棵40元，杉樹苗每棵35元，經預算，此次購買兩種樹苗一共至少需要3800元．（1）計劃購買梧桐樹苗最少是多少棵？（2）在實際購買中，因受樹苗積壓以及市場影響，為此商家降低了兩種樹苗的售價，且降價相同，但降價金額不得高于10元/棵，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，兩種樹苗的售價每降低1元，梧桐樹苗的銷售量會增加2棵，杉樹苗的銷售量會增加3棵．若該校實際購進這兩種樹苗一共所需費用比計劃購買的最低費用多了300元，則兩種樹苗都降低多少元？【講練課堂】2022-2023學年九年級數(shù)學上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題21.13一元二次方程單元測試（能力過關卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021春?八步區(qū)期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+y＝0 B．x3﹣3x+1＝0 C．3x2＝0 D．【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程．【解析】A．該方程含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．該方程未知數(shù)的最高次數(shù)是3次，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C．該方程是一元二次方程，故本選項符合題意；D．該方程未知數(shù)的最高次數(shù)不是2次，不是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：C．2．（2021秋?龍沙區(qū)期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則m2﹣m+2020的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】利用一元二次方程根的定義得到m2﹣m＝1，然后利用整體代入的方法計算m2﹣m+2020的值．【解析】∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．故選：C．3．（2021秋?宛城區(qū)期中）將方程7x﹣3＝2x2化為一般形式后，常數(shù)項為3，則一次項系數(shù)為（）A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x【分析】首先移項，把7x﹣3移到等號右邊，然后再確定一次項系數(shù)即可．【解析】由7x﹣3＝2x2，得2x2﹣7x+3＝0，所以一次項系數(shù)是﹣7，故選：B．4．（2021秋?津南區(qū)期中）關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≤﹣1【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解關于m的不等式即可．【解析】根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，解得m≤1，故選：C．5．（2021秋?武江區(qū)校級期末）為創(chuàng)建全國文明城市，某市2019年投入城市文化打造費用2500萬元，預計2021年投入3600萬元．設這兩年投入城市文化打造費用的年平均增長百分率為x，則下列方程正確的是（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x）2＝3600 C．2500（1+x%）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600【分析】設這兩年投入教育經費的年平均增長百分率為x，根據(jù)“2021年投入3600萬元”可得出方程．【解析】依題意得2021年的投入為2500（1+x）2，∴2500（1+x）2＝3600．故選：B．6．（2021?平南縣三模）若關于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a≥﹣3 B．a≠1 C．a＞﹣3且a≠1 D．a≥﹣3且a≠1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．【解析】根據(jù)題意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，解得a≥﹣3且a≠1．故選：D．7．（2022?江州區(qū)模擬）《九章算術》勾股章有一問題，其意思是：現(xiàn)有一豎立著的木柱，在木柱上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索退行，在離木柱根部8尺處時繩索用盡，請問繩索有多長？若設繩索長度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2 C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝82【分析】設繩索長為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．【解析】設繩索長為x尺，可列方程為（x﹣3）2+82＝x2，故選：C．8．（2020秋?大石橋市期末）不論x，y為何實數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2y﹣4x+6的值（）A．總不小于1 B．總不大于1 C．總不小于6 D．可為任何實數(shù)【分析】通過配方可把代數(shù)式x2+y2+2y﹣4x+6變形為（x﹣2）2+（y+1）2+1，由非負數(shù)的知識可知該代數(shù)式的值總不小于1．【解析】∵x2+y2+2y﹣4x+6＝（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，又∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x2+y2+2y﹣4x+6≥1，即代數(shù)式x2+y2+2y﹣4x+6的值總不小于1．故選：A．9．（2022?橋西區(qū)校級模擬）如圖，將邊長為40cm的正方形硬紙板的四個角各剪掉一個同樣大小的正方形，剩余部分折成一個無蓋的盒子（紙板的厚度忽略不計）若該無蓋盒子的底面積為900cm2，盒子的容積是（）A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3【分析】設剪掉的正方形的邊長為xcm，則做成的無蓋盒子的底面為長（40﹣2x）cm的正方形，根據(jù)該無蓋盒子的底面積為900cm2，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再利用盒子的容積＝該無蓋盒子的底面積×盒子的高，即可求出結論．【解析】設剪掉的正方形的邊長為xcm，則做成的無蓋盒子的底面為長（40﹣2x）cm的正方形，依題意得：（40﹣2x）2＝900，解得：x1＝5，x2＝35（不合題意，舍去），∴盒子的容積為900×5＝4500（cm3）．故選：C．10．（2022春?淄川區(qū)期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正確的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義逐個判斷排除．【解析】①若a+b+c＝0，則x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正確；②方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0則方程ax2+bx+c＝0的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正確；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正確．故正確的有①②④，故選：B．二．填空題（共8小題）11．（2022?揚州）請?zhí)顚懸粋€常數(shù)，使得關于x的方程x2﹣2x+0（答案不唯一）＝0有兩個不相等的實數(shù)根．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出關于c的不等式，解之即可求出c的值．【解析】a＝1，b＝﹣2．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×c＞0，∴c＜1．故答案為：0（答案不唯一）．12．（2021秋?密山市校級期末）以﹣2為一根且二次項次數(shù)是1的一元二次方程可寫為x2+4x+4＝0（答案不唯一）（寫一個即可）．【分析】根據(jù)要求二次項系數(shù)為1，有一個因式（x+2），另一個因式不定，方程是開放型，另一個根任選即可．【解析】∵一元二次方程的二次項系數(shù)為1，且一個根為﹣2∴方程為（x+2）（x+m）＝0，令m＝2，則方程為（x+2）（x+2）＝0，即x2+4x+4＝0．故答案為：x2+4x+4＝0（答案不唯一）．13．（2020秋?滎陽市校級月考）若關于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，則m＝﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，繼而即可得出m的值．【解析】根據(jù)題意，得：m﹣1≠0且m2+1＝2，解得m＝﹣1，故答案為：﹣1．14．（2022?秦淮區(qū)二模）寫出一個一元二次方程，使它的兩根之和是4，并且兩根之積是2：x2﹣4x+2＝0．【分析】設此一元二次方程為x2+px+q＝0，根據(jù)兩根之和是4，兩根之積是2，求出p、q的值即可．【解析】設此一元二次方程為x2+px+q＝0，∵它的兩根之和是4，兩根之積是2，∴﹣p＝4，q＝2，∴p＝﹣4，∴這個方程為：x2﹣4x+2＝0．故答案為：x2﹣4x+2＝0．15．（2020秋?紅谷灘區(qū)校級期末）已知x＝a是方程x2﹣2x﹣7＝0的根，則代數(shù)式2a2﹣4a+1的值為15．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將a代入已知方程，即可求得（a2﹣2a）的值，然后整體代入即可求解．【解析】根據(jù)題意，得a2﹣2a﹣7＝0，解得，a2﹣2a＝7，所以2a2﹣4a+1＝2（a2﹣2a）+1＝14+1＝15．故答案是：15．16．（2020春?萊西市期中）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩根分別是m+1和2m﹣13，則＝25．【分析】方程變形后，利用平方根的定義得到兩根互為相反數(shù)，即可求出m的值，由此求得原方程的兩個根，結合根與系數(shù)的關系來求的值．【解析】∵一元二次方程ax2＝b的兩個根分別是m+1與2m﹣13，∴m+1+2m﹣13＝0，解得：m＝4，即方程的根是5與﹣5，∴＝25．故答案為：25．17．（2022?山西模擬）如圖是一張長6cm，寬5cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形（陰影部分），剩余部分可制成底面積是6cm2的有蓋的長方體鐵盒．若設剪去的正方形的邊長為xcm，則根據(jù)題意可列方程（3﹣x）（5﹣2x）＝6．【分析】根據(jù)底面矩形的面積公式可得答案．【解析】設剪去的正方形的邊長為xcm．則列出的方程是（3﹣x）（5﹣2x）＝6，故答案為：（3﹣x）（5﹣2x）＝6．18．（2022?仙居縣二模）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0），此方程的解為x1＝2，x2＝3．則關于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解為x1＝，x2＝1．【分析】根據(jù)關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，從而求得3x，然后求得x的值即可．【解析】∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，∴方程9ax2﹣3bx+c＝0中3x＝2或3x＝3，解得：x1＝，x2＝1．故答案為：x1＝，x2＝1．三．解答題（共6小題）19．（2022春?蕭山區(qū)月考）解方程：（1）2x2＝8x；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式，進而解方程得出答案；（2）直接利用公式法解方程得出答案．【解析】（1）2x2＝8x，則2x（x﹣4）＝0，故2x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4；（2）3x2﹣4x﹣2＝0，則△＝b2﹣4ac＝16﹣4×3×（﹣2）＝40＞0，故x＝＝，解得：x1＝，x2＝．20．（2022?零陵區(qū)二模）已知關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）當k＝3時，求一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的解；（2）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【分析】（1）把k＝3代入方程得到x2﹣4x+3＝0，解方程即可得到結論；（2）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明Δ＞0即可．Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，因為（k﹣3）2≥0，可以得到Δ＞0．【解答】（1）解：當k＝3時，方程可化為x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3；（2）證明：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4（2k﹣3）＝k2﹣6k+13＝（k﹣3）2+4，而（k﹣3）2≥0，∴Δ＞0．∴對任意實數(shù)k，方程有兩個不相等的實數(shù)根．21．（2022?南京二模）已知關于x的方程x2+2mx+n＝0（m、n是常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根．（1）求證：m2＝n；（2）求證：m+n≥﹣．【分析】（1）根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝（2m）2﹣4n＝0，然后整理得到結論；（2）利用（1）中結論用m表示n，再進行配方得到m+n＝（m+）2﹣，然后利用非負數(shù)的性質得到結論．【解答】證明：（1）∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4n＝0，∴4m2﹣4n＝0，∴m2＝n；（3）把n＝m2代入m+n得m+n＝m+m2，∵m+m2＝m2+m+﹣＝（m+）2﹣，而（m+）2≥0，∴m+n≥﹣．22．（2022?豐南區(qū)一模）已知兩個整式A＝x2+2x，B＝■x+2，其中系數(shù)■被污染．（1）若■是﹣2，化簡A+B；（2）若x＝2時，A+B的值為18．①說明原題中■是幾？②若再添加一個常數(shù)a，使A+B+a的值不為負數(shù)，求a的最小值．【分析】（1）把﹣2代入確定出B，將A與B代入A+B中，去括號合并即可得到結果；（2）①設■＝m，表示出A+B，根據(jù)A+B＝18求出m的值即可；②根據(jù)題意得到A+B+a≥0，將A+B＝18代入求出a的范圍，進而確定出a的最小值即可．【解析】（1）∵A＝x2+2x，B＝﹣2x+2，∴A+B＝x2+2x+（﹣2x+2）＝x2+2x﹣2x+2＝x2+2；（2）①設■＝m，依題意得，22+2×2+2m+2＝18，解得：m＝4；②∵A+B＝18，∴A+B+a的值不為負數(shù)時，有A+B+a≥0，∴18+a≥