專題21相似三角形（解答題）（原卷版）

專題21相似三角形（解答題部分）題型1：相似三角形的證明與計算6．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．15．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點O，，E為延長線上一點，過點E作，交的延長線于點F．（1）求證；（2）若，求的長．29．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點，連接DE．過點E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點．連接DG，交PC于點H．(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關系與數(shù)量關系？請說明理由；(4)求的最大值．33．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．

35．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖1，在中，，點在邊上由點向點運動（不與點重合），過點作，交射線于點．(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段與的數(shù)量關系，并說明理由；①點在線段的延長線上且；②點在線段上且．(2)若．①當時，求的長；②直接寫出運動過程中線段長度的最小值．

50．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱．例如：如圖①，先將以點為位似中心縮小，得到，再將沿過點的直線翻折，得到，則與成自位似軸對稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對稱的是________（填寫所有符合條件的序號）；(2)如圖③，已知經(jīng)過自位似軸對稱變換得到，是上一點，用直尺和圓規(guī)作點，使與是該變換前后的對應點（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；(3)如圖④，在中，是的中點，是內一點，，，連接，求證：．

51．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關系，并說明理由.52．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B1，點C的對應點為C1，畫出△AB1C1；（2）連接CC1，△ACC1的面積為；（3）在線段CC1上畫一點D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．

題型2：相似三角形與四邊形綜合1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）綜合與實踐【問題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點落在對角線上，點的對應點記為，折痕與邊，分別交于點，.【活動猜想】（1）如圖2，當點與點重合時，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問題解決】（2）如圖3，當，，時，求證：點，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當與滿足什么關系時，始終有與對角線平行？請說明理由.（4）在（3）的情形下，設與，分別交于點，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關系，并說明理由.

2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片，小宏做如下操作：（1）取，的中點D，E，在邊上作；（2）連接，分別過點D，N作，，垂足為G，H；（3）將四邊形剪下，繞點D旋轉至四邊形的位置，將四邊形剪下，繞點E旋轉至四邊形的位置；（4）延長，交于點F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形是矩形；③；④四邊形與的面積相等．【任務1】請你對結論①進行證明．【任務2】如圖2，在四邊形中，，P，Q分別是，的中點，連接．求證：．【任務3】如圖3，有一張四邊形紙，，，，，，小麗分別取，的中點P，Q，在邊上作，連接，她仿照小宏的操作，將四邊形分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求的長．

3．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，點E、F、G、H分別是各邊的中點，連接相交于點M，連接相交于點N．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若?AMCN的面積為4，求的面積．4．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點、、、分別在正方形的邊、、、上．(1)如圖1，當四邊形是正方形時，求證：；(2)如圖2，已知，，當、的大小有_________關系時，四邊形是矩形；(3)如圖3，，、相交于點，，已知正方形的邊長為16，長為20，當?shù)拿娣e取最大值時，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結論．

5．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．16．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在矩形中，線段、分別平行于、，它們相交于點，點、分別在線段、上，，，連接、，與交于點．已知．設，．（1）四邊形的面積______四邊形的面積（填“”、“”或“”）；（2）求證：；（3）設四邊形的面積為，四邊形的面積為，求的值．20．（2023·江蘇南通·中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉45°，交射線于點．

(1)如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；(2)過點作，垂足為，連接，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當點在邊延長線上且時，求的值．23．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當時，求四邊形的面積；(2)當點在線段上移動時，設，四邊形的面積為，求關于的函數(shù)表達式．

26．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，在矩形中，，，是上一點，，是上的動點，連接，是上一點，且（為常數(shù)，），分別過點、作、的垂線相交于點，設的長為，的長為．(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數(shù)表達式；(3)在點從點到點的整個運動過程中，若線段上存在點，則的值應滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．27．（2022·江蘇淮安·中考真題）在數(shù)學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點的對應點為點，點的對應點為點．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】與的位置關系是______；(2)【思考表達】連接，判斷與是否相等，并說明理由；(3)如圖（2），延長交于點，連接，請?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由；(4)【綜合運用】如圖（3），當時，連接，延長交于點，連接，請寫出、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．39．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，正方形中，點E在邊上（不與端點A，D重合），點A關于直線的對稱點為點F，連接，設．（1）求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆唬?）過點C作，垂足為G，連接．判斷與的位置關系，并說明理由；（3）將繞點B順時針旋轉得到，點E的對應點為點H，連接，．當為等腰三角形時，求的值．43．（2021·江蘇無錫·中考真題）已知四邊形是邊長為1的正方形，點E是射線上的動點，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設．（1）如圖1，若點E在線段上運動，交于點P，交于點Q，連結，①當時，求線段的長；②在中，設邊上的高為h，請用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設過的中點且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長為y，請直接寫出y與m的關系式．

45．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當正方形AEFG旋轉至圖②位置時，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．47．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進行數(shù)學探究：第一步，畫出矩形和矩形，點、在邊上（），且點、、、在直線的同側；第二步，設置，矩形能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊的中點，射線與射線相交于點（點、不重合），射線與射線相交于點（點、不重合），觀測、的長度．(1)如圖，小麗取，滑動矩形，當點、重合時，______；(2)小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點．她發(fā)現(xiàn)對于任意的總成立．請說明理由；(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設定、的某種數(shù)量關系后，滑動矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．題型3：相似三角形與圓形綜合7．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是的內接三角形，是的直徑，，點在上，連接并延長，交于點，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長．8．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．(1)求證；(2)當時，求CE的長．9．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，AB是的直徑，AC是弦，D是的中點，CD與AB交于點E．F是AB延長線上的一點，且．(1)求證：為的切線；(2)連接BD，取BD的中點G，連接AG．若，，求AG的長．12．（2021·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形內接于，是的直徑，與交于點E，切于點B．（1）求證：；（2）若，，求證：．10．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、、均為格點．【操作探究】在數(shù)學活動課上，佳佳同學在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段、，相交于點并給出部分說理過程，請你補充完整：解：在網(wǎng)格中取格點，構建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以．所以∠=∠．因為∠∠=∠=90°，所以∠+∠=90°，所以∠=90°，即⊥．(1)【拓展應用】如圖②是以格點為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點P，使=，寫出作法，并給出證明：(2)【拓展應用】如圖③是以格點為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點P．使=·，寫出作法，不用證明．

11．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過點P的弦CD⊥AB，Q為上一動點（與點B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．（1）若m＝3．①求證：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代數(shù)式表示，請直接寫出結果；（3）存在一個大小確定的⊙O，對于點Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個定值，求此時∠Q的度數(shù)．13．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，為線段上一點，以為圓心長為半徑的⊙O交于點，點在⊙O上，連接，滿足．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，求的值．

14．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，中，，以點C為圓心，為半徑作，D為上一點，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長、相交于點E，若，求的值．18．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，是上（異于點，）的一點，恰好經(jīng)過點，，于點，且平分．

(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長．24．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，與相交于點．過點的圓O的切線，交的延長線于點，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．

37．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E是BC的中點，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，連接DE．（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若CD＝3，DE＝，求⊙O的直徑．38．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點P在邊BC上，⊙O經(jīng)過A，B，P三點．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，E是CD的中點，⊙O交射線AE于點Q，當AP平分∠EAB時，求tan∠EAP的值．

48．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔．

題型4：相似三角形與函數(shù)綜合17．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，頂點為，連接、，若點是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，且點與、點不重合．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)①求證：；②求；(3)當時，求直線與二次函數(shù)的交點橫坐標．

19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，兩點，點C在x軸負半軸上，．(1)______，______，點C的坐標為______．(2)點P在x軸上，若以B，O，P為頂點的三角形與相似，求點P的坐標．22．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內角是的兩倍，求點的橫坐標．

25．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點的坐標；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當線段的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，的面積為．

28．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為，直線經(jīng)過、兩點．(1)求該二次函數(shù)的表達式及其圖像的頂點坐標；(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點，當時，求點的橫坐標；(3)如圖（2），點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當?shù)闹底钚r，直接寫出的長．

31．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點．(1)_________，_________；(2)連接并延長，與反比例函數(shù)的圖像交于點，點在軸上，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標．

32．（2022·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．34．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．41．（2021·江蘇常州·中考真題）通過構造恰當?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關系或最值，這是“數(shù)形結合”思想的典型應用．【理解】（1）如圖1，，垂足分別為C、D，E是的中點，連接．已知，．①分別求線段、的長（用含a、b的代數(shù)式表示）；②比較大?。篲_________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關系．【應用】（2）如圖2，在平面直角坐標系中，點M、N在反比例函數(shù)的圖像上，橫坐標分別為m、n．設，記．①當時，__________；當時，________；②通過歸納猜想，可得l的最小值是__________．請利用圖2構造恰當?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．

42．（2021·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于點A、B，與反比例函數(shù)的圖像交于點C，連接．已知點，．（1）求b、k的值；（2）求的面積．44．（2021·江蘇無錫·中考真題）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交于點F，交二次函數(shù)的圖象于點E．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段的長度；（3）已知點N是y軸上的點，若點N、F關于直線對稱，求點N的坐標．

46．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)（是實數(shù)，且）的圖像與軸交于、兩點（點在點的左側），其對稱軸與軸交于點，已知點位于第一象限，且在對稱軸上，，點在軸的正半軸上，．連接并延長交軸于點，連接．（1）求、、三點的坐標（用數(shù)字或含的式子表示）；（2）已知點在拋物線的對稱軸上，當?shù)闹荛L的最小值等于，求的值．

49．（2023·江蘇連云港·中考真題）【問題情境

建構函數(shù)】（1）如圖1，在矩形中，是的中點，，垂足為．設，試用含的代數(shù)式表示．【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達式中，與成函數(shù)關系，其圖像如圖2所示．若取任意實數(shù)，此時的函數(shù)圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結合

深度探究】（3）在“取任意實數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點；④在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結論的序號）【抽象回歸