專題7.1平行線中的幾何綜合（壓軸題專項講練）（蘇科版）（原卷版）

專題7.1平行線中的幾何綜合【典例1】將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．（1）若三角板如圖1擺放時，則∠α=°，∠β=°．（2）現(xiàn)固定△ABC位置不變，將△DEF沿AC方向平移至點E正好落在PQ上，如圖2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分線交于點H，求∠EHB的度數(shù)；（3）將（2）中的△DEF固定，在△ABC繞點A以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)至AB與直線AN首次重合的過程中，當(dāng)△ABC的某條邊與△DEF的一條邊平行時，請求出符合條件t的值．【思路點撥】（1）如圖1中，過點E作EJ∥PQ，證明∠DEF=α+∠BAC，可得結(jié)論；（2）如圖2中，根據(jù)（1）可證∠EHB=∠PEH+∠MBH．利用角平分線的定義求出∠PEH，∠MBH，可得結(jié)論；（3）分9種情形∶當(dāng)AC∥DF時，當(dāng)AC∥DE時，當(dāng)AC∥EF時，當(dāng)BC∥DF時，當(dāng)BC∥ED時，當(dāng)BC∥EF時，當(dāng)AB∥DF時，當(dāng)AB∥ED時，當(dāng)AB∥EF時，分別討論求出∠MBA的度數(shù)，可得結(jié)論．【解題過程】（1）解∶如圖1中，過點E作EJ∥PQ，∵PQ∥MN，PQ∥EJ，∴EJ∥MN，∴∠α=∠DEJ，∠JEA=∠BAC=45°，∴∠DEF=α+∠BAC，∵∠DEF=60°，∴α=60°?45°=15°，∵∠DFE=30°，β+∴β=180°?30°=150°，故答案為∶45，150；（2）解：如圖2中，利用（1）可證∠EHB=∠PEH+∠MBH．∵PQ∥MN，∴∠QEA=∠BAC=45°，∴∠AEP=180°45°=135°，∵∠CBA=45°，∴∠CBM=180°45°=135*，∵HE，HB分別平分∠AEP，∠CBM，∴∠PEH=12∠PEA=67.5°，∠MBH=12∠∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；（3）解：①當(dāng)AC∥DF時，如圖1，易得此時BC∥ED，∵AC∥DF，易知E，F(xiàn)，A三點共線，∠DFE=∠FAC=30°，∴∠FAB=∠BAC∠FAC=4530°=15°，∠BAM=∠FAM∠FAB=45°15°=30°，即15t=30，解得t=2；②當(dāng)AC∥DE時，如圖2，易得此時BC∥DF．過點A作AH∥BC，則AH∥BC∥DF，∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．∴15t=120，∴t=8，③當(dāng)AC∥EF時，情況不存在；④當(dāng)BC∥DF時，同②；⑤當(dāng)BC∥ED時，同①；⑥當(dāng)BC∥EF時，如圖3，此∠MAB=90°，即15t=90，解得t=6；⑦當(dāng)AB∥DF時，如圖4，∵AB∥DF∴∠BAF=∠DFE=30°，∴∠MAB=∠MAF+∠BAF=45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；⑧當(dāng)AB∥ED時，∵AB∥ED，∴∠FAB=180°∠DEF=180°60°=120°，∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165°，∴15t=165，解得t=11；⑨當(dāng)AB∥EF時，此情況不存在．綜上所述，t的值為2或5或6或8或11．1．（2022春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分（1）如圖1，若BP∥CE，求證：（2）CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點F．①如圖2，寫出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；②當(dāng)點E在直線AB，CD之間時，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的大?。?．（2022春·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）猜想說理：（1）如圖，AB∥CD∥EF，分別就圖1、圖2、圖3寫出∠A，∠C，∠AFC的關(guān)系，并任選其中一個圖形說明理由：拓展應(yīng)用：（2）如圖4，若AB∥CD，則∠A+∠C+∠AFC=度；（3）在圖5中，若A1B∥AnD3．（2022春·四川廣元·七年級統(tǒng)考期末）已知直線l1∥l2，直線l3和l1，l2分別交于C，D兩點，點A，B分別在直線l1，l2上，且位于直線l（1）如圖1，當(dāng)動點P在線段CD上運動時，求證：∠APB=∠CAP+∠DBP．（2）如圖2，當(dāng)動點P在點C上方運動時（P，A，B不在同一直線上），請寫出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，當(dāng)動點P在點D下方運動時（P，A，B不在同一直線上），直接寫出∠APB，∠CAP，∠DBP之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2022春·全國·七年級期末）已知：如圖，AB∥CD，BG、FG分別是∠AEF和∠CFE的角平分線，BG、FG交于點G．（1）求證：∠BGF＝90°；（2）點M是直線AB上的動點，連接MG，過點G作GN⊥MG，交直線CD于點N，畫出圖形直線，寫出∠MGE和∠NGF的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠MGE＝20°，∠AEG＝40°時，求∠CNG的度數(shù)．5．（2022春·重慶永川·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，AB∥CD．（1）如圖1，猜想并寫出∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關(guān)系．以下圖2、圖3、圖4是三種不同角度思考采用的不同添加輔助線的方式，請你選擇其中的兩種方式說明理由．（2）在圖4中，如果BE、DE分別平分∠ABD，∠CDB，則∠E的度數(shù)是多少？（直接寫出答案）（3）根據(jù)以上推理，直接寫出圖5、圖6、圖7中的∠B、∠D、∠E之間的數(shù)量關(guān)系．6．（2022春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一個含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．（1）小安將直角三角板PMN按如圖①放置，使點N、M分別在直線AB、CD上，且在點G、H的右側(cè)，證明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；（2）若∠MNG的平分線NO交直線CD于點O，點N、M分別在直線AB、CD上，如圖②．①當(dāng)NO∥EF，PM∥EF時，求α的度數(shù)；②小安將三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，請直接寫出在平移的過程中∠MON的度數(shù)：∠MON=______（用含α的式子表示）．7．（2022春·上海寶山·七年級?？茧A段練習(xí)）已知AB∥CD，點M為平面內(nèi)的一點，∠AMD＝90°．（1）當(dāng)點M在如圖1的位置時，求∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系（寫出說理過程）；（2）當(dāng)點M在如圖2的位置時，則∠MAB與∠D的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出答案）；（3）在（2）條件下，如圖3，過點M作ME⊥AB，垂足為E，∠EMA與∠EMD的角平分線分別交射線EB于點F、G，回答下列問題（直接寫出答案）：圖中與∠MAB相等的角是，∠FMG＝度．8．（2022春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）【問題情景】（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB=140°，∠PCD=135°，求∠APC的度數(shù)；【問題遷移】（2）如圖2，已知∠MON，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A，B兩點之間運動時，連接PD，PC，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識拓展】（3）在（2）的條件下，若將“點P在A，B兩點之間運動”改為“點P在A，B兩點外側(cè)運動(點P與點A，B，O三點不重合)”其他條件不變，請直接寫出∠CPD與∠α，∠β之間的數(shù)量關(guān)系．9．（2022春·遼寧大連·七年級校聯(lián)考期中）已知直線AB∥CD，點E在直線AB、CD之間，點M、N分別在直線AB、CD上．（1）如圖1，直線GH過點E，分別與直線AB、CD交于點G、H，∠AME=∠GND，求證：∠NGH+∠MEH=180°；（2）如圖2，點F在直線CD上，ME、NE分別平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求∠MEN的度數(shù)；（3）如圖3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直線GN與MH交于點H，NK平分∠END，NF∥MQ．求證：∠MHG=∠KNF．10．（2022春·北京·七年級校考期中）“一帶一路”讓中國和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2°，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射出的光束交于點C，且∠ACB=120°，則在燈B射線到達BQ之前，轉(zhuǎn)動的時間為______秒．11．（2022春·浙江金華·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線DE，BE交于點E，∠CBN＝120°．（1）若∠ADQ＝100°，求∠BED的度數(shù)；（2）在圖1中過點D作∠ADQ的角平分線與直線BE相交于點F，如圖2，試探究∠DEB與∠DFE的關(guān)系；（3）若改變線段AD的位置，使得點D在點C的左側(cè)，其他條件不變，若∠ADQ＝n°，過點D作∠PDA的角平分線與直線BE相交于點G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代數(shù)式表示）12．（2022春·北京海淀·七年級?？茧A段練習(xí)）已知直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB,CD上，∠EFD=α．點P是直線AB上的動點（不與E重合），連接PF，∠PEF和（1）如圖1，若EF⊥CD，點P在射線EB上．則當(dāng)∠EPF=40°時，∠EHF=°；（2）如圖2，若α=120°，點P在射線EA上．①補全圖形；②探究∠EPF與∠EHF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）如圖3，若0°<α<90°，直接寫出∠EPF與∠EHF的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）．13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，AB∥CD，直線AB外有一點M，連接AM，（1）證明：∠M+∠A=∠C；（2）如圖2，延長MA至點E，連接CE，CM平分∠ECD，AF平分∠EAB，且AF與CM交于點F，求∠E與∠AFC的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在2的條件下，∠E=100°，F(xiàn)A⊥AN，連接CN，且∠M=2∠N，∠MCN=30°，求∠M的度數(shù)．14．（2022秋·吉林長春·七年級長春市第四十五中學(xué)?？计谀┮阎狝M∥CN，點B在直線AM、CN之間，∠ABC=88°．（1）如圖1，請直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系：__________．（2）如圖2，∠A和∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE與CH交于點G，則∠AGH的度數(shù)為__________．15．（2022春·江西宜春·七年級江西省萬載中學(xué)校考期中）在數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行直線AB，CD和一塊含45°的直角三角板EFG（∠EFG=90°）”為背景，開展數(shù)學(xué)探究活動．如圖，將三角板的頂點G放置在直線AB上．（1）如圖①，在GE邊上任取一點P（不同于點G，E），過點P作CD//AB，且∠2=4∠1，求（2）如圖②，過點E作CD//AB，請?zhí)剿鞑⒄f明∠AGF與（3）將三角板繞頂點G旋轉(zhuǎn)，過點E作CD//AB，并保持點E在直線AB的上方．在旋轉(zhuǎn)過程中，探索∠AGF與16．（2022秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎?，AB∥CD，直線FE交AB于點E，交CD于點F，點M在線段EF上，過M作射線MR、MP分別交射線AB、CD于點N、Q．（1）如圖1，當(dāng)MR⊥MP時，求∠MNB+∠MQD的度數(shù)．（2）如圖2，若∠DQP和∠MNB的角平分線交于點G，求∠NMQ和∠NGQ的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖3，當(dāng)MR⊥MP，且∠EFD=60°,∠EMR=20°時，作∠MNB的角平分線NG．把一三角板OKI的直角頂點O置于點M處，兩直角邊分別與MR和MP重合，將其繞點O點順時針旋轉(zhuǎn)，速度為5°每秒，當(dāng)OI落在MF上時，三角板改為以相同速度逆時針旋轉(zhuǎn)．三角板開始運動的同時∠BNG繞點N以3°每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的∠BNG為∠B′NG′，當(dāng)NG′和NA17．（2022秋·重慶·七年級重慶南開中學(xué)?？计谀┮阎珹E∥BD，∠A=∠D．（1）如圖1，判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）作∠BAE的平分線交CD于點F，點G為線段AB上一點，連接FG，∠CFG的平分線FM交線段AG于點H．如圖2，若∠ECF=120°，∠AFH=20°，∠CFG=110°，求∠E的度數(shù)；（3）如圖3，連接AC，在（2）的條件下，將射線FG繞點F以5°每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0<t<50），已知∠CAB=65°，求∠CFG的平分線FM與三角形ACE的邊平行時t的值．18．（2022春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，點P，Q分別在AB，CD上，點E在AB，CD之間．連接PE，QE，（1）直接寫出∠BPE與∠DQE的數(shù)量關(guān)系為____________________；（2）如圖2，∠APE的平分線PG和∠CQE的平分線QH的反向延長線相交于點G，求∠G的度數(shù)；（3）如圖3，M為線段PE上一點，連接QM，∠BPE和∠MQD的平分線相交于點N，直接寫出∠PNQ和∠MQE的數(shù)量關(guān)系為____________________．19．（2022春·四川成都·七年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜绺o密，“中歐鐵路”為了安全起見