專題02 直角三角形中的分類討論模型（原卷版）

專題02.直角三角形中的分類討論模型模型1、直角三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時要分類討論；②已知無法確定是哪個角是直角時要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會專題進行講解）即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）②當(dāng)時，過點作的垂線，點在該垂線上（除外）。③當(dāng)時，以為直徑作圓，點在該圓上（，除外）。例1．（2023春·河南安陽·八年級?？计谀┤羧切蔚膬蛇呴L為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為．例2．（2023春·河南鄭州·八年級校考期中）如圖，是的角平分線，是的高，，，點F為邊上一點，當(dāng)為直角三角形時，則的度數(shù)為．例3．（2022秋·山東威海·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、是兩格點，如果也是圖中的格點，且使得為等腰直角三角形，則點的個數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．10例4．（2023春·重慶·八年級專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點P在x軸上運動，當(dāng)點P與點A，B，C三點中任意兩點構(gòu)成直角三角形時，點P的坐標(biāo)為．例5．（2022秋·浙江紹興·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，點是線段延長線上的一個動點，，則當(dāng)為直角三角形時，的長為．例6.（2022秋·成都市八年級課時練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點E為邊DC上的一個動點，△AD'E與△ADE關(guān)于直線AE對稱，當(dāng)△CD'E為直角三角形時，DE的長為．例7.（2022秋·黑龍江大慶·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，點D在邊AB上，以CD為折痕將△CBD折疊得到△CPD，CP與邊AB交于點E，若△DEP為直角三角形，則BD的長是例8．（2023秋·河南商丘·八年級?？计谥校┤鐖D，中，cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為，點N的速度為．當(dāng)點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形？(3)當(dāng)點M、N在邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時M、N運動的時間．(4)點M、N運動______________________后，可得到直角三角形．

例9．（2023秋·河南漯河·八年級?？计谀┤鐖D，等邊三角形中，D、E分別是、邊上的點，，與相交于點P，，Q是射線上的動點．

(1)圖中共有__________組全等，請選擇其中的一組全等予以證明．(2)若為直角三角形，求的值．例10．（2023·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（-4，4），點B的坐標(biāo)為（0，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）以點A為直角頂點作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負(fù)半軸于點C，射線AD交y軸的負(fù)半軸于點D．當(dāng)∠CAD繞著點A旋轉(zhuǎn)時，OC-OD的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2，點M（-4，0）和N（2，0）是x軸上的兩個點，點P是直線AB上一點．當(dāng)△PMN是直角三角形時，請求出滿足條件的所有點P的坐標(biāo)．例11．（2022秋·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸的正半軸于點C，且面積為10．(1)求直線BC的解析式；(2)如圖1，若點M為線段BC上一點，且滿足，求點M的坐標(biāo)；(3)如圖2，點F為線段AB中點，點G為y軸上任意一點，連接FG，以FG為腰，G為直角頂點，在FG右側(cè)作等腰直角，當(dāng)頂點Q落在直線BC上時，求點的坐標(biāo)．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點、分別是邊長為的等邊的邊、上的動點，點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，且它們的速度都是，當(dāng)運動時間為（

）秒時，是直角三角形．A．5 B．5或 C．5或 D．或2．（2023秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，P是射線上一動點（即Р點可在射線上運動），，則時，為直角三角形．

3．（2023·江西南昌·中考模擬）如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，AP的長為．4．（2022·河南·鄭州市八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BA以2cm/s的速度運動．設(shè)運動時間為t，則當(dāng)t=__秒時，△BPC為直角三角形．5．（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，，，點?分別在線段?上，將沿直線折疊，使點A的對應(yīng)點恰好落在線段上，當(dāng)為直角三角形時，線段的長為．6．（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點在直線上，連接若為直角三角形，則的度數(shù)為．7．（2023秋·福建南平·八年級?？计谥校┮阎鰽BC中，如果過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關(guān)于點B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．8．（2023·江西上饒·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，CO是AB邊上的中線，∠AOC＝60°，AB＝2，點P是直線OC上的一個動點，則當(dāng)△PAB為直角三角形時，邊AP的長為．9．（2023秋·廣東·八年級專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中有點A（0，4）、B（3，0），連接AB，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，則點C的坐標(biāo)為．10．（2023秋·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為．11．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）已知，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝1，AC＝，以AC為一邊作等腰直角△ACD，使∠CAD＝90°，連接BD，則線段BD的長度為．12．（2023秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，現(xiàn)將BC延長到點D，使△ABD為等腰三角形，則CD的長為．13．（2023秋·天津·八年級期中）中，與這兩邊上的高所在的直線相交于點，若不是直角三角形，則（度）．14．（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點在的邊上，則當(dāng)為直角三角形時，的長為．15．（2023秋·河南信陽·八年級?？计谀┤鐖D，AD為△ABC的高，BE為△ABC的角平分線，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°.（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）若點F為線段BC上任意一點，當(dāng)△EFC為直角三角形時，則∠BEF的度數(shù)為16．（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）點P出發(fā)2秒后，求CP和BP的長.（2）問滿足什么條件時（t的值或取值范圍），△BCP為直角三角形？17．（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）已知中，如果過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點的二分割線．例如：如圖1，中，，，若過頂點的一條直線交于點，若，顯然直線是的關(guān)于點的二分割線．（1）在圖2的中，，．請在圖2中畫出關(guān)于點的二分割線，且角度是；（2）已知，在圖3中畫出不同于圖1，圖2的，所畫同時滿足:①為最小角；②存在關(guān)于點的二分割線．的度數(shù)是；（3）已知，同時滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點的二分割線．請求出的度數(shù)（用表示）．18．（2023春·廣東梅州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，為的高，，為的角平分線，若，．(1)求的度數(shù)；(2)若點G為線段上任意一點，當(dāng)為直角三角形時，求的度數(shù)．19．（2023秋·廣東深圳·九年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖1，是邊長為的等邊三角形，邊在射線上，且，點D從點O出發(fā)，沿的方向以的速度運動，當(dāng)點D不與點A重合時，將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)點D的運動時間為．

(1)求證：是等邊三角形.(2)如圖2，當(dāng)時，的周長是否存在最小值；若存在，求出的最小周長；若不存在，請說明理由.(3)如圖3，當(dāng)點D在射線上運動時，是否存在以D，E，B為頂點的三角形是直角三角形?若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.20．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，已知等邊三角形的邊長為，點分別從點同時出發(fā)，沿邊向點和點運動，且它們的運動速度都是/秒．直線交于點．(1)求證：；(2)在點分別在邊上運動的過程中，求當(dāng)運動時間為多少秒時，是等腰三角形?(3)連接，當(dāng)點運動____________秒時，是直角三角形；(4)如圖2，若點在運動到后繼續(xù)在射線上運動，直線交于點，當(dāng)是直角三角形時，求點的運動時間．

21．（2022秋·四川成都·八年級石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AP交x軸于點P（p，0），與y軸交于點A（0，a），且a、p滿足+（p﹣1）2＝0．(1)求直線AP的解析式；(2)如圖1，直線x＝﹣2與x軸交于點N，點M在x軸上方且在直線x＝﹣2上，若△MAP的面積等于6，請求出點M的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知點C（﹣2，4），若點B為射線AP上一動點，連接BC，在坐標(biāo)軸上是否存在點Q，使△BCQ是以BC為底邊的等腰直角三角形，直角頂點為Q，若存在，請求