專題07 線段中的動態(tài)模型（解析版）

專題07線段中的動態(tài)模型線段中的動態(tài)模型一直都是一大難點和?？键c，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時所學(xué)的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動態(tài)模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！局R儲備】1、在與線段長度有關(guān)的問題中，常會涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)未知數(shù)列方程。2、線段的動態(tài)模型解題步驟：1）設(shè)入未知量t表示動點運動的距離；2）利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3）根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結(jié)果。模型1、線段中點、和差倍分關(guān)系中的動態(tài)模型例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級期末）如圖，線段厘米，點D和點C在線段AB上，且，．點P從點A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點C運動，點P到達點C所在位置后立即按照原路原速返回，到達點D所在位置后停止運動，點Q從點B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運動，點Q到達點D所在的位置后停止運動．點P和點Q同時出發(fā)，點Q運動的時間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點C恰好為PQ的中點時，求t的值；（3）當(dāng)厘米時，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根據(jù)AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的長度，再根據(jù)CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后兩種情況討論；（3）表示出BP、BQ的長度，再根據(jù)列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多種情況討論；【詳解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵點Q從點B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運動，∴，P到達C之前時∵點C恰好為PQ的中點∴此時P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得P到達C之后時∵點C恰好為PQ的中點∴此時P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得故當(dāng)點C恰好為PQ的中點時或（3）當(dāng)P、Q到達C之前時，，∴解得當(dāng)P到達C之后、Q到達C之前時，，∴解得當(dāng)P到達D點時此時，，，當(dāng)P到達D點以后、Q到達D之前，，解得綜上當(dāng)厘米時，、、8，【點睛】此題考查線段和差計算、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，解題的關(guān)鍵是弄清點在運動時的出發(fā)點、方向、速度以及兩個動點的運動屬于相遇問題還是追及問題等．例2．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖所示．點A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且A，B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點A表示的數(shù)是______；(2)若點P從點B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經(jīng)過______秒時，點C恰好是BP的中點；(3)若點Q從點A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M，當(dāng)時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒點是的中點，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點運動了秒時，分情況列方程求解即可．（1）AB=12，且，兩點表示的數(shù)互為相反數(shù)，點表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設(shè)經(jīng)過秒點是的中點，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設(shè)點運動了秒時，①當(dāng)點在點左側(cè)時，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當(dāng)點在點右側(cè)時，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當(dāng)運動了秒或秒時．【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．例3.（2023秋·江西吉安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的邊上有一動點P，從距離O點18cm的點M處出發(fā)，沿線段，射線運動，速度為3cm/s：動點Q從點O出發(fā)，沿射線運動，速度為2cm/s，點P、Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間是t（s）．

(1)當(dāng)點P在上運動時，t為何值，能使？(2)若點Q運動到距離O點16cm的點N處停止，在點Q停止運動前，點P能否追上點Q？如果能，求出t的值；如果不能，請說出理由；(3)若P、Q兩點不停止運動，當(dāng)P、Q均在射線上，t為何值時，它們相距1cm．【答案】(1)(2)不能，見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，然后由可得關(guān)于t的方程，解方程即得答案；（2）先計算點Q停止運動時用的時間，然后求出點P運動的路程，再比較即得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得：，由此構(gòu)建關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】（1）運動時間是t（s）時，，若，則，解得：；（2）點Q停止運動時，用的時間為秒，此時點P運動的路程為，，∴點P不能追上點Q；（3）當(dāng)P、Q均在射線上，它們相距1cm時，根據(jù)題意得：，即，解得：或．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、善于動中取靜、得到相關(guān)線段關(guān)于t的表達式是解題的關(guān)鍵．模型2、線段上動點問題中的存在性（探究性）模型例1．（2023·江蘇南通·七年級月考）如圖，數(shù)軸上點A，C對應(yīng)的實數(shù)分別為和4，線段，，，若線段以3cm/秒的速度向右勻速運動，同時線段以1cm/秒的速度向左勻速運動．(1)問運動多少秒時？(2)線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長時間？(3)P是線段上一點，當(dāng)B點運動到線段上時，是否存在關(guān)系式．若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5．【分析】（1）分點B在點C的左邊和點B在點C的右邊兩種情況討論；（2）所走路程為這兩條線段的和，用路程，速度，時間之間的關(guān)系可求解；（3）隨著點B的運動，分別討論當(dāng)點B和點C重合、點C在點A和B之間及點A與點C重合時的情況．【詳解】（1）設(shè)運動t秒時為2單位長度，①當(dāng)點B在點C的左邊時，由題意得：，解得：；②當(dāng)點B在點C的右邊時，由題意得：，解得：．綜合①②得：當(dāng)運動1秒或2秒時；（2）∵，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是4，，而（秒），線段與線段運動秒后相遇，又，（秒），線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過秒長時間；（3）存在，設(shè)運動時間為t秒，①當(dāng)時，點B和點C重合，，點P在線段AB上，，，當(dāng)時，，即；此時，②當(dāng)時，點C在點A和點B之間，，當(dāng)點P在線段BC上時，，，，，有，故時，，③當(dāng)時，點A與點C重合，，，，，，有，故，此時，綜上，線段PD的長為或5．【點睛】本題以線段和差為題考查了一次方程的應(yīng)用；讀懂題意，分類列方程解決問題是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·廣東·七年級期中）已知線段AB＝m（m為常數(shù)），點C為直線AB上一點（不與點A、B重合），點M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN＝3AN，CM＝3BM．（1）如圖，當(dāng)點C恰好在線段AB中點，且m＝8時，則MN＝；（2）若點C在點A左側(cè)，同時點M在線段AB上（不與端點重合），請判斷CN+2AM﹣2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由．（3）若點C是直線AB上一點（不與點A、B重合），同時點M在線段AB上（不與端點重合），求MN長度（用含m的代數(shù)式表示）．【解題思路】（1）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y．由AB＝8列出方程，求得x+y，再進而求得MN；（2）把MN＝AM+AN代入CN+2AM﹣2MN中計算便可知道結(jié)果；（3）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y，①當(dāng)C點在B點右邊時，不符合題意，舍去；②當(dāng)點C在點A的左邊，由AB＝CB﹣CA得出y﹣x=14m，進而得MN＝3（y﹣x）=34m；③當(dāng)點C在線段（AB上時，由AB＝CB+CA得y+x=14m，進而得MN【解答過程】解：（1）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y．∵AB＝AN+CN+CM+MB＝m，∴x+3x+3y+y＝m＝8，∴x+y＝2，MN＝NC+CM＝3x+3y＝3（x+y）＝6．（2）CN+2AM﹣2MN的值與m無關(guān)．理由如下：如圖1，∵CN＝3AN，∴CN+2AM﹣2MN＝3AN+2AM﹣2（AN+AM）＝AN∵AN與m的取值無關(guān)，∴CN+2AM﹣2MN的值與m無關(guān)；（3）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y①當(dāng)C點在B點右邊時，∵滿足CM＝3BM，M在線段AB上，如圖2此時，M不是線段BC上的點，不符合題意，舍去；②當(dāng)點C在點A的左邊，如圖3，∵AB＝CB﹣CA＝（CM+MB）﹣（CN+AN）＝m，∴（3y+y）﹣（x+3x）＝m，∴y﹣x=14∴MN＝CM﹣CN＝3y﹣3x＝3（y﹣x）=34③當(dāng)點C在線段（AB上時，如圖4，∵AB＝CB+CA＝（CM+MB）+（CN+AN）＝m，∴（3y+y）+（x+3x）＝m，∴x+y=14∴MN＝CM+CN＝3y+3x＝3（y+x）=34m；∴MN長度為34m．綜上，MN模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”.（1）①一條線段的中點這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）②若線段，是線段的“二倍點”，則（寫出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段，點從點的位置開始，以每秒2的速度向點運動，當(dāng)點到達點時停止運動，運動的時間為秒.（2）問為何值時，點是線段的“二倍點”；（3）同時點從點的位置開始，以每秒1的速度向點運動，并與點同時停止.請直接寫出點是線段的“二倍點”時的值.【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或【分析】（1）①可直接根據(jù)“二倍點”的定義進行判斷；②可分為三種情況進行討論，分別求出BC的長度即可；（2）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點”的意義，分類討論得結(jié)果；（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、NM、AM，然后根據(jù)“二倍點”的意義，分類討論．【詳解】解：（1）①因為線段的中點把該線段分成相等的兩部分，該線段等于2倍的中點一側(cè)的線段長．∴一條線段的中點是這條線段的“二倍點”故答案為：是.②∵，是線段的“二倍點”，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故答案為：10或或；（2）當(dāng)AM=2BM時，20-2t=2×2t，解得：t=；當(dāng)AB=2AM時，20=2×（20-2t），解得：t=5；當(dāng)BM=2AM時，2t=2×（20-2t），解得：t=；答：t為或5或時，點M是線段AB的“二倍點”；（3）當(dāng)AN=2MN時，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；當(dāng)AM=2NM時，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；當(dāng)MN=2AM時，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；答：t為或8或時，點M是線段AN的“二倍點”．【點睛】本題考查了一元一次方程的解法、線段的和差等知識點，題目需根據(jù)“二倍點”的定義分類討論，理解“二倍點”是解決本題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江蘇揚州·七年級校考階段練習(xí)）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．例如，點C是AB的中點時，即，則；反之，當(dāng)時，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．【理解與應(yīng)用】(1)如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________AB．【拓展與延伸】(2)已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發(fā)，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設(shè)運動時間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，則m的值等于________；②t為何值時，．【答案】(1)，(2)①3；②2或6【分析】（1）根據(jù)“點值”的定義即可得出答案；（2）①設(shè)運動時間為t，再根據(jù)的值是個定值即可得出m的值；②分點Q從點B向點A方向運動時和點Q從點A向點B方向運動時兩種情況加以分析即可【詳解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴（2）解：①設(shè)運動時間為t，則AP=t，AQ=10-3t，則，∵的值是個定值，∴的值是個定值，∴m=3②當(dāng)點Q從點B向點A方向運動時，∵∴∴t=2當(dāng)點Q從點A向點B方向運動時，∵∴∴t=6∴t的值為2或6【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義，并能運用是本題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點，點A表示的數(shù)是4，線段（點B在點C的左側(cè)）在直線上運動，且．下列說法正確的是（）甲：當(dāng)點B與點O重合時，；乙：當(dāng)點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說法；乙：畫出圖形，設(shè)點P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說法；丙：設(shè)點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，利用中點公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當(dāng)點B與點O重合時，，故甲的說法錯誤；乙：如圖2，當(dāng)點C與點A重合時，設(shè)點P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說法正確；丙：點B表示的數(shù)是m，則點C表示的數(shù)是，∵O是原點，點A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點，∴點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是，∴，故丙的說法正確．故選D．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，線段中點的計算，整式的加減等知識，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·無錫市七年級期中）如圖，數(shù)軸上有兩點，點C從原點O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．【答案】1或【分析】設(shè)點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，設(shè)運動的時間為t秒，由OD=4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點M在直線AB的不同的位置分4種情況進行解答，①若點M在點B的右側(cè)時，②若點M在線段BO上時，③若點M在線段OA上時，④若點M在點A的左側(cè)時，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關(guān)系，再計算的值即可．【詳解】設(shè)運動的時間為t秒，點M表示的數(shù)為m則OC=t，BD=4t，即點C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若點M在點B的右側(cè)時，如圖1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若點M在線段BO上時，如圖2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若點M在線段OA上時，如圖3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此時m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；④若點M在點A的左側(cè)時，如圖4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，綜上所述，的值為1或．【點睛】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法是正確解答的關(guān)鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關(guān)重要的作用．3．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，C為線段AB上一點，，AC比BC的多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，分別以3個單位/秒和1.5個單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論是________．【答案】①②##②①【分析】根據(jù)AC比BC的多5，可得，從而得到，進而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M為BP的中點，可得到，進而得到，再由N為QM的中點，可得到AB=4NQ，故②正確；然后分兩種情況：當(dāng)點P沒有到達點B之前，當(dāng)點P沒有到達點B之前，可得當(dāng)時，或20，故③錯誤，即可求解．【詳解】解：∵AC比BC的多5，∴，∵，∴，解得：，∴AC=15，∴BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，∵M為BP的中點，∴，∴，∵N為QM的中點，∴，∴AB=4NQ，故②正確；當(dāng)時，當(dāng)點P在線段AB上，∵，∴，解得：；當(dāng)時，點P在點B右側(cè)，位于點Q左側(cè)，，∵，∴，解得：；當(dāng)時，點P位于點Q右側(cè)，不成立，綜上所述，當(dāng)時，或20，故③錯誤，∴正確的結(jié)論是①②．故答案為：①②【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，線段間的數(shù)量關(guān)系，動點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論討論思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知長方形中，，，動點從點出發(fā)沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發(fā)以每秒3個單位的速度沿運動，當(dāng)其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為秒．

（1）當(dāng)點到達終點時，點在邊；（2）當(dāng)點在邊上運動時，用表示的式子為；（3）點、相遇時，秒．【答案】7.2【分析】（1）由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，由，可知當(dāng)點到達終點時，點運動路程為，由，可判斷點的位置；（2）由題意知，；（3）由題意知，，計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，∵，∴當(dāng)點到達終點時，點運動路程為，∵，∴點在邊上，故答案為：；（2）解：由題意知，，故答案為：；（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：7.2．【點睛】本題考查動點，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．5．（2022·江蘇·江陰市七年級階段練習(xí)）直線l上的三個點A、B、C，若滿足BC＝AB，則稱點C是點A關(guān)于點B的“半距點”．如圖1，BC＝AB，此時點C就是點A關(guān)于點B的一個“半距點”．若M、N、P三個點在同一條直線m上，且點P是點M關(guān)于點N的“半距點”，MN＝6cm．(1)(2)若點G也是直線m上一點，且點G是線段MP的中點，求線段GN的長度．【答案】(1)3或9(2)或【分析】（1）根據(jù)點P是點M關(guān)于點N的“半距點”，可得，分兩種情況畫圖求解（2）根據(jù)點G是線段MP的中點，結(jié)合（1）分兩種情況即可求得線段GN的長度（1）如圖所示：第一種情況：∵點P是點M關(guān)于點N的“半距點”，∴，∵，∴第二種情況：∵，∴綜上：MP的長度為3cm或9cm（2）如圖所示：第一種情況：點是線段的中點，∴∴第二種情況：點是線段的中點，∴∴綜上：線段GN的長度為或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，準(zhǔn)確理解概念并作出圖形是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上點A對應(yīng)數(shù)a，點B對應(yīng)數(shù)b，點C對應(yīng)數(shù)16，且滿足．(1)_______，_______，_______；(2)點P為位于線段上的一點，且滿足，請求出點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)；(3)當(dāng)甲以4單位長度/分的度從A出發(fā)，向右運動，乙同時從點C出發(fā)，以6單位長度/分的速度向左運動，當(dāng)甲到A、B、C的距離之和為40個單位長度時，假如甲立即掉頭沿數(shù)軸向左運動，請問甲、乙還能碰面嗎？若能，求出碰面的地點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】(1)，，(2)或2(3)甲和乙能碰面，碰面的地點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)數(shù)軸上兩點距離公式求出的長即可；（2）根據(jù)題意可得，，即可求出，再分點P在點B左側(cè)和右側(cè)，兩種情況利用數(shù)軸上兩點距離公式討論求解即可；（3）根據(jù)（2）所求得到甲掉頭時運動到或2處，求出此時的運動時間，再列出方程求出掉頭后乙追上甲的時間即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴點A和點B對應(yīng)的數(shù)為，，∵點C對應(yīng)數(shù)16，∴，故答案為：，，；（2）解：∵，，∴，當(dāng)點P在線段上時，∵，∴，∴點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，，∴點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)為2．綜上所述，點P所對應(yīng)的數(shù)是或2．（3）由（2）知，當(dāng)甲到A、B、C的距離之和為40個單位長度，甲運動到數(shù)軸上的或2處．當(dāng)甲運動到處時，運動的時間為秒，此時乙運動到數(shù)軸上處，設(shè)甲掉頭后t秒后乙追上甲，則，解得，∴相遇點在數(shù)軸上的位置為，∴甲和乙能碰面，碰面的地點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)甲運動到2處時，運動的時間為秒，此時乙運動到數(shù)軸上處，乙在甲的左邊，乙快，甲慢，不可能再相遇．綜上所述，甲和乙能碰面，碰面的地點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為．【點睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2022·廣西七年級期中）已知數(shù)軸上三點M，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為－3，0，1，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)如果點P到點M，點N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點M，點N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．(3)如果點P以每分鐘3個單位長度的速度從點O向左運動時，點M和點N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運動，且三點同時出發(fā)，那么幾分鐘時點P到點M，點N的距離相等.（直接寫出答案）【答案】（1）；（2）x=或；（3）分鐘或t=2分鐘時點P到點M，點N的距離相等．【分析】（1）根據(jù)三點M，O，N對應(yīng)的數(shù)，得出NM的中點為：x=（-3+1）÷2進而求出即可；（2）根據(jù)P點在N點右側(cè)或在M點左側(cè)分別求出即可；（3）分別根據(jù)①當(dāng)點M和點N在點P同側(cè)時，②當(dāng)點M和點N在點P兩側(cè)時求出即可．【解析】解：（1）∵M，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為-3，0，1，點P到點M，點N的距離相等，∴x的值是．故答案為：；（2）存在符合題意的點P；∵點M為-3，點N為1，則點P分為兩種情況，①點P在N點右側(cè)，則，解得：；②點P在M點左側(cè)，則，解得：；∴.（3）設(shè)運動t分鐘時，點P對應(yīng)的數(shù)是-3t，點M對應(yīng)的數(shù)是-3-t，點N對應(yīng)的數(shù)是1-4t．①當(dāng)點M和點N在點P同側(cè)時，因為PM=PN，所以點M和點N重合，所以：-3-t=1-4t，解得t＝，符合題意．

②當(dāng)點M和點N在點P兩側(cè)時，有兩種情況．情況1：如果點M在點N左側(cè)，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．因為PM=PN，所以3-2t=1-t，解得t=2．此時點M對應(yīng)的數(shù)是-5，點N對應(yīng)的數(shù)是-7，點M在點N右側(cè)，不符合題意，舍去．情況2：如果點M在點N右側(cè)，PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因為PM=PN，所以2t-3=t-1，解得t=2．此時點M對應(yīng)的數(shù)是-5，點N對應(yīng)的數(shù)是-7，點M在點N右側(cè)，符合題意．綜上所述，三點同時出發(fā)，分鐘或2分鐘時點P到點M，點N的距離相等．【點睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)M，N位置的不同進行分類討論得出是解題關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）已知與為同類項，數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為a，b．(1)______，______，線段______；(2)若數(shù)軸上有一點C，使得，點M為的中點，求的長______；(3)有一動點G從點A出發(fā)，以3個單位每秒的速度向右方向運動，同時動點H從點B出發(fā)，以1個單位每秒的速度在數(shù)軸上作同方向運動，設(shè)運動時間為t秒（），點D為線段的中點，點F為線段的中點，點E在線段上且，在G，H的運動過程中，求的值______（用含t的代數(shù)式表示）【答案】(1)，20，30(2)3或75(3)【分析】（1）根據(jù)同類項的定義求出a，b值，從而算出線段的長；（2）注意分情況討論，①當(dāng)點在之間時，如圖1，②當(dāng)點在右側(cè)時，如圖2，分別計算和的長，相減可得結(jié)論；（3）本題有兩個動點和，根據(jù)速度和時間可得點表示的數(shù)為：，點表示的數(shù)為：，根據(jù)中點的定義得點和點表示的數(shù)，由得的長和點表示的數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離可得和的長，相加可得最后的值．【詳解】（1）解：∵與為同類項，∴，，∴，∴；（2）分兩種情況：①當(dāng)點在之間時，如圖1，，，，點為的中點，，；②當(dāng)點在右側(cè)時，如圖2，，，，，綜上，的長是3或75．故答案為：3或75；（3）由題意得，點表示得數(shù)為：，點表示的數(shù)為：，，，點在線段之間，為中點，點表示的數(shù)為：，是中點，點表示的數(shù)為：，，，，點表示的數(shù)為：，，的值為．故答案為：．【點睛】本題考查同類項，數(shù)軸，根據(jù)點的運動特點，分情況列出合適的代數(shù)式進行求解是解題關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）已知線段，點在線段上，且．(1)求線段，的長；(2)點是線段上的動點且不與點，，重合，線段的中點為，設(shè)①請用含有的代數(shù)式表示線段，的長；②若三個點，，中恰有一點是其它兩點所連線段的中點，則稱，，三點為“共諧點”，請直接寫出使得，，三點為“共諧點”的的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)①或，；②6或12【分析】（1）由可得，，從而可求得AC、CB的長；（2）①分點P在線段AC上和點P在線段CB上兩種情況分別計算即可；②分點P在線段AC上和點P在線段CB上兩種情況列方程，可求得m的值．（1）∵，點在線段上，且∴，（2）∵M為線段的中點∴①當(dāng)點P在線段AC上時，當(dāng)點P在線段CB上時，②當(dāng)點P在線段AC上時，則MP=PC∴解得：m=6當(dāng)點P在線段CB上時，則MC=PC∴解得：m=12綜上所述，m=6或12【點睛】本題考查了求線段長度，線段中點的意義及線段的和差，掌握線段中點的意義、線段的和差是解題的關(guān)鍵．注意（2）小題要分類討論．10．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點C是線段的圓周率點，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長；（2）在（1）的條件下，若點D也是圖①中線段AB的圓周率點（不同于點C），試求出線段BD的長，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動性的滾動1周，該點到達C的位置，求點C所表示的數(shù)；若點M、N是線段OC的圓周率點，求MN的長；（4）圖②中，若點D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點D所表示的數(shù)（答案保留π）．【答案】（1）AB的長為（）；（2）BD長為2，；（3）C表示的數(shù)為（），的長為（）；（4）點D表示的數(shù)是1或或或．【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的長度，進而求出AB的長．（2）設(shè)AC的長為x，BD的長為y，利用圓周率點的定義，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，進而得到x=y，故此時有．（3）利用旋轉(zhuǎn)一周即為圓的周長，得到C點表示的數(shù)，假設(shè)M點離O點最近，設(shè)，利用圓周率點及題（2）的結(jié)論，求出，最后求出MN的長度即可．.（4）設(shè)點D表示的數(shù)為m，根據(jù)條件分四類情況：，，，，進行分類討論，設(shè)出對應(yīng)的方程進行求解m的值．【詳解】（1）,，，．（2）點D、C都是線段AB的圓周率點且不重合，，．設(shè)，，則有，，，，，．（3）由題意可知：C點表示的數(shù)是均為線段OC的圓周率點，不妨設(shè)M點里O點近，且，，，解得，，，，由（2）可知：．（4）解：設(shè)點D表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可知，共分為四種情況．①若，則有，解得．②若，則有，解得．③若，則有，解得．④若，則有，解得．綜上所述，點D表示的數(shù)是1或或或．【點睛】本題是新定義題型，主要考察了列方程和分類討論的思想，讀懂題目中的新定義，并且正確找到分類討論的所有情況，是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023·新疆·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動點P從點A出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù)是____________，點B表示的數(shù)是______，點P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)點P在點B的左側(cè)運動時，M、N分別是PA、PB的中點，求PM－PN的值（3）動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，點P運動多少秒時P、Q兩點相距4個單位長度？【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的和等于0，則=0，=0，進而即可求解；（2）分別用含t的代數(shù)式表示PM=4t，PN=4t-8，進而即可求解；（3）分別表示出P、Q所在點表示的數(shù)，再列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）∵，≥0，≥0，∴=0，=0，即：a=10，b=-6，∴A表示的數(shù)是10，點B表示的數(shù)是-6，∵動點P從點A出發(fā)，以每秒8個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點P表示的數(shù)是：10-8t，故答案是：10，-6，10-8t；（2）當(dāng)點P在點B的左側(cè)運動時，PA=8t，PB=8t-16，∵M、N分別是PA、PB的中點，∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；（3）設(shè)運動t秒，P所在點表示的數(shù)為：10-8t，Q所在點表示的數(shù)為：-6-4t，∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，用代數(shù)式表示出兩點間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)是a，點B表示的數(shù)是b，且，(1)填空：，；(2)在線段上有一點C，滿足，求點C表示的數(shù)；(3)動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動；動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速移動；動點M從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速移動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)時，的值是否發(fā)生變化？若不變求出其值；若變化，寫出范圍．【答案】(1)8，(2)(3)的值不會發(fā)生變化，詳見解析【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根據(jù)題意可得依題意得：，從而得到，，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案為：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴點C表示的數(shù)為；（3）解：的值不會發(fā)生變化，依題意得：，∴，，∴，∴的值不會發(fā)生變化．【點睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段的和與差，數(shù)軸上的動點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題關(guān)鍵．13．（2023秋·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點，，，點P從A出發(fā)，以的速度沿向右運動，終點為B；點Q同時從點B出發(fā)，以的速度沿向左運動，終點為A，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點重合時，求t的值；(2)是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)滿足條件的值為4或7或【分析】（1）根據(jù)相遇時間=路程和速度和，列出方程計算即可求解；（2）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；【詳解】（1）由題意可得：，，∴當(dāng)P、Q重合時，，解得：；（2）由題意可得：，∴①當(dāng)點C是線段的中點時，，解得：；②當(dāng)點P是線段的中點時，，解得：③當(dāng)點Q是線段的中點時，，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．【點睛】本題考查兩點間的距離，利用線段中點的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論以防遺漏14．（2023·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，直線上有，，，四個點，，，．

(1)線段______；(2)動點，分別從A點，點同時出發(fā)，點沿線段以3/秒的速度，向右運動，到達點后立即按原速向A點返回；點沿線段以1/秒的速度，向左運動；點再次到達A點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為（單位：秒）①求，兩點第一次相遇時，運動時間的值；②求，兩點第二次相遇時，與點A的距離．【答案】(1)(2)5、20【分析】（1）根據(jù)，，算出，再根據(jù)即可解答；（2）①根據(jù)，兩點第一次相遇時，，兩點所走的路程之和是的長列方程即可求解；②根據(jù)，兩點第二次相遇時，點所走的路程與的差和所走的路程與的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）故線段的長為．（2）①，兩點第一次相遇時根據(jù)題意可得：解得：秒故，兩點第一次相遇時，運動時間的值是5秒；②由（1）得當(dāng)，兩點第二次相遇時：解得：秒故，兩點第二次相遇時，與點A的距離是20【點睛】本題考查了兩點之間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．15．（2023春·吉林長春·七年級吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，點為數(shù)軸原點，點表示的數(shù)為，點是的中點，點是的中點，以為邊，在數(shù)軸上方作正方形．點從點出發(fā)，向右運動，速度為每秒個單位長度，到達點后點停止運動．設(shè)運動時間為秒．

(1)正方形的邊長是_______．(2)當(dāng)點運動秒時，則點表示的數(shù)為________(用含的式子表示)．(3)當(dāng)時求的值．(4)當(dāng)點出發(fā)時，點同時從點出發(fā)，速度為每秒個單位長度，向左運動到點處立即按原速返回到點停止運動，為何值時，．直接寫出答案答：的值是______．【答案】(1)3(2)或(3)或(4)或或【分析】（1）根據(jù)題意可得，由線段中點的定義可得，，以此即可解答；（2）根據(jù)題意可得根據(jù)點表示的數(shù)即可得出點表示的數(shù)；（3）利用數(shù)軸上兩點間的距離公式求解即可；（4）根據(jù)可得，再分三種情況討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時．分別得出不同情況點、表示的數(shù)，再利用數(shù)軸上兩間的距離公式表示出，求解即可．【詳解】（1）解：點表示的數(shù)為，點為數(shù)軸原點，，點是的中點，，點是的中點，，正方形的邊長是；故答案為：；（2）點從點出發(fā)，向右運動，速度為每秒個單位長度，運動時間為秒，，，點到達點后停止運動，點表示的數(shù)為，當(dāng)時，點表示的數(shù)為，當(dāng)時，點表示的數(shù)為，故答案為：或；（3），點表示的數(shù)為，，解得：或，（4），即，①當(dāng)時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，解得：或②當(dāng)時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，舍去；③當(dāng)時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，，，解得：；綜上所述，或或故答案為：或或．【點睛】本題主要考查數(shù)軸與動點的結(jié)合問題、線段中點的定義、數(shù)軸上兩點間的距離公式、一元一次方程的應(yīng)用，正確表示出點和點運動后所表示的數(shù)是解題關(guān)鍵．16．（2023秋·廣東珠?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）在一條水平直線上，自左向右依次有四個點A，B，C，D，，線段以每秒的速度水平向右運動，當(dāng)點A到達點D時，線段停止運動，設(shè)運動時間為t秒．(1)當(dāng)秒時，___________，=___________；(2)當(dāng)線段與線段重疊部分為時，求t的值；(3)當(dāng)秒時，線段上是否存在點P，使得？若存在，求出此時的長，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)t的值為秒或7秒(3)不存在，見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件，可得，進而可求得答案；（2）設(shè)運動后的點A為點，分點在點C的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進行討論，分別列方程即可求解；（3）當(dāng)秒時，可判斷此時的線段在C、D兩點之間，假設(shè)存在符合條件的點P，則有，求出的長度，與點P在上不符，即可判斷．【詳解】（1）解：∵，故答案為：3，6；（2）解：①當(dāng)時，如圖則解得②當(dāng)時，解得答：t的值為4.5秒或7秒．（3）解：當(dāng)秒時，所以，此時線段位于C，D兩點之間，若存在點P，使又因為，點P不在線段AB上，所以，當(dāng)秒時，線段上不存在點P，使得．【點睛】本題考查線段的和差倍分關(guān)系，準(zhǔn)確畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·吉林長春·七年級?？计谀┤鐖D，數(shù)軸上點、表示的數(shù)分別為和3，點為原點．動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向終點運動，在點出發(fā)的同時，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點運動，到達點后立即以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向終點運動．設(shè)點運動時間為秒．(1)當(dāng)時，點表示的數(shù)為_________；當(dāng)點與點重合時，的值為_________；(2)①在點由點向點運動的過程中，點表示數(shù)為_________（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)_________時，、第一次相遇；(3)點從點返回后，當(dāng)時，求點運動的時間的值；(4)若在點運動的同時，點從點以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當(dāng)時，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)①；②；(3)當(dāng)時，或．(4)當(dāng)時，的值為或或．【分析】（1）由用右邊移動用加法列式計算可得：當(dāng)時，點表示的數(shù)，再當(dāng)點與點重合時，可得方程，再解方程即可；（2）①利用向左移動用減法，向右移動用加法，再列式計算即可；②再利用速度乘以時間等于路程列方程即可；（3）點從點返回后，Q對應(yīng)的數(shù)為，而對應(yīng)的數(shù)為，可得，利用，建立方程求解即可；當(dāng)時，，重合，停止運動，此時，從而可得答案；（4）當(dāng)點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點運動時，此時Q對應(yīng)的數(shù)為，而對應(yīng)的數(shù)為，對應(yīng)的數(shù)為，再利用兩點間距離公式建立方程，當(dāng)點從點返回后，Q對應(yīng)的數(shù)為，而對應(yīng)的數(shù)為，對應(yīng)的數(shù)為，再利用兩點間距離公式建立方程，當(dāng)時，，重合，停止運動，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，點表示的數(shù)為，當(dāng)點與點重合時，則，解得：．故答案為：，12；（2）①當(dāng)點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點運動時，此時Q對應(yīng)的數(shù)為：，②當(dāng)、第一次相遇時，∴，解得：，故答案為：，4；（3）當(dāng)Q，A重合時，，解得：，當(dāng)Q到達點后立即以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向終點運動，此時Q對應(yīng)的數(shù)為：，而對應(yīng)的數(shù)為，∴，當(dāng)時，∴，∴或，解得：或，當(dāng)時，解得，∴不符合題意，舍去，當(dāng)時，，重合，停止運動，此時，∴，解得：，綜上：當(dāng)時，或．（4）當(dāng)點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點運動時，此時Q對應(yīng)的數(shù)為，而對應(yīng)的數(shù)為，對應(yīng)的數(shù)為，∴，，∴，∴，即，當(dāng)時，∴，解得：，當(dāng)時，∴，解得：，當(dāng)點從點返回后，Q對應(yīng)的數(shù)為，而對應(yīng)的數(shù)為，對應(yīng)的數(shù)為，∴，，∴，∴，即，當(dāng)時，∴，解得：，當(dāng)時，，重合，停止運動，∴，，∴，∴，∴，解得：，不符合題意舍去；綜上：當(dāng)時，的值為或或．【點睛】本題考查的是數(shù)軸上動點問題，兩點之間的距離，線段的含義，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．18．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上有、兩點，它們對應(yīng)的數(shù)分別是和，線段在數(shù)軸上運動（點在點的左邊），且，點為的中點．(1)如圖1，當(dāng)線段運動到線段之間（點、點兩點均在、兩點之間時），．①直接寫出_______________；②求點對應(yīng)的數(shù)及線段的長；(2)如圖2，當(dāng)線段運動到點在點、點兩點之間時，畫出草圖，并求出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②2，2；(2)【分析】（1）①由數(shù)軸上兩點間的距離可解；②根據(jù)，，求，，點為的中點,求出，進行線段的加減計算和求得結(jié)果；（2）由，求出，由中點性質(zhì)，解得，，最后利用整體思想解題即可．【詳解】（1）解：①因為、兩點，它們對應(yīng)的數(shù)分別是和,，故答案為：16；②如圖1：，,點為的中點,;所以點對應(yīng)的數(shù)為：；（2）如圖2，，,點為的中點,即【點睛】本題考查數(shù)軸、兩點間的距離、與線段有關(guān)的動點問題等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．19.（2022·山東·七年級期末）如圖1，將一段長為60cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點折疊，點A、B分別落在A'、B'處．①如圖2，若A'、B'恰好重合于點O處，MN＝cm；②如圖3，若點A'落在點B'的左側(cè)，且A'B'＝20cm，求MN的長度；③若A'B'＝ncm，求MN的長度．（用含n的代數(shù)式表示）（2）如圖4，若將繩子AB沿N點折疊后，點B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長度由短到長的比為3：4：5，直接寫出AN所有可能的長度．【解題思路】（1）①由題意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=②先結(jié)合圖形可求得AA′+BB′＝40cm，再根據(jù)中點性質(zhì)和線段和差關(guān)系計算即可；③分兩種情況分別計算即可：當(dāng)點A′落在點B′的左側(cè)時，當(dāng)點A′落在點B′的右側(cè)時；（2）根據(jù)三段的長度由短到長的比為3：4：5，分別按以下幾種情況進行計算：①當(dāng)B′D：CD：AC＝3：4：5時，②當(dāng)B′D：AC：CD＝3：4：5時，③當(dāng)CD：B′D：AC＝3：4：5時，④當(dāng)CD：AC：B′D＝3：4：5時，⑤當(dāng)AC：B′D：CD＝3：4：5時，⑥當(dāng)AC：CD：B′D＝3：4：5時．【解答過程】（1）①∵繩子AB沿M、N點折疊，點A、B分別落在A'、B'處，A'、B'恰好重合于點O處，∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，∴MN＝MO+ON=12（AO②∵AB＝60cm，A′B′＝20cm，∴AA′+BB′＝AB﹣