專題07 圓中的最值模型之阿氏圓模型（解析版）

專題07圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握?！灸Ｐ捅尘啊恳阎矫嫔蟽牲cA、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱“阿氏圓”?！灸Ｐ徒庾x】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。例1．（2020·廣西中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．【答案】．【分析】在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據PC+PT≥TC，求出CT即可解決問題．【詳解】解：在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的三邊關系，圓的基本性質，掌握以上知識是解題的關鍵．例2．（2022·湖北·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．【答案】5【詳解】分析:由PD?PC＝PD?PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝5．詳解:在BC上取一點G，使得BG＝1，如圖，∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5點睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．例3．（2023·成都市·九年級專題練習）如圖，已知菱形的邊長為4，，的半徑為2，P為上一動點，則的最小值_______．的最小值_______【答案】

【分析】①在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性質推出，得到，由，推出當D、P、G共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG，再利用特殊角的三角函數值以及勾股定理求解即可；②連接BD，在BD上取一點M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性質推出，當M、P、C共線時，的值最小，最小值為CM，再利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求解即可．【詳解】①如圖，在BC上取一點G，使得BG=1，連接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延長線于F．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴當D、P、G共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD?sin60°=2，CF=2，在Rt△GDF中，DG，故答案為：；②如圖，連接BD，在BD上取一點M，使得BM=，連接PB、PM、MC，過M作MN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是菱形，且，∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2BO=，∴，，∴，且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，∴，∴當M、P、C共線時，的值最小，最小值為CM，在Rt△BMN中，∠CBO=30，BM=，∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-，∴MC=，∴的最小值為．【點睛】本題考查了圓綜合題、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．例4.（2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構造PB即可解答．【詳解】解：設⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形．例5．（2022·江蘇淮安·九年級期中）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內部一點，且PB=3，AP+PC的最小值為．（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．【答案】（1）AP+BP的最小值為3；（2）AP+PC的值最小值為5；（3）2PA+PB的最小值為，見解析.【分析】（1）由等邊三角形的性質可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的長；（2）在AB上截取BF=1，連接PF，PC，由，可證△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，則當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延長OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，則當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【詳解】解：（1）解：（1）如圖1，連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=6，AF=6∴DF=CF-CD=6-3=3∴AD==3∴AP+BP的最小值為3（2）如圖，在AB上截取BF=1，連接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1∴，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF=AP∴AP+PC=PF+PC，∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，∴CF===5∴AP+PC的值最小值為5，（3）如圖，延長OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF∴∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM∴OM=4，FM=4∴MB=OM+OB=4+3=7∴FB==∴2PA+PB的最小值為．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，極值的確定，還考查了學生的閱讀理解能力，解本題的關鍵是根據材料中的思路構造出相似三角形，也是解本題的難點.例6．（2022·重慶·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．【答案】

【分析】（1）如圖3中，在上取一點，使得，先證明，得到，所以，而（當且僅當、、共線時取等號），從而計算出得到的最小值，，而（當且僅當、、共線時取等號），從而計算出得到的最大值；（2）如圖4中，在上取一點，使得，作交于點，解法同（1）．【詳解】（1）如圖3中，在上取一點，使得，，，，，，，，（當且僅當、、共線時取等號），的最小值為，的最小值為，，的最大值為，故答案為：，；（2）如圖4中，在上取一點，使得，作交于點，，，，，，，，（當且僅當、、共線時取等號），的最小值為，的最小值為，在中，，，，，在中，，的最小值為，，的最大值為，故答案為：，．【點睛】本題考查圓的綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題．例7．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．【答案】5【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據三角形三邊關系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．2．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長AB=8，E為平面內一動點，且AE=4，F為CD上一點，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．6【答案】A【分析】如圖（見解析），在AD邊上取點H，使得，連接EH、FH，先根據正方形的性質得出，，再根據相似三角形的判定與性質得出，從而可得，然后利用三角形的三邊關系定理、兩點之間線段最短可得取得最小值時，點E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．【詳解】如圖，在AD邊上取點H，使得，連接EH、FH四邊形ABCD是正方形，，，即又，即由三角形的三邊關系定理得：由題意得：點E的軌跡是在以點A為圓心，AE長為半徑的圓上由兩點之間線段最短可知，當點E位于FH與圓A的交點時，取得最小值，最小值為，在中，由勾股定理得即的最小值為故選：A．【點睛】本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、三角形的三邊關系定理、兩點之間線段最短等知識點，通過作輔助線，構造相似三角形是解題關鍵．3．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】延長到，使得，連接，，利用相似三角形的性質證明，求的最小值問題轉化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．4．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖所示，，半徑為2的圓內切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據題意，本題屬于動點最值問題-“阿氏圓”模型，首先作于，作于，如圖所示，通過代換，將轉化為，得到當與相切時，取得最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數形結合解直角三角形即可得到相應最值，進而得到取值范圍．【詳解】解：作于，作于，如圖所示：，，，，，，，，當與相切時，取得最大和最小，①連接，，，如圖1所示：可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②連接，，，如圖2所示：可得：四邊形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案為：．【點睛】本題考查動點最值模型-“阿氏圓”，難度較大，掌握解決動點最值問題的方法，熟記相關幾何知識，尤其是圓的相關知識是解決問題的關鍵．5．（2023·湖南·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構造PB即可解答．【詳解】解：設⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形．6．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，根據切線的性質得BH為⊙B的半徑，再根據等腰直角三角形的性質得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA的最小值．【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．解決問題的關鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質．7．（2023·成都市·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A（4，0），B（4，4），點P在半徑為2的圓O上運動，則的最小值為

____________．【答案】5【分析】如圖，取點K（1，0），連接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得，推出PK=PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+PA=PB+PK的最小值為BK的長，計算即可．【詳解】如圖，取點K（1，0），連接OP、PK、BK．∵OP=2，OA=4，OK=1∴，∵∠POK=∠AOP，∴△POK∽△AOP，∴，∴PK=PA，∴PB+PA=PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+PA=PB+PK的最小值為BK的長，∵B（4，4），K（1，0），∴BK==5．故答案為5．【點睛】此題考查坐標與圖形的性質、相似三角形的判定和性質、三角形的三邊關系、兩點之間的距離公式，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題.8．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，點A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點C是OA的中點，點D在OB上，且OD＝4，動點P在上．求2PC＋PD的最小值．【答案】【分析】連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當P、D、E三點共線時，最小，最小值為DE的長，最后在中利用勾股定理求出DE的長即可．【詳解】如圖，連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．∵C是OA的中點，∴．∴在△OPC和△OEP中，，∴，∴，即，∴，.∴當P、D、E三點共線時，最小，最小值即為DE的長，如圖，在中，，∴的最小值為．【點睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質和勾股定理等知識．正確作出輔助線并理解當P、D、E三點共線時，最小，最小值為DE的長是解答本題的關鍵．9．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知菱形的邊長為8，，圓的半徑為4，點是圓上的一個動點，則的最大值為．【答案】【分析】連接，在上取一點，使得，連接，，過點作交的延長線于．先證明，即有，可得，再根據，（當P、G、D三點共線時取等號）即可求解．【詳解】解：連接，在上取一點，使得，連接，，過點作交的延長線于．，，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，，即，，，，，（當P、G、D三點共線時取等號），的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，構造是解題的關鍵．10．（2023·河北·模擬預測）如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，M點是BC的中點，A為圓心，AB為半徑的圓交AD于點E．點P在弧BE上運動，則PM+DP的最小值為．【答案】【分析】取AE的中點K，連接PK，KM，作KH⊥BC于H，則四邊形ABHK是矩形．可得AK=BH=1，HK=AB=2．由△PAK∽△DAP，推出，推出，推出，由，求出KM即可解決問題．【詳解】解：取AE的中點K，連接PK，KM，作KH⊥BC于H，則四邊形ABHK是矩形．可得AK=BH=1，HK=AB=2，∵AP=2，AK=1，AD=4，∴PA2=AK?AD，∴∵∠KAP=∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴，∴，∴，∵，，∴，∴的最小值為，故答案為.【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，兩點之間線段最短，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．11.（2023·山東·九年級專題練習）如圖，的半徑為，，Q為上一動點，則的最小值．的最小值【答案】【分析】連接OQ，在OM上取一點H，使OH=1，連接QH、PH，先證明，再根據相似三角形的性質得出，求的最小值轉化為求PQ+QH的最小值，最后根據兩點之間線段最短及勾股定理即可得出答案；連接OQ，在OP上取一點A，使OA=，連接QA、MA，先證明，再根據相似三角形的性質得出，求的最小值轉化為求QM+QA的最小值，最后根據兩點之間線段最短及勾股定理即可得出答案．【詳解】解：連接OQ，在OM上取一點H，使OH=1，連接QH、PH，，Q是上一動點，根據兩點之間，線段最短得到當Q在PH上時，PQ+QH最小即PQ+QM最小，最小值是PH=．連接OQ，在OP上取一點A，使OA=，連接QA、MA，又Q是上一動點，根據兩點之間，線段最短得到當Q在MA上時，QM+QA最小即PQ+QM最小，最小值是MA=．故答案為：；．【點睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質、兩點之間線段最短、圓的基本概念，熟練掌握性質定理及添加合適的輔助線是解題的關鍵．12．（2023·江蘇·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構造PB即可解答．【詳解】解：設⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形．13．（2022·湖北武漢·?？既＃┤鐖D，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM＝2，N為邊BC上一動點，連接MN，點B關于MN對稱，對應點為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為．【答案】【分析】根據MP=2可得P在以M為圓心，2為半徑的圓上，取MF的中點，以點B為坐標原點，BC、BA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設點P（x，y）則PE2=x2+(y﹣3)2，PA2=x2+(y﹣6)2，MP2=x2+(y﹣2)2=4，進而可求得PA=2PE，根據兩點之間線段最短可知，當E、P、C共線時PA+2PC=2(PE+PC)最小．【詳解】解：∵點B關于MN對稱，對應點為P，BM=2，∴MP=2，∴P在以M為圓心，2為半徑的圓上，如圖，設圓與AB交于B、F兩點，取MF的中點E，連接PE，則ME=1，BE=AE=3，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=6，以點B為坐標原點，分別以BC、BA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，則E(0，3)，A（0，6），M(0，2)，設點P（x，y），則PE2=x2+(y﹣3)2，PA2=x2+(y﹣6)2，MP2=x2+(y﹣2)2=4即x2+y2=4y，∴====，∴即PA=2PE，連接EC，在Rt△EBC中，BC=6，BE=3，由勾股定理得CE==，∴PA+2PC=2(PE+PC)≥2CE=(當E、P、C共線時取等號)，∴PA+2PC的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、對稱性質、圓的定義、平面直角坐標系中兩點間的距離公式、兩點之間線段最短、勾股定理，理解題意，仔細分析，尋找相關聯的信息，得出點P的運動軌跡和借助建立平面直角坐標系推導PA=2PE是解答的關鍵．14．（2023·山東·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值【答案】見詳解【分析】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD-PC的值最大（如圖2中），最大值為DG=5；可以把轉化為4（），這樣只需求出的最小值，問題即可解決。（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．解法類似（1）；（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法類似（1）；【詳解】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG==5．當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=5．如圖，連接BD，在BD上取一點F，使得BF=，作EF⊥BC∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，∴當C、F、P三點共線時會有FP+CP的最小值即PD+PC，由圖可知，△BEF為等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，∴最小值為FC===∴的最小值為：．（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG==．當點P在DG的延長線上時，的值最大，最大值為DG=．（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．∴△PBG∽△CBP，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG．在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD?sin60°=，CF=2，在Rt△GDF中，DG==PC=PD-PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=【點睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．15．（2023秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為平行四邊形，以為直徑的交于點，連接，，，．過點作直線．過點作，垂足為．(1)求的值；(2)若，且與交于另一點，求的長；(3)過點作，垂足為，當直線繞點旋轉時，求的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據為的直徑，得出，根據勾股定理求得的長，進而根據正弦的定義即可求解；（2）延長，交于點，連接，先證明，得出，繼而得出，中，，繼而證明，根據相似三角形的性質即可求解；（3）過點作于，過點作交于，，先證四邊形是平行四邊形，得到，再證，得到，即可推出，又由即可得到當直線l與直線BC垂直時，，即此時的最大值即為，由此求解即可．【詳解】（1）解：∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴；（2）解：如圖所示，延長，交于點，連接∵，∴，又，則，∴∴又∵，∴，∵中，∴∵，∴，∴∴，解得：（3）解：如圖所示，過點作于，過點作交于，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵四邊形為平行四邊形，，，∴∴，∴，∴，∴，∴，又∵∴當直線與直線垂直時，，即此時的最大值即為，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴的最大值為．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，弧、弦，圓周角之間的關系，直徑所對的圓周角是直角，圓內一點到圓上一點的最大距離，勾股定理，相似三角形的性質與判定等等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．16．（2023·山東濟南·九年級?？茧A段練習）如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點B，在x軸上有一動點（），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．(1)求a的值和直線AB的函數表達式：(2)設△PMN的周長為，△AEN的周長為，若求m的值．(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到，旋轉角為（），連接、，求的最小值．【答案】(1)a=-．直線AB解析式為y=-x+3；(2)2(3)【分析】（1）令y=0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，根據待定系數法可以確定直線AB解析式；（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解決問題；（3）在y軸上取一點M使得OM′=，構造相似三角形，可以證明AM′就是E′A+E′B的最小值．【詳解】（1）令y=0，則ax2+（a+3）x+3=0，∴（x+1）（ax+3）=0，∴x=-1或-，∵拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），∴-=4，∴a=-．∵A（4，0），B（0，3），設直線AB解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線AB解析式為y=-x+3；（2）如圖1，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵∴，∵NE∥OB，∴，∴，∵拋物線解析式為，∴，∴，解得m=2或4，經檢驗x=4是分式方程的增根，∴m=2；（3）如圖2，在y軸上取一點M′使得OM′=，連接AM′，在AM′上取一點E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′?OB=，∴OE′2=OM′?OB，∴，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴，∴，此時最小（兩點間線段最短，A、M′、E′共線時），最小值．【點睛】本題為二次函數綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質、待定系數法、最小值問題等知識，解題的關鍵是構造相似三角形，找到線段AM′就是的最小值．17．（2023·福建·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，在平面直角坐標系中，已知一拋物線頂點為，拋物線與軸交于點，交軸于兩點（在的左邊），（1）求出該拋物線的解析式；（2）已知點為線段上的一點且不與重合，作軸交直線于點，交拋物線于點，連接，．當是以為底邊的等腰三角形時，為線段上一點，連接，求出的最小值；（3）若直線與拋物線的對稱軸交于點，以為圓心1為半徑作圓，為圓上一動點，求的最小值；（4）如圖，直線，點為直線上一動點，點在拋物線的對稱軸上，作直線于點，交拋物線于，連接，，，當為等邊時，直接寫出點的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（3），【分析】（1）由題意利用待定系數法設二次函數的解析式為把點的坐標代入求解即可；（2）由題意利用等腰三角形性質以及以為斜邊向外作，使得，并設，則，進而運用勾股定理進行分析即可；（3）根據題意連接，，在上截取，設拋物線的對稱軸與軸交于以及設直線的解析式為，并運用相似三角形的判定與性質得出和結合勾股定理進行分析求解；（4）根據題意設點的坐標為，則點坐標，利用等邊三角形性質以及勾股定理得出m和n的值，進而得出點的坐標．【詳解】解：（1）∵頂點∴設二次函數的解析式為把點的坐標代入解得故二次函數的解析式為（2）如圖∵軸∴∵是以為底的等腰三角形∴，，∴兩點關于拋物線的對稱軸對稱∴，以為斜邊向外作，使得∴故當三點共線，最短當三點共線，∴設，則在中，，∴，解得∴，∴，∴（3）連接，，在上截取設拋物線的對稱軸與軸交于∴∵拋物線的頂點為∴對稱軸為直線∴設直線的解析式為代入的坐標得，解得∴直線的解析式為令則∴在中，，∴∴又∴∴∴∴∴當三點共線，最短作軸于∵，∴∵∴∴∴，∴在中，，∴∴（4），設點的坐標為，則點坐標，∵為等邊∴∴解得（舍去），則，解得故，同理可得坐標．【點睛】本題考查一次函數與二次函數的圖像和性質，相似三角形的性質與判定，銳角三角函數的定義等基礎知識，考察運算能力，推理能力，空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識，考察函數與方程思想，數形結合思想，化歸與轉化思想及分類與整合思想．18．（2023·山西·校聯考模擬預測）閱讀以下材料，并按要求完成相應任務．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人