專題08 圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）（解析版）

專題08圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是中考和各類(lèi)模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問(wèn)題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型解讀】模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見(jiàn)于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對(duì)定角（或直角）模型1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023.江蘇九年級(jí)期中）如圖，中，于點(diǎn)是半徑為2的上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，若是的中點(diǎn)，連結(jié)，則長(zhǎng)的最大值為（）A．3 B． C．4 D．【答案】B【詳解】解：如圖，可知P在BA延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)此時(shí)長(zhǎng)的最大，證明如下：連接BP,∵,∴BD=DC,∵是的中點(diǎn)，∴DE//BP,,所以當(dāng)BP的長(zhǎng)最大時(shí)，長(zhǎng)的最大，由題意可知P在BA延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)BP的長(zhǎng)最大此時(shí)長(zhǎng)的最大，∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5,∵的半徑為2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故選：B.例2.（2023.廣西九年級(jí)期中）如圖，，點(diǎn)O在線段上，，的半徑為1，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊，則的最小值為_(kāi)____．【答案】【詳解】解：如圖，在上方以為一邊作等邊，連接，和都是等邊三角形，，，即，在和中，，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，則當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，，，是等邊三角形，，，，在中，，則，即的最小值為，故答案為：．例3．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點(diǎn)F與點(diǎn)C的最小距離為_(kāi)_______．【答案】4【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，F(xiàn)C，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因?yàn)镈E＝4，可得FG＝，推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心為半徑的圓，再利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心為半徑的圓，∵GC＝，∴FC≥GC?FG，∴FC≥4，∴CF的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．例4．（2022·廣西貴港·三模）如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】連接BD，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，以點(diǎn)D為圓心，以DC為半徑作，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，交于Q．根據(jù)勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出DM的長(zhǎng)度，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出QM的長(zhǎng)度，根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡確定當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合時(shí)，點(diǎn)E到AB的距離最短為QM，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如下圖所示，連接BD，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N，以點(diǎn)D為圓心，以DC為半徑作，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，∴DE=DC=DN．∴點(diǎn)E在上移動(dòng)．∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)Q重合時(shí)，點(diǎn)E到AB的距離最短為QM．∴△AEB面積的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形面積公式，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．例5．（2021·山東威海·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若，則BG的最小值為_(kāi)_________________．【答案】．【分析】根據(jù)SAS證明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再證明∠DGA=90°，進(jìn)一步可得點(diǎn)G在以AD為直徑的半圓上，且O，G，B三點(diǎn)共線時(shí)BG取得最小值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴點(diǎn)G在以AD為直徑的圓上移動(dòng)，連接OB，OG，如圖：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴當(dāng)且公當(dāng)O，G，B三點(diǎn)共線時(shí)BG取得最小值．∴BG的最小值為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，圓周角定理等相關(guān)知識(shí)，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．例6．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)E滿足，則線段長(zhǎng)的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)題意得出E是以為直徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，利用勾股定理可得答案．【詳解】解：，∴點(diǎn)E在以為直徑的圓上，如圖所示，的最大值為，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，，的最大值為，當(dāng)點(diǎn)E在的下方時(shí)，的最大值也是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、圓的基本性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，根據(jù)最大的弦是直徑求得為的最大值是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·山東濟(jì)南·一模）正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先證明，從而，再根據(jù)，可求，可知點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值．【詳解】解：如圖，取AD中點(diǎn)O，連接OG，以AO為斜邊作等腰直角三角形AOM，則，在和中，，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，是直角三角形，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，MH為半徑的圓，如圖，連接BM，交圓M于，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)P，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴AP=MP==1，∴BP=4-1=3，在中，，∴．∴BH的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，利用三角形相似以及點(diǎn)和圓的知識(shí)解決．2．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，的直徑，點(diǎn)C為中點(diǎn)，弦經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且．點(diǎn)F為上一動(dòng)點(diǎn)，連接．于點(diǎn)G．若，在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度的最小值為．

【答案】/【分析】如圖，連接，，取的中點(diǎn)，由．可得在以R為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）當(dāng)，O，G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再求解，，可得，，則，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點(diǎn)，∵．∴在以R為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，（圓的一部分）當(dāng)，O，G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，

∵，點(diǎn)C為中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，圓的確定，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，證明在以R為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)是解本題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）等腰直角中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)填度數(shù)度時(shí)，可以取最大值，最大值等于．【答案】【分析】連接、．先證明，則，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、在同一直線上上最長(zhǎng)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：如圖一，連接、．是等腰直角三角形，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，．，如圖二，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、、在同一直線上最長(zhǎng)，，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到圓上距離的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．4．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，是等邊三角形，若，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，作的外接圓，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．說(shuō)明，，，四點(diǎn)共圓，求出，利用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，作的外接圓，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．∵是等邊三角形，∴，，∵，∴點(diǎn)在的外接圓上，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓的有關(guān)知識(shí)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．5．（2023·江蘇泰州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，P為的中點(diǎn)，連接．在矩形外部找一點(diǎn)E，使得，則線段的最大值為．【答案】/【分析】以的中點(diǎn)O為圓心，為半徑畫(huà)圓，可得所畫(huà)圓是的外接圓，弦右側(cè)圓弧上任意一點(diǎn)E與構(gòu)成的，使得四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，可得，連接并延長(zhǎng)與圓的交點(diǎn)即為的最長(zhǎng)距離，作于點(diǎn)H，是的中位線，，根據(jù)勾股定理求出和的值，進(jìn)而可得的最大值．【詳解】解：如圖，以的中點(diǎn)O為圓心，為半徑畫(huà)圓，在矩形中，，，，∵，∴所畫(huà)圓是的外接圓，弦右側(cè)圓弧上任意一點(diǎn)E與構(gòu)成的，使得四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，連接并延長(zhǎng)與圓的交點(diǎn)即為的最長(zhǎng)距離，作于點(diǎn)H，∴H是的中點(diǎn)，是的中位線，為的中點(diǎn)，，，，，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，圓周角定理，最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用以上知識(shí)找到點(diǎn)E．6．（2022秋·北京東城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為．【答案】/【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，且時(shí)，長(zhǎng)度最小,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，長(zhǎng)度最大，然后求得最大值與最小值的差即可求解．【詳解】解：，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如圖，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，且時(shí)，長(zhǎng)度最小，，，最小值為．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，長(zhǎng)度最大，則最大值為長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、圓的基本認(rèn)識(shí)，確定點(diǎn)的軌跡是本題的關(guān)鍵．7．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，AD＝2，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且∠PMA＝2∠PAD．連接PD，則PD的最小值為．【答案】/【分析】過(guò)M作MK⊥AP于K，連接MD，由∠AMP＝2∠PAD，可得∠AMP＝2∠AMK，即知∠AMK＝∠PMK，從而△AKM≌△PKM（ASA），PM＝AMABAD＝1，可得點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，故當(dāng)M、P、D共線時(shí)，PD最小，PD的最小值為MD﹣1，在Rt△AMD中，MD，即可得答案．【詳解】解：過(guò)M作MK⊥AP于K，連接MD，如圖：∵∠PAD＝90°﹣∠MAK＝∠AMK，∠AMP＝2∠PAD，∴∠AMP＝2∠AMK，∴∠AMK＝∠PMK，∵M(jìn)K＝MK，∠AKM＝∠PKM＝90°，∴△AKM≌△PKM（ASA），∴PM＝AMABAD＝1，∴點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，當(dāng)M、P、D共線時(shí)，PD最小，PD的最小值為MD﹣1，在Rt△AMD中，MD，∴PD最小為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查正方形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的軌跡是求出P的軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓．8．（2022·廣東·測(cè)試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)在的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是______．【答案】##【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A，B，坐標(biāo)，從而得出，，，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最??；過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由中位線定理得出，的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出，從而得出結(jié)論．【詳解】解：令，則，解得，，，，，，令，則，，，，為中點(diǎn)，，由沿折疊所得，，在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出，，的坐標(biāo)．9．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】如圖所示，延長(zhǎng)PB到D使得PB=DB，先證明△APD是等邊三角形，從而推出ABP=90°，∠BAP=30°，以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，解直角三角形得到，從而證明△AMB∽△AOP，得到，則，則點(diǎn)B在以M為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)的位置時(shí)，BC有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)PB到D使得PB=DB，∵，∴，又∵∠APB=60°，∴△APD是等邊三角形，∵B為PD的中點(diǎn)，∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，∴∠BAP=30°，以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AC于H，∴，同理可得，∵∠OAM=30°=∠PAB，∴∠BAM=∠PAO，又∵，∴△AMB∽△AOP，∴，∵點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，即OP=2，∴，∴點(diǎn)B在以M為圓心，以為半徑的圓上，連接CM交圓M（半徑為）于，∴當(dāng)M、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)B在點(diǎn)的位置時(shí)，BC有最小值，∵AC=2AO=8，∴AO=4，∴，∴，，∴，∴，∴，∴BC的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握瓜豆模型即證明點(diǎn)B在以M為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)．10．（2020·江蘇連云港市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，則面積的最小值為_(kāi)_______．【答案】2【分析】如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N．先證明點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．求出MN，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．∵直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．11．（2022·重慶·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是________．【答案】【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，延長(zhǎng)FE交AB于T．證明OE＝AC＝1，推出點(diǎn)E的在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大．【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，延長(zhǎng)FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大，∵直線CF，直線EF都是⊙O的切線，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC?tan30°＝，∴CF的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形30°角的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大．12．（2022·廣東東莞·一模）如圖，在正方形中，，E是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)F為所在直線上方一點(diǎn)，連接，若，則長(zhǎng)的最大值為．【答案】/【分析】以為邊在正方形內(nèi)作等邊三角形，以O(shè)為圓心作，在圓上取點(diǎn)F，則，如圖所示，則當(dāng)點(diǎn)F是過(guò)點(diǎn)E的直徑的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，此時(shí)，于點(diǎn)H，據(jù)此求解即可．【詳解】解：以為邊在正方形內(nèi)作等邊三角形，以O(shè)為圓心作，在圓上取點(diǎn)F，則，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)F是過(guò)點(diǎn)E的直徑的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，此時(shí)，于點(diǎn)H．∵，∴．在等腰直角三角形中，．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理等等，正確確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．13．（2023·天津九年級(jí)期中）如圖，⊙O的直徑AB為2，C為⊙O上的一個(gè)定點(diǎn)，∠ABC＝30°，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD的最大值為_(kāi)________．【答案】##【分析】由同弦等角可知點(diǎn)D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運(yùn)動(dòng)，從而構(gòu)造輔助圓，故當(dāng)A、O′、D共線時(shí)，AD的值最大．求出此時(shí)AD的值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵AB是直徑，∠ABC＝30°，AB＝2，∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠P＝60°，，，∵在Rt△PCD中，∠PCD＝90°，∠P＝60°，∴∠PDC＝30°，∴點(diǎn)D在以BC為弦的⊙O′（紅弧線）上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)A、O′、D共線時(shí)，AD的值最大．如圖，連接CO′、BO′，∵∠BO′C＝2∠CDB＝60°，O′C＝O′B，∴△O′BC是等邊三角形，∴,∠CBO′＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO′＝90°，∴，∴,∴線段AD的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．14．（2023·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在中，，以點(diǎn)B為圓心，半徑作圓．點(diǎn)Р為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使點(diǎn)落在直線的上方，且滿足，連接．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）若點(diǎn)P在上時(shí)，①在圖2中畫(huà)出；②連接，求的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否有最大值或最小值？若有，請(qǐng)直接寫(xiě)出取得最大值或最小值時(shí)的度數(shù)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；證明見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②；（3）取得最大值時(shí)，；取得最小值時(shí)，．【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)求出即可；先判斷出，再判斷出，即可得出結(jié)論；（2）①利用垂直和線段的關(guān)系即可畫(huà)出圖形；②先求出，進(jìn)而得出，再利用相似求出，即可得出結(jié)論；（3）先求出是定值，判斷出點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵在中，，，，；②，，，，，，，，；（2）①如圖1所示；②如圖2，連接，由（1）知，，，，，，，點(diǎn)在上，，；又∵，∴在中，，，根據(jù)勾股定理得，；（3）由（1）知，，，，是定值，點(diǎn)是在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，①如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，此時(shí)，取得最大值，，，，取得最大值時(shí)，；②如圖4，點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，，，取得最小值時(shí)，．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，直角三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，判斷出是解本題的關(guān)鍵．15．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）問(wèn)題提出（1）如圖1，內(nèi)接于，，，則的半徑為．問(wèn)題探究（2）如圖2，已知矩形，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，連接，求的最小值．解決問(wèn)題（3）如圖3，小樂(lè)家有一個(gè)四邊形菜地，他打算種植油菜花，為了提高產(chǎn)量，他計(jì)劃改造四邊形菜地，在改造的過(guò)程中始終要滿足米，，，且，求改造后四邊形菜地面積的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）改造后四邊形菜地面積的最大值為24平方米【分析】（1）作的直徑，連接，利用圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理求得直徑的長(zhǎng)，則結(jié)論可求；（2）利用（1）的條件可得：點(diǎn)在以為弦，所對(duì)的圓周角為的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)該圓的圓心為，作出，連接，，，與交于點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，利用垂徑定理和矩形的性質(zhì)得到，的長(zhǎng)，再利用勾股定理解答即可得出結(jié)論；（3）連接，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)可得：點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，，利用三角形的面積公式求得四邊形的面積，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）作的直徑，連接，如圖，為的直徑，，，，．在中，，，的半徑為．故答案為：；（2），點(diǎn)在以為弦，所對(duì)的圓周角為的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)該圓的圓心為，作出，連接，，，與交于點(diǎn)，如圖，則當(dāng)點(diǎn)于點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值．由（1）知：的半徑為，．，，，，．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，．，，，，的最小值；（3）連接，如圖，，且，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則，，，，．，，，的最大值為64，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值為64，改造后四邊形菜地面積的最大值．答：改造后四邊形菜地面積的最大值為24平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，矩形的性質(zhì)，函數(shù)的極值，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）已知如圖，是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，，以A為圓心，2為半徑作半圓A，交所在直線于點(diǎn)M，N．點(diǎn)E是半圓A上仟意一點(diǎn)．連接，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)與半圓A相切時(shí)，求弧的長(zhǎng)；(3)直接寫(xiě)出面積的最大值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)4【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合已知，證明，得到，證明即可．（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，三角函數(shù)，求得，代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．（3）根據(jù)題意，得點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，以2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，的高取得最大值，此時(shí)也取得最大值．【詳解】（1）∵是等腰直角三角形，，∴．由旋轉(zhuǎn)可得，∴，∴，∵，∴．（2）∵與半圓A相切，∴，∵，∴，∴，∴．（3）根據(jù)題意，得點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，以2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)Q，∴，當(dāng)時(shí)，的高取得最大值，此時(shí)也取得最大值．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，弧長(zhǎng)公式，圓的最值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)，弧長(zhǎng)公式，圓的最值是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，張老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段，使用作圖工具作．嘗試操作后思考：這樣的點(diǎn)唯一嗎？點(diǎn)的位置有什么特征？你有什么感悟？某學(xué)習(xí)小組通過(guò)操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)、除外），……小華同學(xué)畫(huà)出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D①）．(1)小華同學(xué)提出了下列問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長(zhǎng)為_(kāi)__________；②面積的最大值為_(kāi)__________；(2)經(jīng)過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫(huà)的角的頂點(diǎn)不在小華所畫(huà)的圓弧上，而在如圖①所示的弓形外部，我們記為，請(qǐng)你利用圖①證明．(3)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問(wèn)題：如圖②，已知矩形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)在直線的左側(cè)，且，則線段長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．【答案】(1)①6；②(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）①設(shè)O為圓心，連接，則由圓周角定理可得為等邊三角形，從而可得該弧所在圓的半徑；②過(guò)點(diǎn)O作的垂線，垂足為E，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)D，以為底，則當(dāng)與重合時(shí)，的面積最大，求出，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（2）設(shè)交圓于點(diǎn)，連接，則由同弧所對(duì)的圓周角相等有，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到所證的結(jié)果；（3）作等腰,使,以為圓心，為半徑作圓，則點(diǎn)在圓弧上，連接交于,此時(shí)最小,過(guò)作于于，根據(jù)，得在Rt中,,可得,，,根據(jù)勾股定理可得從而可得的最小值．【詳解】（1）解：①設(shè)為圓心,連接,,又,是等邊三角形,,即半徑為6故答案為：6②過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則當(dāng)與重合時(shí)，的面積最大，,由勾股定理得：的最大面積為故答案為：（2）解：如圖,設(shè)交圓于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在圓上，,即（3）解：如圖,