專題10 動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題（中考?jí)狠S題常考題）（解析版）

專題10動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題（中考?jí)狠S題?？碱}）（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含因動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)產(chǎn)生的相似三角形相關(guān)問題12道。一、解答題1．（2023·上海浦東新·校考一模）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)在軸上方的拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)正切可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)正切，可設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為，根據(jù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，解方程可得答案；（3）根據(jù)兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于的方程，解之即可．【詳解】（1）解：令，則，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：，,∵∴∵在負(fù)半軸，∴把和代入得：解得：∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：（2）∵，∴∵點(diǎn)P在x軸上方設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為，∴，解得：(舍去)或當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵∴∴為的銳角三角形，∴也是銳角三角形，∴，∴∵①當(dāng)時(shí)，，則，∴，即點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，則，∴，即點(diǎn)，綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比值是解題的關(guān)鍵，注意分類討論時(shí)不要遺漏情況．2．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是，；

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以D、C、B為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正切函數(shù)，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）根據(jù)兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得關(guān)于y的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，∵，∴，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為，又∵，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式是；（2）解：∵，∴，∵點(diǎn)P在x軸上方，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，∴，得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：如圖，

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，∴，∴為的銳角三角形，∴也是銳角三角形，∴點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方，∴，∴，∵，，，①如果，則，∴，即點(diǎn)，②如果則，∴，即點(diǎn)．綜上分析可知：符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式得出P點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得出關(guān)于y的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．3．（2023上·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線分別交于軸、軸上的兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)連接，求證：；(3)連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，若與點(diǎn)組成的三角形相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出B和C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；（2）求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出，即可證明結(jié)論；（3）求出直線的解析式，然后計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分兩種情況：和計(jì)算解題．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，令，則，解得，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把，代入得，解得：，∴；（2）解：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，過點(diǎn)D作垂直于點(diǎn)F，連接，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，，∴，又∵，∴，∴；

（3）設(shè)直線的解析式為，代入得：，解得，∴，令，則，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，，，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線夠構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023·上海徐匯·上海市第四中學(xué)校考一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若恰好在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)P作軸分別交直線，拋物線于點(diǎn)Q，C，連接．若以點(diǎn)B、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【分析】（1）將，代入，即可求解．（2）設(shè)，過點(diǎn)D作x軸垂線交于點(diǎn)N，可證明，則，將D點(diǎn)代入拋物線解析式得，求得或．（3）分當(dāng)和時(shí)，兩種情況討論，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：將，代入，∴，，∴．（2）解：設(shè)，如圖，過點(diǎn)D作x軸垂線交于點(diǎn)N，∵，∴,，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，解得或，∴或．（3）解：∵，∴是直角三角形，且，∵以點(diǎn)B、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴也是直角三角形，顯然，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖，∵拋物線的對稱軸為，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖，設(shè)與x軸交于點(diǎn)E，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，垂直平分交射線于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)E．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D是斜邊上的中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)連接，如果和相似，求的長；(3)當(dāng)點(diǎn)F在邊的延長線上，且時(shí)，求的長．【答案】(1)；(2)和相似，的長為或5(3)的長是【分析】（1）連接，，由，，，得，，而D是中點(diǎn)，，知，從而，證明，可得，，解得，，即可得；（2）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，有，解得；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，可得，解得，即可得出答案；（3）連接，過D作于K，由，有，設(shè)，則，在中，得，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，，如圖：∵，，，∴，，∵D是中點(diǎn)，∴，∵是的垂直平分線，∴，∵D是中點(diǎn)，，∴，∴，，∵是的垂直平分線，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，，∴，，解得，，∴；（2）①當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，則，∵，∴，解得，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，則，∵，∴，解得，∴；綜上所述，和相似，的長為或5；（3）連接，過D作于K，如圖：∴，∴，∴，即，設(shè)，則，∵，，∴，，在中，，∴，解得或（舍去），∴，∴的長是．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的相似問題，涉及勾股定理及應(yīng)用，線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及應(yīng)用．6．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖D，拋物線過點(diǎn)B（3，0），C（0，-3），D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接BC，CD，DB，求的正切值；(3)點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，直線與對稱軸交于點(diǎn)，在（2）的條件下，點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使和相似，若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，D（1，-4）(2)(3)存在，（1，0）或（1，）【分析】（1）將點(diǎn)B、的坐標(biāo)代入，即可得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求得BC，CD，DB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得，可得直線為，則，由（2）可知是直角三角形，，若和相似，可分和兩種情況進(jìn)行分析，借助相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)B、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，可得，解得，故拋物線的解析式為；∵，∴；（2）解：如下圖，連接BC，CD，DB，∵，∴，，，，，，∴，∴是直角三角形，，∴；（3）解：∵點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，的對稱軸為，∴，又∵，可設(shè)直線BE的解析式為，將點(diǎn)B、E的坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線為，當(dāng)時(shí)，，∴，由（2）知是直角三角形，，若和相似，可分兩種情況進(jìn)行解析：①時(shí)，點(diǎn)在軸上，∵，∴，∴，∴，∵，∴和，∴；②時(shí)，∵，∴，∵和，∴，∴，解得，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴．綜上所述，存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、勾股定理及逆定理的應(yīng)用、求正切值、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．7．（2022上·上海青浦·九年級(jí)校考期中）如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在第四象限拋物線的圖像上，當(dāng)平行四邊形的面積為24時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線是否存在一點(diǎn)，使得與相似，如存在求出點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)或(3)在直線存在一點(diǎn)，【分析】（1）可設(shè)拋物線解析式為，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a，k的值即可，進(jìn)而可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為，由的面積為24，可知的面積為12，列方程求出m即可得E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由于是直角三角形，要使與相似，則也為直角三角形，因此直線與直線垂直，可先求出直線的解析式，再寫出直線的解析式，然后聯(lián)立兩條直線的解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)即為P點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式，把和代入，得，解得，∴拋物線解析式為，即，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，即，，∵點(diǎn)在第四象限，∴得，化簡得，解得，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：在直線存在一點(diǎn)，理由如下：∵與相似，且是直角三角形，∴也是直角三角形，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用，題目綜合性較強(qiáng)有一定難度，熟練掌握求二次函數(shù)的解析式以及平行四邊形的性質(zhì)，相似三角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023上·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┰诰匦沃校?，，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長；(2)當(dāng)直線與直線交于點(diǎn)時(shí)，設(shè)，；如圖2，點(diǎn)在線段的延長線上，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；如果與相似，求的長．【答案】(1)；(2)；的值為或.【分析】()證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解；()證明，可得，推出，由，推出，由此構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論；分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，分別求解即可．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，，，∴，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，，∴，解得：，∵，∴，∴，∴，∴；∵，且點(diǎn)不可能在線段上，∴與相似有兩種可能:當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上(如圖中)∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上(如圖中)，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，綜上所述，的值為或.【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．9．（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接．當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且，在直線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)(3)存在，，【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的解析式，利用，得出方程，解方程即可求解；（3）證明，分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，∵，，∴代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)直線的解析式為，代入得，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，，則，則，∵是平行四邊形，∴，即，∴，∴；（3）解：由題意得，，，∴點(diǎn)D、A、Q在同直線上，設(shè)，，∴，，作軸，故軸，則，∴，∵，∴，可知，∴，同理可得直線的解析式為，解方程，得或，∴，連接，作軸，可知：，∴，∵，∴，即，故在的左側(cè)，此時(shí)：，設(shè)，∵，，，，I．當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，II．當(dāng)時(shí)，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的判定和相似三角形的性質(zhì)等．解題的關(guān)鍵是會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．10．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)F．(1)如果點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，求的正切值；(2)當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；(3)連接，如果與相似，求線段的長．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）過點(diǎn)D作于H，解直角三角形求出，即可解決問題．（2）如圖2中，過點(diǎn)A作，延長交于T，直線交于K，交的延長線于R．想辦法證明，再證明，可得，推出，可得結(jié)論．（3）利用與相似，可得或，由此構(gòu)建方程求出，當(dāng)點(diǎn)F在下方時(shí)，同法可求．【詳解】（1）解：如圖1中，過點(diǎn)D作于H，，，，，，，，，．（2）解：如圖2中，過點(diǎn)A作，延長交于T，直線交于K，交的延長線于R．，，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，在和中，，，，，，，，，．（3）解：如圖3中，連接，作于H．，，，與相似，與相似，或，或，整理得：或，解得：，或，或，當(dāng)點(diǎn)F在下方時(shí)，同理可求，，綜上所述，滿足條件的的值為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．11．（2023上·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知直線l：交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且．點(diǎn)D在線段上，且，過點(diǎn)C作的垂線，交的延長線于點(diǎn)E，連接．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求證：；(3)如果點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．【答案】(1)(2)見解析(3)點(diǎn)P坐標(biāo)是或【分析】（1）根據(jù)直線解析式即可求出，，從而得出，，進(jìn)而可求出．證，即得出，代入數(shù)據(jù)可求出，進(jìn)而可求出，即得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出，從而可得出，．作EH⊥AC于點(diǎn)H，證，即得出，，即，分別求出，，，結(jié)合勾股定理逆定理即可求解；（3）由，可確定點(diǎn)P只能在射線EC上．又可求出，，．分類討論①當(dāng)時(shí)，即，代入數(shù)據(jù)可求出，．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)F．利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式為．設(shè)，則，，再利用勾股定理即可求出此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，同理求解即可．【詳解】（1）解：對于，令，則，令，則，∴，，∴，．∵，∴，．∵，，∴，∴．又∵在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴點(diǎn)D坐標(biāo)是；（2）證明：∵，，∴．∵，∴，．作EH⊥AC于點(diǎn)H，如圖，

∵，，∴．又∵，∴，∴，，∴，∴，．∵，∴，∴，即；（3）解：∵，，∴點(diǎn)P只能在射線上．∵，，，，，∴，，．①當(dāng)時(shí)，即，∴，解得：，∴．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)F．

設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為．設(shè)，則，，在中，，∴，解得：，（舍），，∴此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，即，∴，解得：，∴．同理可求出．綜上可知：點(diǎn)P坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的相似、兩點(diǎn)之間的距離公式和分類討論的方法解答．12．（2022下·上海虹口·九年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且其頂點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求的正切值；(3)點(diǎn)在拋物線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)連接，延長交軸于點(diǎn)，