專題10 特殊三角形的存在性（含2024年崇明、閔行一模）原卷版

專題10特殊三角形的存在性特殊三角形的討論問題，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊三角形的性質、相似三角形的判定及性質、銳角三角比的應用等數學核心知識，考查了學生的分類討論、數形結合、轉化化歸等數學思想。雖部分特殊三角形的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式，對學生提出了相當大的挑戰(zhàn)。然而萬變不離其宗，從特殊三角形本身的性質入手，結合邊、角的相互轉化，就能撥開迷霧、追尋真跡。易錯點一：等腰三角形的存在性根據等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據實際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個甚至更多的解，在解題時需要尤其注意．解題思路：（1）利用幾何或代數的手段，表示出三角形的三邊對應的函數式；（2）根據條件分情況進行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原題中進行檢驗，舍去增根．解題策略：對于等腰三角形的存在性問題，利用“兩圓一線”找交點，①已知邊為腰時，以已知邊的兩端點為圓心，已知邊為半徑畫圓找交點；②已知邊為底時，利用尺規(guī)作圖法作出已知邊的垂直平分線進而找交點。

對于平面直角坐標系中的等腰三角形存在性問題，有以下幾種做法：①如果點落在坐標軸上，可以直接利用“等腰三角形的三線合一”或“兩邊”相等的性質，直接求點的坐標；②如果已知兩定點，還有一動點在直線上，則設出動點坐標，再利用距離公式，分類討論。③如果動點在拋物線上或動點個數不止一個，則不建議利用距離公式，這樣計算過程繁瑣且容易出現高次方程，可以利用圖中的相似三角形或其他圖形的特點進行解決?！纠?】．（2024?崇明區(qū)）已知中，，，，點是邊上的一個動點（不與點、重合），點是邊上的一點，且滿足，過點作交的延長線于．（1）如圖1，當時，求的長；（2）如圖2，聯(lián)結，設，，求關于的函數解析式并寫出定義域；（3）過點作射線的垂線，垂足為，射線與射線交于點，當是等腰三角形時，求的長．【變式】．（2023春?靜安區(qū)期末）（1）如圖1，梯形中，，，，，．求證：四邊形是等腰梯形；（2）點是直線上的一點，直線交直線于點．①當點在線段的延長線上時（如圖，設，，求關于的函數解析式并寫出定義域；②如果是等腰三角形，求的面積．【例2】．（2024?閔行區(qū)）如圖，在中，，以，為邊在外部作等邊三角形和等邊三角形，且聯(lián)結．（1）如圖1，聯(lián)結，，求證：；（2）如圖2，延長交線段于點．①當點為線段中點時，求的值；②請用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形（不要求寫作法，保留作圖痕跡，并寫明結論），當點在的內部時，求的取值范圍．【變式】．（2023?徐匯區(qū)二模）如圖，已知拋物線經過點，與軸交于點、．（1）求拋物線的頂點的坐標；（2）點在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折，如果點的對應點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點的坐標；（3）點在拋物線的對稱軸上，點是拋物線上位于第四象限內的點，當為等邊三角形時，求直線的表達式．易錯點二：直角三角形的存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點，需要用到勾股定理。解題思路：（1）按三個角分別可能是直角的情況進行討論；（2）計算出相應的邊長等信息；（3）根據邊長與已知點的坐標，計算出相應的點的坐標．解題策略：對于直角三角形的存在性問題，利用“兩圓一線”找交點，①已知邊為直角邊時，分別過邊的兩段點作邊的垂線找點；②已知邊為斜邊，作以斜邊為直徑的圓找點（直徑所對的圓周角是直角）。對于平面直角坐標系中的直角三角形存在性問題，有以下幾種做法：①如果動點在直線上，則可以利用距離公式和勾股定理求解；②如果動點落在拋物線上，則可以構造“一線三直角模型”求解?！纠?】（2023秋?寶山區(qū)期中）已知中，，，是射線上一點（不與點重合），線段的垂直平分線與邊交于點．（1）點在邊上，①如圖1，聯(lián)結，如果平分，求的長；②如圖2，射線交射線于點，設，，求關于的函數解析式，并寫出定義域．（2）如果是直角三角形，求的長．【變式1】（2023?閔行區(qū)二模）如圖，在中，，，以為邊作（點、在直線的異側），且滿足，．（1）求證：；（2）設點為邊的中點，連接并延長交邊于點，當為直角三角形時，求邊的長；（3）設，，求關于函數解析式并寫出定義域．【變式2】．（2023春?長寧區(qū)期末）已知在四邊形中，，，平分，交邊于點．（1）如圖1，如果點與點重合，，求證：四邊形是正方形；（2）如果，，①如圖2，當時，求的度數；②當是直角三角形時，求的長．易錯點三：等腰直角三角形的存在性既要結合等腰三角形的性質，又要結合直角三角形的性質。需要分類討論哪個角是直角?！纠?】．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，拋物線經過和．（1）求這條拋物線的表達式；（2）已知點在第一象限，且在直線上，過作軸的垂線，垂足為點，在的左側，以為斜邊作等腰直角三角形，①當點與點重合時，如圖所示，求點到這條拋物線對稱軸的距離；②如果點在這條拋物線上，求點的坐標．【變式】．（2023?楊浦區(qū)二模）已知拋物線與軸相交于點和點，與軸交于點．（1）求拋物線的表達式；（2）把拋物線沿射線方向平移得到拋物線，此時點、分別平移到點、處，且都在直線上，設點在拋物線上，如果是以為底的等腰直角三角形，求點的坐標；（3）在第（2）小題的條件下，設點為線段上的一點，，交直線于點，求的值．1．（2022秋?黃浦區(qū)校級期中）已知，在梯形中，，，，，點是邊上的一個動點，點是邊上的一個動點，線段與線段交于點，且，設，．（1）求與之間的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當平分時，求的值；（3）分別延長、相交于點，當是等腰三角形時，求的長．2．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在中，，點是邊上一點，．（1）如圖1，試說明的理由；（2）如圖2，過點作，垂足為點，與相交于點．①試說明的理由；②如果是等腰三角形，求的度數．3．（2023春?黃浦區(qū)期末）如圖，在直角坐標平面內，已知點、，過點、分別作軸的垂線，垂足為點、．（1）說明的理由；（2）求的面積；（3）在軸上找到點，使是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．4．（2023春?閔行區(qū)期末）如圖，梯形中，，，點是延長線上一點，，，，垂直于射線，垂足為點．（1）證明：四邊形是平行四邊形；（2）聯(lián)結，如果是等腰三角形，求線段的長度．5．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于，兩點，經過，兩點的拋物線與軸的正半軸相交于點，點為線段上的點，且點的橫坐標為．（1）求拋物線的解析式和直線的解析式；（2）過作軸的平行線交拋物線于，當是為腰的等腰三角形時，求點的坐標；（3）若頂點在以、為鄰邊的平行四邊形的形內（不含邊界），求的取值范圍．6．（2023秋?寶山區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線平移，使平移后的拋物線仍經過原點，新拋物線的頂點為（點在第四象限），對稱軸與拋物線交于點，且．（1）求平移后拋物線的表達式；（2）如果點平移后的對應點是點，判斷以點、、、為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；（3）拋物線上的點平移后的對應點是點，，垂足為點，如果是等腰三角形，求點的坐標．7．（2023秋?楊浦區(qū)期末）如圖，已知正方形，點是邊上的一個動點（不與點、重合），點在上，滿足，延長交于點．（1）求證：；（2）連接．①當時，求的值；②如果是以為腰的等腰三角形，求的正切值．8．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，在梯形中，，，，，，點在線段的延長線上，連接，作，與交于點．（1）求的長；（2）設，，求關于的函數關系式；（3）如果是等腰三角形，求的長．9．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知：如圖所示，四邊形中，，．（1）求證：；（2）當時，若點、分別在邊、上，且，求證：；（3）在（2）的條件下，若，是等腰三角形，直接用含的代數式表示．10．（2023春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知，，，點在邊上，，垂足為點，以為邊作正方形，點在邊上，且位于點的左側，聯(lián)結．（1）設，，求關于的函數解析式，并寫出函數的定義域；（2）當四邊形是等腰梯形時，求的長；（3）聯(lián)結，當是等腰三角形時，求正方形的面積．11．（2023春?徐匯區(qū)校級期末）已知邊長為的正方形中，是對角線上的一個動點（與點，不重合），過點作，交射線于點，過點作，垂足為點．（1）當點落在線段上時（如圖所示），設，的面積為，求與之間的函數關系式，并寫出函數的定義域；（2）在點的運動過程中，能否為等腰三角形？如果能，試求出的長，如果不能，試說明理由．12．（2022秋?青浦區(qū)校級期末）如圖1，梯形中，，，，，，在邊上，連接，．（1）求的長；（2）如圖2，作，交于點，交于點，若，，求關于的函數解析式，并寫出定義域；（3）在（2）的條件下，若是等腰三角形，求的值．13．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在中，，，．點是線段上一動點，點在的延長線上，且，連接，以線段為對角線作正方形，邊交邊于點，線段交邊于點，邊交邊于點．（1）求證：；（2）設，的面積為，求關于的函數解析式，并寫出的定義域；（3）連接，當是直角三角形時，求的值．14．（2023?嘉定區(qū)一模）如圖，已知在平面直角坐標系中，拋物線經過、兩點，且與軸的交點為點．（1）求此拋物線的表達式及對稱軸；（2）求的值；（3）在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？如果存在，求出所有符合條件的點坐標；如果不存在，請說明理由．15．（2023秋?長寧區(qū)校級期末）如圖，在中，，，點是邊上的動點（點與點、不重合），過點作交射線于點，聯(lián)結，點是的中點，過點、作直線，交于點，聯(lián)結、．（1）當點在邊上，設，，寫出關于的函數關系式；（2）判斷的形狀，并給出證明；（2）如果，求的長．16．（2023秋?虹口區(qū)校級期末）如圖，中，，，，點、分別是邊、上的一個動點，且，過點作交射線于點，交線段于點，設．（1）如圖1，當點與點重合時，求的面積；（2）如圖2，設當點在的延長線上時，，求關于的解析式，并寫出定義域；（3）若為直角三角形，求的值．17．（2022春?閔行區(qū)校級期末）如圖1，，，以點為頂點、為腰在第三象限作等腰．（1）求點的坐標；（2）如圖2，為軸負半軸上的一個動點，當點向軸負半軸向下運動時，若以為直角頂點，為腰作等腰，過作軸于點，求的值；（3）如圖3，已知點坐標為，點在軸的負半軸上沿負方向運動時，作，始終保持，與軸負軸交于點，與軸正半軸交于點，當點在軸的負半軸上沿負方向運動時，求的值．18．（2022秋?金山區(qū)校級期末）已知的余切值為2，，點是線段上一動點（點不與點、重合），以點為頂點的正方形的另兩個頂點、都在射線上，且點在點的右側，聯(lián)結，并延長交射線于點．（1）聯(lián)結，求證：；（2）如圖1，當點在線段上時，如果的正切值為2，求線段的長；（3）聯(lián)結，當為等腰三角形時，求線段的長．19．（2023?奉賢區(qū)二模）在梯形中，，，，，過點作對角線的垂線，垂足為，交射線于點．（1）如圖，當點在邊上時，求證：；（2）如圖，如果是的中點，求的值；（3）聯(lián)結，如果是等腰三角形，求的長．20．（2023春?徐匯區(qū)期中）如圖，在四邊形中，，，，，點從開始沿邊向以每秒的速度移動，點從開始沿邊向以每秒的速度移動，如果點、分別從、同時出發(fā)，當其中一點到達終點時運動停止．設運動時間為秒．（1）求證：當時，四邊形是平行四邊形；（2）是否可能平分對角線？若能，求出當為何值時平分；若不能，請說明理由；（3）若是以為腰的等腰三角形，求的值．21．（2003?閔行區(qū)模擬）已知拋物線與軸有兩個交點．（1）求的取值范圍；（2）設拋物線與軸交于、兩點，且點在點的左側，點是拋物線的頂點，如果是等腰直角三角形，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，拋物線與軸交于點，點在軸的正半軸上，且以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形相似，求點的坐標．22．（2023秋?長寧區(qū)校級期末）已知在中，，點在邊上，聯(lián)結．（1）如圖1，如果點在線段的垂直平分線上，求證：；（2）過點作，交邊于點，①如圖2，如果點是線段的中點，且，求的度數；②填空：如果，，且是以為腰的等腰三角形，那么的長等于．23．（2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖1，在和中，，，，．（1）求證：；（2）已知點在邊上一點（與點不重合），且，交于點，交的延長線于點．①如圖2，設，，求與的函數關系式，并寫出定義域；②當是等腰三角形時，求的長．24．（2023春?長寧區(qū)期末）