肺炎疫情拓展資料-高中數(shù)學(xué)（理）

高中數(shù)學(xué)（理科）

【考向分析】

一、預(yù)計(jì)會以新型冠狀病毒為背景，考察概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識，如獨(dú)立性檢驗(yàn)、樣

本的數(shù)字特征、線性回歸方程，古典概率模型等.

二、預(yù)計(jì)通過肺炎呼吸道傳染，傳播速度快，潛伏期長等特點(diǎn)，來考查指數(shù)函數(shù)

和等比數(shù)列等知識，并給出如何預(yù)測和積極防控措施.

三、可能體現(xiàn)在生態(tài)環(huán)境的保護(hù)上，如何保護(hù)生態(tài)的生物環(huán)境、經(jīng)過多少年可以恢

復(fù)地球生態(tài)等問題，以此考查函數(shù)、不等式、離散型隨機(jī)變量的期望等數(shù)學(xué)知識.

【考點(diǎn)預(yù)測】

考點(diǎn)一：獨(dú)立性檢驗(yàn)（選擇題）

例1：新型冠狀病毒（2019-NCoV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，

2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預(yù)防該疾病的效果，進(jìn)

行動物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：

患病未患病總計(jì)

服用藥104555

未服藥203050

總計(jì)3075105

下列說法正確的是（）

n(ad-bc)~

參考數(shù)據(jù)：K2=(n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（屋＞左）0.050.010

k3.8416.635

A.有95%的把握認(rèn)為藥物有效

B.有95%的把握認(rèn)為藥物無效

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物有效

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效

解析：由表格可以得到

□105x(10x3。-20x45)2909〉3.841,

30x75x50x55

由參考數(shù)據(jù)知，有95%的把握認(rèn)為藥物有效.

答案：A.

考點(diǎn)二：平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差(選擇題)

例2：新型冠狀病毒(2019-NCoV)感染導(dǎo)致的肺炎疫情牽動國人的心，朋友見

面、微信聊天、朋友圈分享，幾乎三句不離最新疫情的進(jìn)展，討論的背后是人們對

疫情的關(guān)注.在某地區(qū)新型冠狀病毒流行期間，為了建立指標(biāo)顯示疫情已受控制，

以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標(biāo)是“連續(xù)7天

每天新增感染人數(shù)不超過5人”.根據(jù)連續(xù)7天的新增病計(jì)算，下列各選項(xiàng)中，

-定符合上述指標(biāo)的是()<1

①平均數(shù)x<3；

②標(biāo)準(zhǔn)差SW2；

③平均數(shù)xW3且標(biāo)準(zhǔn)差SW2；

④平均數(shù)33且極差小于或等于2；

⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于1.

A.①②B.③④C.③④⑤D.④⑤

解析：①錯(cuò)，如：0,0,0,0,0,0,7；其平均數(shù)7<3,但不符合上述指標(biāo);

②錯(cuò)，如：7,7,7,7,7,7,7；其標(biāo)準(zhǔn)差S=0<2,但不符合上述指標(biāo)；

③錯(cuò)，如：0,3,3,3,3,3,6；其平均數(shù)x<3且標(biāo)準(zhǔn)差SW2,但不符合上述

指標(biāo)；

④對，若極差小于等于2,有可能(1)0,1,2；(2)1,2,3；(3)2,3,4；

(4)3,4,5；(5)4,5,6.

在平均數(shù)的條件下，只有(1)(2)(3)成立，符合上述指標(biāo)；

⑤對，在眾數(shù)等于1且極差小于或等于1,則最大數(shù)不超過5,符合指

標(biāo).答案：D

考點(diǎn)三：線性回歸方程、概率的求法（解答題）

例3：新冠狀病毒爆發(fā)以來，各地高度重視新冠狀病毒感染肺炎疫情防控衛(wèi)生健

康監(jiān)督工作，務(wù)必將督導(dǎo)檢查落實(shí)到位.在疫情期間，各地快遞、外賣小哥忙碌

身影，是“宅經(jīng)濟(jì)”興起的映照.某市食品藥品監(jiān)督管理局對本市的8個(gè)快遞配餐點(diǎn)

進(jìn)行了原料采購加工標(biāo)準(zhǔn)和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的檢查和評分，其評分情況如表所示：

快遞配餐點(diǎn)編號12345678

原料采購加工標(biāo)準(zhǔn)評分X82757066839395100

衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)評分y8179777582838487

（1）已知x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（精確

到0.1）

（2）現(xiàn)從8個(gè)被檢查點(diǎn)中任意抽取兩個(gè)組成一組，若兩個(gè)點(diǎn)的原料采購加工標(biāo)

準(zhǔn)和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的評分均超過80分，則組成“快遞標(biāo)兵配餐點(diǎn)”，求該組被評為

“快遞標(biāo)兵配餐點(diǎn)”的概率.

-〉-nx-y_^_g

參考公式：b=-^--------------,d=y-bx^^xy=54112,2=56168.

n2iii

解：⑴x=_X(82+75+70+66+83+93+95+100)=83;

8

y=_x(81+79+77+75+82+83+84+87)=

8

E七y一nx'V

54112—8x83x81

56168-8x832

a"=y-bx=Sl-0.3x83=56.1.

???所求線性回歸方程為V=0.3%+56.1.

（2）從8個(gè)快遞配餐點(diǎn)中任意選2個(gè)，共有r=28種結(jié)果.

其中原材料采購加工標(biāo)準(zhǔn)和衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的評分均超過80分的編號為1,5,6,7,8.

??.該組被評為“快遞標(biāo)兵配餐點(diǎn)”的概率為=2

282814

考點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的分布列、方差，排列組合，最小二乘法（解答題）

例4:中國2002年發(fā)生了從果子貍傳至人的SARS冠狀病毒疫情，沙特阿拉伯2012

年發(fā)生了從單峰駱駝傳至人的中東呼吸綜合征冠狀病毒疫情，而2019年出現(xiàn)在

湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒

株.檢測新型冠狀病毒的方法有兩種，檢測病原體本身或檢測人體為了抵抗病原體

而產(chǎn)生的抗體.某次醫(yī)學(xué)試驗(yàn)中，某醫(yī)學(xué)小組為了分析某種藥物用量與血液中新冠

狀病毒抗體水平的關(guān)系，選取六只動物進(jìn)行血檢，并得到如下資料：

動物編號123456

用藥量X（單位）134568

抗體指標(biāo)y（單位）3.43.73.84.04.24.3

記s為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，若抗體指標(biāo)落在（，-s,）+s）內(nèi)，則稱該動物為有效動物,

否則稱為無效動物.研究方案規(guī)定先從六只動物中選取兩只，用剩下的四只動物

的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的兩只動物數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

（1）設(shè)選取的兩只動物中有效動物的只數(shù)為蜃求隨機(jī)變量1f的分布列與期望；

（2）若選取的是編號為1和6的兩只動物，且利用剩余四只動物的數(shù)據(jù)求出y

關(guān)于x的線性回歸方程為＞八=0.17x+a,試求出。的值；

（3）若根據(jù)回歸方程估計(jì)出的1號和6號動物的抗體指標(biāo)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)結(jié)果誤差

都不超過抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試判斷（2）中

所得線性回歸方程是否可靠.

解：（1）y=3.9,5?0.31.故1,6號為無效動物，2,3,4,5號為有效動物.

所以隨機(jī)變量4的取值為0,1,2.

從六只動物中隨機(jī)選取兩只所有可能結(jié)果共有C?6=15種.

其分布列為

012

p182

15155

期望￡,?=0x￡+lx8_+2x_6_=i.

1515153

(2)對于2,3,4,5號動物，x=4.5,y=3.925,代入y=0.17x+a得0=3.16.

(3)由9=0.17x+3.16得1=3.33,%=4.52.

誤差ei=0.07,e6=0.22,均比標(biāo)準(zhǔn)差產(chǎn)0.31小，故(2)中回歸方程可

靠.考點(diǎn)五：獨(dú)立性檢驗(yàn)、數(shù)學(xué)歸納法、離散型隨機(jī)變量的分布列、函數(shù)

的性質(zhì)

(解答題+壓軸題)

例5：冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征

(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.而2019出現(xiàn)在湖北

武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人

感染了新型冠狀病毒后常見特征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難

等.在較嚴(yán)重病例中感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某

醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n(〃?N*)份血液樣本，有

以下兩種檢驗(yàn)方式：

方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)〃次.

方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k(左?N*且左22)份血液樣本分別取樣混合在一起

檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這

左份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這左份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這左份血液的檢驗(yàn)

次數(shù)總共為k+1.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的,

且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p(0</?<1).現(xiàn)取其中k(左GN*且左三2)份

血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為6，采用混合檢驗(yàn)方

式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為③

(1)若E(日)=E(12),試求關(guān)于左的函數(shù)關(guān)系式P=f(/r)；

(2)若尸與干擾素計(jì)量X"相關(guān)，其中Xi，X2,xn(〃三2)是不同的正實(shí)數(shù),

22

_1X-X

滿足X1=1且對任意“GN*("三2)都有六中成立.

if+121

⑴求證：數(shù)列｛x,J為等比數(shù)歹U；

(ii)當(dāng)P=lj時(shí),采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望

值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求左的最大值.

解：(1)由已知可得E(6)=k,&2的所有取值為1,k+1,

P(g2=1)=(bp)〃P

(12=%+1)=1-(bp)人,

E(Q)=(bp)卜+(左+1)[1-(1-p)k-k+「k(1-p)工

由EG)=E(《)，可得左=4+1-左(1-/7)k,即(1-p、k_11-/7=

12)=上，即上

即p=l]可得/(左)=『，"，左?N*,左22.

]尤2_x2x:

(2)⑴證明：當(dāng)n=2時(shí)，—>\=1,即工=近，

XXX-xX

12211

X1nA

可令q=，=e3>0,則qWl,由即=1,下面證明對任意的正整數(shù)小Xn=e3,

①當(dāng)n=l,2時(shí)，顯然成立;

k-\k

②假設(shè)對任意的n=k,Xk=e3,下面證明n=k+l時(shí),Xk+\=e3,

_1kfX-X

由題意可得e^+1—M21

&入xX-X，

iz+121

貝(Je3或++1+???+1

XXXX

23k-1k

2(段-1)、

即1

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整理得e「kR+(eJeF-o,