安徽省皖南八校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025屆“皖南八?！备呷谝淮未舐?lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.3.本卷命題范圍：集合與邏輯?不等式?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)?三角函數(shù)?解三角形.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求出，進(jìn)而求出子集個(gè)數(shù).依題意，集合，集合，于是，所以的子集個(gè)數(shù)為.故選：D2.已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，則“，使”是“是上的增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與充分必要條件定義判斷即可.“，使”不能推出“是上的增函數(shù)”，如，滿足，使，但不是上的增函數(shù).反之，若是上的增函數(shù)，由增函數(shù)的定義，可知一定，使.所以“，使”是“是上的增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：C.3.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，給合題意，可得答案.因?yàn)椋圆坏仁降慕饧癁榛?故選：A.4.已知，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)已知等式，再根據(jù)誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)化即可得到答案.故選:A5.當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】作出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，觀察在上的兩個(gè)函數(shù)的圖象，共有5個(gè)交點(diǎn).故選：C.6.設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列式求解即得.由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，而函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為，因此，解得.故選：D7.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.是以為周期的函數(shù)B.直線是曲線的一條對(duì)稱軸C.函數(shù)的最大值為，最小值為D.函數(shù)在上恰有2024個(gè)零點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，用周期性定義驗(yàn)證即可；對(duì)于B,用對(duì)稱性定義驗(yàn)證即可；對(duì)于C,易知是函數(shù)的一個(gè)周期，所以只需考慮在上的最大值.結(jié)合換元和二次函數(shù)，正弦函數(shù)最值問(wèn)題求解即可；對(duì)于D,先研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再用周期性拓廣即可.對(duì)于A,因?yàn)榕c不恒相等，所以不是的周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,又與不恒相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,易知是函數(shù)的一個(gè)周期，所以只需考慮在上的最大值.①當(dāng)時(shí)，，令，則，易知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，②當(dāng)時(shí)，,令，則，知在區(qū)間上的最大值為，最小值為，綜上所述函數(shù)的最大值為，最小值為，故C正確；對(duì)于D,先研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由C可知,當(dāng)時(shí)，令得，又因，在只有唯一解，即此時(shí)函數(shù)只有唯一零點(diǎn).同理可得當(dāng)時(shí)函數(shù)也只有唯一零點(diǎn).所以函數(shù)在上恰有2025個(gè)零點(diǎn).故D錯(cuò)誤.故選:C.8.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將三個(gè)數(shù)進(jìn)行恒等變形，使三個(gè)數(shù)中都出現(xiàn)，結(jié)合三個(gè)數(shù)據(jù)的形式構(gòu)造定義域在上的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性，確定時(shí)的函數(shù)值與的大小關(guān)系，即可比較三個(gè)數(shù)的大小.由題意得，.令，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，且，，∴，使得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).∵，，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù).∵，∴，∴.②令，則，∴在上為增函數(shù).∵,∴，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比大小問(wèn)題，比較兩個(gè)數(shù)大小的方法如下：①將兩個(gè)數(shù)恒等變形，使兩數(shù)有共同的數(shù)字，②將看成變量，構(gòu)造函數(shù)，③分析包含的某個(gè)區(qū)域的函數(shù)單調(diào)性，④根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，角的對(duì)邊分別是，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則有兩解B.若，則C.若，則為銳角三角形D.若，則為等腰三角形【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理、余弦函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.由正弦定理，得，則，此時(shí)無(wú)解，故錯(cuò)誤；函數(shù)在上單調(diào)遞減，則時(shí)，，故正確；因?yàn)?，角為?nèi)角，所以，知均為銳角，則為銳角三角形，故正確；，由余弦定理，得，整理得或，即或?yàn)榈妊切位蛑苯侨切?，故錯(cuò)誤.故選：.10.已知實(shí)數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為1B.的最小值為18C.的最大值是D.的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)合基本不等式及配湊法對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可判斷.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，與0矛盾，故錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，故正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確.故選：.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)與的圖象有相同的切線B.函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間C.存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)和有相同的最小值D.已知直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且從左到右三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，由相同切線建立方程判斷A；求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷B；取，求出函數(shù)的最小值判斷C；確定曲線有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出判斷D.對(duì)于A，設(shè)直線與曲線分別相切于點(diǎn)，，則直線或，即或，則有，消去得，令，而，函數(shù)在R上的圖象連續(xù)不斷，則函數(shù)有零點(diǎn)，即曲線有相同的切線，A正確；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則在和上單調(diào)遞增，又，，于是使得，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，令，，，，由，得，由，得，在上遞減，在上遞增，，由，得，由，得，在上遞減，在遞增，，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，，，作出的大致圖象：令二圖象交點(diǎn)，，當(dāng)直線與曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，而，，即，令，得，解得或，由，得，因此當(dāng)直線與曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，則，而，因此，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出直線與兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，集合，若，則__________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)確定的值，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入計(jì)算即得.因?yàn)?，故或，則或，因時(shí)，，不滿足，故.又因，故.故答案為：5.13.設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.x∈0,π在區(qū)間0,π恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得.故答案為：.14.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，為奇函數(shù)且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，在上的可導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得是為周期函數(shù)，即可求解.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，則，因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以，即，得，設(shè)為常數(shù)，令，得，則，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又因的圖象關(guān)于中心對(duì)稱,可得，則，故函數(shù)是周期為4的函數(shù)，因?yàn)?，所以，，所以，所?故答案為：四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.已知集合，集合，且：（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極小值1，無(wú)極大值.【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合，再利用并集的結(jié)果求出的值.（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.【小問(wèn)1】由，得，解得，則，而，，于是，解得，此時(shí)，符合題意，所以.【小問(wèn)2】由（1）知，的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值.16.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值及函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）設(shè)，若對(duì)任意的都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），對(duì)稱中心為（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)及圖象性質(zhì)易得結(jié)果；（2）將題干不等式轉(zhuǎn)化為，分別求出和的相應(yīng)最值，可得參數(shù)的范圍.【小問(wèn)1】，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，?所以，令，解得.所以的對(duì)稱中心為.【小問(wèn)2】因?yàn)閷?duì)任意的都有，所以.因?yàn)?，令，?dāng)時(shí)，，得函數(shù).則；當(dāng)時(shí)，，則，所以，即即解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：時(shí)，在恒成立.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）把不等式等價(jià)變形，根據(jù)、得，轉(zhuǎn)化不等式，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)分析單調(diào)性證明不等式.【小問(wèn)1】當(dāng)時(shí)，，由得,，故，由得,，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問(wèn)2】要證明不等式恒成立，只需證明在上恒成立，∵，∴，∴要證，只需證.令，則.∵,∴,∴,∴在上為減函數(shù)，∵，∴在上恒成立，∴時(shí)，在恒成立.18.在中，角的對(duì)邊分別為.且滿足.（1）求角的大?。唬?）若的面積，內(nèi)切圓的半徑為，求；（3）若的平分線交于，且，求的面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用和角公式化簡(jiǎn)，借助于同角三角函數(shù)式和特殊角的函數(shù)值即得；（2）由等面積得出，，利用余弦定理得出，三式聯(lián)立即可求得邊；（3）結(jié)合題設(shè)，分別在，和中，由正弦定理推出邊的關(guān)系式，再利用基本不等式求得的最小值，繼而即得三角形面積最小值.【小問(wèn)1】由，可得，所以，即，因，則.【小問(wèn)2】由等面積法可得：，即：，所以①，②，在中，由余弦定理得，即③，由①②③解得：；小問(wèn)3】如圖，因平分，故，在中，設(shè)，則，在中，由正弦定理，得，則，在中，由正弦定理，得，則，得，故有（*）.在中，由正弦定理，得，則，得代入（*）式，可得，即.由基本不等式，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.于是，.即的面積的最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解題時(shí)要注重題設(shè)條件的應(yīng)用，如三角形內(nèi)切圓半徑常與其面積聯(lián)系解題，內(nèi)角平分線常與正余弦定理結(jié)合使用，遇到兩參數(shù)的相關(guān)式求最值常與基本不等式掛鉤解題.19.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，曲線與在處的切線的傾斜角互補(bǔ).（1）求的值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足和恒成立，則稱直線為函數(shù)和的“隔離直線”.證明：函數(shù)和之間存在唯一的“隔離直線”.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合傾斜角互補(bǔ)即斜率互為相反數(shù)即可求解；（2）對(duì)求導(dǎo)分析單調(diào)性及最值，利用二次求導(dǎo)分析的單調(diào)性及最值，可得的解析式，繼而即可求解.（3）由題意得點(diǎn)為函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)，，可知函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有公切線，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性及最值來(lái)證明，，即可得證.【小問(wèn)1】由題得，所以，由題意可知，則.【小問(wèn)2】由，得，所以時(shí)，f'x<0，則是的單調(diào)遞減區(qū)間；時(shí)，f'x>0，則是的單調(diào)遞增區(qū)間.又由，得f1=0，時(shí)，，則x∈0,1時(shí)，時(shí)，；令，則恒成立，所以在x∈0,+又，則，使得恒成立，所以x∈0,x0時(shí)，，則是x∈x0,+∞時(shí)，，則是又，則x∈0,1時(shí)，時(shí)，gx故，所以hx在和1,+∞上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故hx的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)3】證明：令，其公共定義域?yàn)?,+∞，則，則，所以點(diǎn)為函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)，由，則，由