人教版初一數(shù)學(xué)下冊相交線與平行線模擬檢測題含解析

一、選擇題1．如圖，的平分線的反向延長線和的平分線的反向延長線相交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．如圖，ABC中∠BAC＝90°，將周長為12的ABC沿BC方向平移2個(gè)單位得到DEF，連接AD，則下列結(jié)論：①ACDF，AC＝DF；②DE⊥AC；③四邊形ABFD的周長是16；④，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④4．如圖，的角平分線、相交于F，，，且于G，下列結(jié)論：①；②平分；③；④.其中正確的結(jié)論是()A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①③5．下列幾個(gè)命題中，真命題有（）①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；②如果和是對頂角，那么；③一個(gè)角的余角一定小于這個(gè)角的補(bǔ)角；④三角形的一個(gè)外角大于它的任一個(gè)內(nèi)角．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．46．如圖，直線，三角板的直角頂點(diǎn)在直線上，已知，則等于（）．A．25° B．55° C．65° D．75°7．一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺固定不動(dòng)，將含30°的三角尺繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，如圖2，當(dāng)時(shí)，，則（）其它所有可能符合條件的度數(shù)為（）A．60°和135° B．60°和105° C．105°和45° D．以上都有可能8．下列命題中，真命題是（）①平面內(nèi)，過一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線垂直；②若，則；③一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角?。虎懿幌嘟坏膬蓷l直線叫平行線．A．①和② B．①和③ C．①②③ D．①②③④9．為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，感受中國的傳統(tǒng)文化，學(xué)校將國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)“抖空竹”引入陽光特色大課間，小聰把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，則∠E的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．60° D．70°10．如圖，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝45°，則∠H為（）A．22° B．22.5° C．30° D．45°二、填空題11．已知，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，點(diǎn)、、為、內(nèi)部的點(diǎn)，連接、、、、、，于，，，平分，平分，則（小于平角）的度數(shù)為______．12．如圖，已知，，，則_________13．如圖，△ABC的邊長AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，將△ABC沿BC方向平移acm（a＜4cm），得到△DEF，連接AD，則陰影部分的周長為_______cm．14．如圖，直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN與PQ之間，點(diǎn)B在直線MN上，連結(jié)AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點(diǎn)C，連結(jié)AC，過點(diǎn)A作AD⊥PQ交PQ于點(diǎn)D，作AF⊥AB交PQ于點(diǎn)F，AE平分∠DAF交PQ于點(diǎn)E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，則∠ACD的度數(shù)是_____．15．如圖①：MA1∥NA2，圖②：MA11NA3，圖③：MA1∥NA4，圖④：MA1∥NA5，……，則第n個(gè)圖中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1______.（用含n的代數(shù)式表示）16．如圖，直線，將含有角的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，若，則的度數(shù)為________17．如圖所示，，則的度數(shù)為______．18．已知，，，，且，請直接寫出、、的數(shù)量關(guān)系________．19．如圖，△ABC沿AB方向平移3個(gè)單位長度后到達(dá)△DEF的位置，BC與DF相交于點(diǎn)O，連接CF，已知△ABC的面積為14，AB＝7，S△BDO﹣S△COF＝___．20．一副直角三角板疊放如圖①，．現(xiàn)將含角的三角板固定不動(dòng)，把含角的三角板（其中）繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角．（1）如圖②，當(dāng)______度時(shí)，邊和邊所在的直線互相垂直；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角在的旋轉(zhuǎn)過程中，使得兩塊三角板至少有一組對應(yīng)邊（所在的直線）互相平行，此時(shí)符合條件的______．三、解答題21．已知，AB∥DE，點(diǎn)C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥BC交ED的延長線于點(diǎn)F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點(diǎn)G，連接GB并延長至點(diǎn)H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．22．如圖1，已知直線m∥n，AB是一個(gè)平面鏡，光線從直線m上的點(diǎn)O射出，在平面鏡AB上經(jīng)點(diǎn)P反射后，到達(dá)直線n上的點(diǎn)Q．我們稱OP為入射光線，PQ為反射光線，鏡面反射有如下性質(zhì)：入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，即∠OPA=∠QPB．（1）如圖1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度數(shù)；（3）如圖3，再放置3塊平面鏡，其中兩塊平面鏡在直線m和n上，另一塊在兩直線之間，四塊平面鏡構(gòu)成四邊形ABCD，光線從點(diǎn)O以適當(dāng)?shù)慕嵌壬涑龊?，其傳播路徑為O→P→Q→R→O→P→…試判斷∠OPQ和∠ORQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．23．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．問題解決：（1）如圖2，AB∥CD，直線l分別與AB、CD交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判斷∠APC、α、β之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線段MN或NM的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)．請直接寫出∠APC、α、B之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，AB∥CD，點(diǎn)P是AB、CD之間的一點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)A、C右側(cè)），連接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分線交于點(diǎn)Q．若∠APC＝116°，請結(jié)合（2）中的規(guī)律，求∠AQC的度數(shù)．24．已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE的角分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數(shù)；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系25．已知：AB∥CD，截線MN分別交AB、CD于點(diǎn)M、N．（1）如圖①，點(diǎn)B在線段MN上，設(shè)∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且滿足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度數(shù)；（2）如圖②，在（1）的條件下，射線DF平分∠CDE，且交線段BE的延長線于點(diǎn)F；請寫出∠DEF與∠CDF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在射線NT上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠DCP與∠BMT的平分線交于點(diǎn)Q，則∠Q與∠CPM的比值為（直接寫出答案）．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、選擇題1．A解析：A【分析】分別過、作的平行線和，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用和分別表示出和，從而可找到和的關(guān)系，結(jié)合條件可求得．【詳解】解：如圖，分別過、作的平行線和，，，，，，，，，又，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行同位角相等，②兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④，．2．D解析：D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)逐一判定即可．【詳解】解：∵將ABC沿BC向右平移2個(gè)單位得到DEF，∴ACDF，AC＝DF，AB＝DE，BC＝EF，AD＝BE＝CF＝2，∠BAC＝∠EDF＝90°，∴ED⊥DF，四邊形ABFD的周長＝AB+BC+CF+DF+AD＝12+2+2＝16．∵S△ABC＝S△DEF，∴S△ABC﹣S△OEC＝S△DEF﹣S△OEC，∴S四邊形ABEO＝S四邊形CFDO，即結(jié)論正確的有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等．也考查了平移的距離以及圖形的面積．3．D解析：D【分析】由題意根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α．（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β．（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β．（5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時(shí)，同理可得∠AEC=α-β或β-α．綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及分類討論．4．A解析：A【分析】根據(jù)平行線、角平分線、垂直的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理依次判斷即可得出答案．【詳解】解：①∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分線，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本選項(xiàng)正確；②無法證明CA平分∠BCG，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故本選項(xiàng)正確；④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本選項(xiàng)正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知直角三角形的兩銳角互余是解答此題的關(guān)鍵．5．B解析：B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對①進(jìn)行判斷；根據(jù)對頂角的性質(zhì)對②進(jìn)行判斷；根據(jù)余角與補(bǔ)角的定義對③進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外角性質(zhì)對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，所以①錯(cuò)誤；如果∠1和∠2是對頂角，那么∠1=∠2，所以②正確；一個(gè)角的余角一定小于這個(gè)角的補(bǔ)角，所以③正確；三角形的外角大于任何一個(gè)與之不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，所以④錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．6．C解析：C【分析】利用平行線的性質(zhì)，可證得∠2=∠3，利用已知可證得∠1+∠3=90°，求出∠3的度數(shù)，進(jìn)而求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖∵a//b∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=180°-90°=90°∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°∴∠2=65°．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用“兩直線平行、同位角相等”是解答本題的關(guān)鍵．7．D解析：D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由平行線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖當(dāng)∥時(shí)，；當(dāng)∥時(shí)，；當(dāng)∥時(shí)，∵，∴；當(dāng)∥時(shí)，∵，∴．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．8．B解析：B【分析】根據(jù)題意逐項(xiàng)判斷，根據(jù)真命題的定義即可求解．【詳解】解：①平面內(nèi)，過一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線垂直，原命題判斷正確，是真命題，符合題意；②若，則，原命題判斷錯(cuò)誤，是假命題，不合題意；③設(shè)這個(gè)角為x°，則它的余角為（90-x）°，補(bǔ)角為（180-x）°，所以它的余角比它的補(bǔ)角小90°，故原命題判斷正確，是真命題，符合題意；④平面內(nèi)不相交的兩條直線叫平行線，原命題判斷錯(cuò)誤，是假命題，不合題意．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了真命題與假命題的判斷，垂線的性質(zhì)，有理數(shù)的乘法法則，余角、補(bǔ)角的定義，平行線的定義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵，一般情況下，說明一個(gè)命題是真命題，要進(jìn)行證明，說明一個(gè)命題是假命題，可以進(jìn)行證明，也可以舉出反例進(jìn)行說明．9．A解析：A【分析】過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論、平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．B解析：B【分析】過作，過作，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過作，過作，，，，，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)解答．二、填空題11．【分析】過點(diǎn)，做平行于，根據(jù)平行線的傳遞性及性質(zhì)得，同理得出，令，則，，則，通過等量關(guān)系先計(jì)算出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等量代換進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)，做平行于，如下圖：，，則，解析：【分析】過點(diǎn)，做平行于，根據(jù)平行線的傳遞性及性質(zhì)得，同理得出，令，則，，則，通過等量關(guān)系先計(jì)算出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等量代換進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)，做平行于，如下圖：，，則，，同理可得：，令，則，，則，則，，，，平分，平分，，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，找到角之間的關(guān)系，利用等量代換的思想進(jìn)行計(jì)算求解．12．90°【分析】根據(jù)AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的關(guān)系，根據(jù)CF∥DE，可得出∠FED和∠D的關(guān)系，合并即可得出∠D―∠B的大小【詳解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠解析：90°【分析】根據(jù)AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的關(guān)系，根據(jù)CF∥DE，可得出∠FED和∠D的關(guān)系，合并即可得出∠D―∠B的大小【詳解】∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF∵CF∥DE∴∠FCD+∠D=180°∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化簡得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°∴∠D―∠B=90°故答案為：90°【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將∠BCD分為∠BCF和∠FCD，然后利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換．13．9【分析】根據(jù)平移的特點(diǎn)，可直接得出AC、DE、AD的長，利用EC=BC－BE可得出EC的長，進(jìn)而得出陰影部分周長．【詳解】∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，將△ABC沿BC方向平解析：9【分析】根據(jù)平移的特點(diǎn)，可直接得出AC、DE、AD的長，利用EC=BC－BE可得出EC的長，進(jìn)而得出陰影部分周長．【詳解】∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，將△ABC沿BC方向平移acm∴DE=AB=3cm，BE=acm∴EC=BC－BE=(4－a)cm∴陰影部分周長=2+3+(4－a)+a=9cm故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查平移的特點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)，得出EC=BC－BE．14．27°．【分析】延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，通過角度的不斷轉(zhuǎn)換解得∠BCA=45°.【詳解】解：延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，由圖可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD解析：27°．【分析】延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，通過角度的不斷轉(zhuǎn)換解得∠BCA=45°.【詳解】解：延長FA與直線MN交于點(diǎn)K，由圖可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD，因?yàn)镸N∥PQ，所以∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°，所以∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°，即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°，所以∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°.故∠ACD的度數(shù)是：27°.【點(diǎn)睛】本題利用平行線、垂直、角平分線綜合考查了角度的求解.15．【解析】分析：分別求出圖①、圖②、圖③中，這些角的和，探究規(guī)律后，理由規(guī)律解決問題即可．詳解：如圖①中,∠A1+∠A2=180°=1×180°，如圖②中,∠A1+∠A2+∠A3=360°=2解析：【解析】分析：分別求出圖①、圖②、圖③中，這些角的和，探究規(guī)律后，理由規(guī)律解決問題即可．詳解：如圖①中,∠A1+∠A2=180°=1×180°，如圖②中,∠A1+∠A2+∠A3=360°=2×180°，如圖③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°=3×180°，…，第n個(gè)圖,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An+1學(xué)會從=，故答案為.點(diǎn)睛：平行線的性質(zhì).16．【解析】試題分析：過B作BE∥m，則根據(jù)平行公理及推論可知l∥BE，然后可證明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.故答案為：20.解析：【解析】試題分析：過B作BE∥m，則根據(jù)平行公理及推論可知l∥BE，然后可證明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°.故答案為：20.17．125°【分析】結(jié)合題意，根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)，通過證明，得，再根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】如圖：∵，且∴∴∴∴故答案為：125°．【點(diǎn)睛】本題考查了解析：125°【分析】結(jié)合題意，根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)，通過證明，得，再根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】如圖：∵，且∴∴∴∴故答案為：125°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線、對頂角、補(bǔ)角的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，從而完成求解．18．（上式變式都正確）【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，可得出（根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行），根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出各個(gè)角之間的關(guān)系，利用等量代換、等式的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖解析：（上式變式都正確）【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，可得出（根據(jù)平行于同一直線的兩條直線互相平行），根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出各個(gè)角之間的關(guān)系，利用等量代換、等式的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考察平行線的性質(zhì)及等式的性質(zhì)，作出相應(yīng)的輔助線、找出相應(yīng)的角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．2【分析】如圖，連接CD，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G．利用三角形面積公式求出CG，再根據(jù)S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝求解即可．【詳解】解：如圖，連接CD，過點(diǎn)C作CG⊥AB于解析：2【分析】如圖，連接CD，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G．利用三角形面積公式求出CG，再根據(jù)S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝求解即可．【詳解】解：如圖，連接CD，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G．∵S△ABC＝?AB?CG，∴CG＝＝4，∵AD＝CF＝3，AB＝7，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣3＝4，∴S△BDO﹣S△COF＝S△CDB﹣S△CDF＝，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．20．60°或105°或135°【分析】（1）根據(jù)條件只需證BC⊥AE即可，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°；（2）分情況畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：（解析：60°或105°或135°【分析】（1）根據(jù)條件只需證BC⊥AE即可，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°；（2）分情況畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）在△ABC中，AC⊥BC，AE與AC重合，則AE⊥BC，α=∠DEA-∠BAC=45°-30°=15°，∴當(dāng)α=15°時(shí)，BC⊥AE．故答案為15；（2）當(dāng)BC∥AD時(shí)，∠C=∠CAD=90°，∴α=∠BAD=90°-30°=60°；如圖，當(dāng)AC∥DE時(shí)，∠E=∠CAE=90°，則α=∠BAD=45°+60°=105°，此時(shí)∠BAE=90°-30°=60°=∠B，則AE∥BC；如圖，當(dāng)AB∥DE時(shí)，∠E=∠BAE=90°，∴α=∠BAD=45°+90°=135°；綜上：符合條件的α為60°或105°或135°，故答案為：（1）15；（2）60°或105°或135°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的角度計(jì)算，正確確定△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中可以依次出現(xiàn)幾次平行的情況是關(guān)鍵．三、解答題21．（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點(diǎn)作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，由此即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，延長至點(diǎn)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義、結(jié)合（2）的結(jié)論可得，然后根據(jù)角的和差、對頂角相等可得，由此即可得出答案．【詳解】證明：（1）如圖，過點(diǎn)作，，，，，即，，；（2）如圖，過點(diǎn)作，，，，，即，，，，，；（3）如圖，過點(diǎn)作，延長至點(diǎn)，，，，，平分，平分，，由（2）可知，，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等、角平分線的定義等知識點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ【分析】（1）根據(jù)∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度數(shù)；（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度數(shù)，轉(zhuǎn)化為（1）來解決問題；（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，從而∠OPQ=∠ORQ．【詳解】解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，（2）作PC∥m，∵m∥n，∴m∥PC∥n，∴∠AOP=∠OPC=43°，∠BQP=∠QPC=49°，∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，（3）∠OPQ=∠ORQ．理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，∵入射光線與平面鏡的夾角等于反射光線與平面鏡的夾角，∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，∴∠OPQ=∠ORQ．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和入射角等于反射角的規(guī)定，解決本題的關(guān)鍵是注意問題的設(shè)置環(huán)環(huán)相扣、前為后用的設(shè)置目的．23．（1）∠APC=α+β，理由見解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可求解；（2）分點(diǎn)P在線段MN或NM的延長線上運(yùn)動(dòng)兩種情況，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及角的和差即可求解；（3）過點(diǎn)P，Q分別作PE∥AB，QF∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)及角的和差即可求解．【詳解】解：（1）如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=α，∠CPE=β，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．（2）如圖，在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線段MN的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AB∥CD，∠PAB=α，∴∠1=∠PAB=α，∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，∴α=∠APC+β，∴∠APC=α-β；如圖，在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在線段NM的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵AB∥CD，∠PCD=β，∴∠2=∠PCD=β，∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，∴β=α+∠APC，∴∠APC=β-α；（3）如圖3，過點(diǎn)P，Q分別作PE∥AB，QF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥QF∥PE∥CD，∴∠BAP=∠APE，∠PCD=∠EPC，∵∠APC=116°，∴∠BAP+∠PCD=116°，∵AQ平分∠BAP，CQ平分∠PCD，∴∠BAQ=∠BAP，∠DCQ=∠PCD，∴∠BAQ+∠DCQ=（∠BAP+∠PCD）=58°，∵AB∥QF∥CD，∴∠BAQ=∠AQF，∠DCQ=∠CQF，∴∠AQF+∠CQF=∠BA