人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難考點專題02弧、弦、圓心角(知識串講+6大考點)特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題02弧、弦、圓心角考點類型知識串講（一）弧、弦、圓心角的基本概念（1）弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦．（2）弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c的弧記作，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧；在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。（3）弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距．弦心距、半徑、弦長的關(guān)系：（考點）QUOTE半徑2（二）弧、弦、圓心角的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．考點訓(xùn)練考點1：弧、弦、圓心角的概念典例1：（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點A，O，D，點C，D，E以及點B，O，C分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【變式1】（2023春·七年級單元測試）下列說法中，不正確的是（

）A．直徑是最長的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等C．長度相等的弧是等弧 D．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱【變式2】（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓外一點，則下列說法正確的是（

）A．∠BOC是圓心角B．AC是⊙O的弦 C．∠C是圓周角D．AC+OC<【變式3】（2022秋·九年級單元測試）下列圖形中的角是圓心角的是（

）A．

B．

C．

D．

考點2：弧、弦、圓心角——求角度典例2：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑BC=CD=DE，若∠COD=35°，則

A．35° B．55° C．75° D．95°【變式1】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，點A是CB中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+【變式2】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知弦AB把圓周分成1:3兩部分，則弦AB所對圓心角的度數(shù)為（

）A．90° B．270° C．90°或270° D．45°或135°【變式3】（2022秋·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，在兩個同心圓中，AB為60°，則CD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°考點3：弧、弦、圓心角——求線段典例3：（2023·江蘇·模擬預(yù)測）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長為8，C為折疊后AB的中點，則OC長為（

）A．2 B．3 C．1 D．2【變式1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【變式2】（2021秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為圓O的直徑，B為劣弧CD中點，∠A=22.5°,AB=16，則CD的長為（

）A．82 B．42 C．8【變式3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE=2，⊙O的直徑為10，則AC長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8考點4：弧、弦、圓心角——證明題典例4：（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，∠AOB=∠COD，證明AC=

【變式1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作⊙O交AB于D，交AC于E，連接DE．試判斷BD，DE，EC之間的大小關(guān)系，并說明理由．【變式2】（2022秋·九年級單元測試）如圖，已知⊙O的半徑OA，OB，C在AB?上，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E，且CD=CE，求證：AC

【變式3】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD．

(1)求證：BE=CE；(2)若AE=1，CE=3，求⊙O的半徑．考點5：弧、弦、圓心角——比較問題典例5：（2021·甘肅·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB?=BC?=CD?，連接AC，CDA．AC=2CD B．AC<2CDC．AC>2CD D．無法比較【變式1】（2020秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為半圓O的直徑，C是AB的中點，D是BC的中點，在AC上取一點M，BC上取一點N，使得∠AMN＝110°，則下列說法正確的是（）A．點N在CD上，且NC＞ND B．點N在CD上，且NC＜NDC．點N在BD上，且ND＞NB D．點N在BD上，且ND＜NB【變式2】（2022春·九年級課時練習(xí)）在同圓中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小關(guān)系是（

）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CDD．無法比較它們的大小【變式3】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，AB=2CD，則（A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．AB與2CD大小無法比較考點6：弧、弦、圓心角——綜合題典例6：（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是AB上兩點，過點D作DE∥OC交OB于E點，在OD上取點F，使OF=DE，連接CF并延長交OB于(1)求證：△OCF≌△DOE；(2)若C、D是AB的三等分點，OA=23①求∠OGC；②請比較GE和BE的大小．【變式1】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，∠AOB=90°，且C，D是AB的三等分點，AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn)．求證：AE=BF=CD．【變式2】（2022秋·安徽淮南·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是半⊙O的三等分點，CE⊥AB于點E，求∠ACE的度數(shù)并指出AC與OD【變式3】（2022秋·陜西西安·九年級交大附中分校?？计谀┤鐖D，AB是O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于O，OD交AC于點E，AD=CD．(1)求證：OD∥BC；(2)若AC=12，DE=4，求BC的長．同步過關(guān)一、單選題1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，半圓O的直徑AB為15，弦BC為9，弦BD平分∠ABC，則BD的長是（

）A．12 B．55 C．65 D．92．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，AB=BC，點D在⊙O上，∠CDB=25°，則∠AOB=（

）A．45° B．50° C．55° D．60°3．（2023春·九年級課時練習(xí)）下列說法正確的是（）A．相等的弦所對的弧相等 B．相等的圓心角所對的弧相等C．相等的弧所對的弦相等 D．相等的弦所對的圓心角相等4．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）下列說法中，正確的是（

）A．弧是半圓 B．長度相等的弧是等弧C．在圓中直角所對的弦是直徑 D．任意一個三角形有且只有一個外接圓5．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3．點P為ΔABC內(nèi)一點，且滿足PA2+PC2=ACA．3 B．33 C．3346．（2022秋·九年級單元測試）下列說法正確的是（

）A．相等的圓心角所對的弧相等 B．平分弦的直徑垂直弦并平分弦所對的弧C．相等的弦所對的圓心角相等 D．等弧所對的弦相等7．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知⊙O的直徑CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM=2，則AB的長為（

）A．2 B．23 C．4 D．8．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）下列圖形中的角，是圓心角的為（

）A． B． C． D．9．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四點，OC，OD交AB于點E，F(xiàn)，且AE＝FB，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB10．（2023·九年級課時練習(xí)）在⊙O中，M為AB的中點，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB與2AM的大小不能確定二、填空題11．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，則弧AD的度數(shù)為．12．（2022秋·陜西安康·九年級漢濱高中?？计谥校┤鐖D，在條件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③點E分別是AO、CD的中點；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四邊形OCAD是菱形的條件有個．13．（2022秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，∠A=40°，⊙O截ΔABC三邊所得的線段相等，那么∠BOC的度數(shù)是．14．（2022秋·甘肅慶陽·九年級?？计谀┤鐖D，AB為⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB于點P，若AB＝4，OP＝1，則弦CD所對的圓周角等于度．15．（2022秋·九年級課時練習(xí)）666666如圖，已知AB,CD是⊙O的直徑，CE是弦，且AB∥CE,∠C=350，則BE的度數(shù)為16．（2023春·九年級課時練習(xí)）弦MN把⊙O分成兩段弧,它們的度數(shù)比為4:5,如果T為劣弧MN的中點,那么∠MOT=．三、解答題17．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，四邊形ABQP內(nèi)接于⊙O，AP=BQ．求證PQ//（2）在△ABC中，AB=AC，點A在以BC為直徑的半圓內(nèi)，請你用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡），①在圖2中，作弦EF，使EF//②在圖3中，以BC為邊作一個45°的圓周角．18．（2022秋·九年級單元測試）如圖，已知圓O的弦AB與直徑CD交于點E，且CD平分AB．(1)已知AB=6，EC=2，求圓O的半徑；(2)如果DE=3EC，求弦AB所對的圓心角的度數(shù)．19．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知扇形AOB，請用尺規(guī)作圖在AB上求做一點P，使PA=PB（保留作圖痕跡，不寫作法）．20．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．(1)求證：AB=AC；(2)若BC=16，⊙O的半徑為10．求△ABC的面積．21．（2022秋·浙江紹興·九年級?？计谥校┤鐖D，MB，MD是⊙O的兩條弦，點A，C分別在MB，MD上，且AB＝CD，M是AC的中點．求證：MB＝MD．22．（2022秋·陜西西安·九年級西安益新中學(xué)?？计谀┤鐖D，AB為圓O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點E，F(xiàn)．且AC=（1）求證：OE=OF．（2）作半徑ON⊥AB于點M，若AB=8，MN=2，求OM的長．23．（2022秋·湖北武漢·九年級武漢市武珞路中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在⊙中，弦AC為2cm，弦BC為4cm，∠ACB=90°，AD=BD，OE與弦（1）求⊙O的半徑；（2）求OE的長．24．（2022秋·江蘇南通·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以邊AC上一點O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過點B（1）求⊙O的半徑；（2）點P為劣弧AB中點，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長.25．（2022春·安徽滁州·九年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E．（1）若∠A＝25°，求DE的度數(shù)；（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的長．

專題02弧、弦、圓心角考點類型知識串講（一）弧、弦、圓心角的基本概念（1）弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦．（2）弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c的弧記作，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等??；在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。（3）弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距．弦心距、半徑、弦長的關(guān)系：（考點）QUOTE半徑2（二）弧、弦、圓心角的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．考點訓(xùn)練考點1：弧、弦、圓心角的概念典例1：（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點A，O，D，點C，D，E以及點B，O，C分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】A【分析】根據(jù)弦的定義進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有BC，CE共2條．故選：A．【點睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·七年級單元測試）下列說法中，不正確的是（

）A．直徑是最長的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等C．長度相等的弧是等弧 D．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱【答案】C【分析】根據(jù)弦的定義、中心對稱圖形和軸對稱圖形定義、等弧定義可得答案．【詳解】A、直徑是最長的弦，說法正確，故A選項不符合題意；B、同圓中，所有的半徑都相等，說法正確，故B選項不符合題意；C、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，說法錯誤，故C選項符合題意；D、圓既是軸對稱圖形又是中心對稱，說法正確，故D選項不符合題意；故選：C【點睛】此題主要考查了圓的認(rèn)識，掌握在同圓或等圓中，能重合的弧叫等弧，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓外一點，則下列說法正確的是（

）A．∠BOC是圓心角B．AC是⊙O的弦 C．∠C是圓周角D．AC+OC<【答案】A【分析】根據(jù)圓心角、圓周角、弦的概念以及三角形的三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】A、頂點在圓心的角叫圓心角，故∠BOC是圓心角，故A選項符合題意；B、弦是連接圓上任意兩點的線段，故AC不是⊙O的弦，故B選項不符合題意；C、頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫圓周角，故∠C不是圓周角，故C選項不符合題意；D、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AC+OC>AO=1故選：A【點睛】本題考查了圓心角、圓周角、弦的概念以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念并靈活運(yùn)用．【變式3】（2022秋·九年級單元測試）下列圖形中的角是圓心角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)圓心角的定義作答即可．【詳解】解：圓心角的定義：圓心角的頂點必在圓心上，所以選項A符合題意，選項B，C，D不合題意．故選：A．【點睛】本題考查的是圓心角的定義，正確掌握圓心角的定義是解題的關(guān)鍵．考點2：弧、弦、圓心角——求角度典例2：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，點A是CB中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+【答案】B【分析】直接利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得出各線段、角的關(guān)系即可解答．【詳解】解：A、∵點A是CB中點，∴AB=∴AB=AC，無法得出AB=OC，故選項A錯誤；B、如圖：連接BO，∵AB=∴∠BOA=∠AOC，∵BO=AO=CO，∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此選項正確；C、∵AB=AC，∴BC≠2AC，故選項C錯誤；D、無法得出∠BAC+1故選：B．

【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，正確把握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，在兩個同心圓中，AB為60°，則CD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】求出∠AOB=60°，可得結(jié)論．【詳解】解：∵AB的度數(shù)為60°，∴∠AOB=60°，∴CD的度數(shù)為60°，故選D．【點睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解圓心角的度數(shù)與所對的弧的度數(shù)相等．【變式2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑BC=CD=DE，若∠COD=35°，則

A．35° B．55° C．75° D．95°【答案】C【分析】根據(jù)同圓中等弧所對的圓心角相等得到∠DOE=∠BOC=∠COD=35°，再根據(jù)平角的定義求出∠AOE的度數(shù)即可．【詳解】解：∵BC=CD=∴∠DOE=∠BOC=∠COD=35°，∴∠AOE=180°?∠DOE?∠BOC?∠COD=75°，故選C．【點睛】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系，熟知同圓中等弧所對的圓心角相等是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知弦AB把圓周分成1:3兩部分，則弦AB所對圓心角的度數(shù)為（

）A．90° B．270° C．90°或270° D．45°或135°【答案】C【分析】分優(yōu)弧，劣弧兩種情況，求解即可．【詳解】解：∵弦AB把圓周分成1:3兩部分，∴劣弧AB的度數(shù)為：360°×14=90°優(yōu)弧AB的度數(shù)為：360°×34=270°∴弦AB所對圓心角的度數(shù)為90°或270°；故選C．【點睛】本題考查弦，弧，角之間的關(guān)系．注意弦分弧為優(yōu)弧和劣弧兩種情況．考點3：弧、弦、圓心角——求線段典例3：（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，進(jìn)而得到CD=2CG=8，再證明BE=CD，則【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵點B是CD的中點，AB是⊙O的直徑，∴AB⊥CD，BC=∴CD=2CG，∵AB=10，∴OC=OB=1∵BG=2，∴OG=3，在Rt△COG中，由勾股定理得CG=∴CD=2CG=8，∵點C是BE的中點，∴BC=∴BC=∴BE=∴BE=CD=8，故選D．

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關(guān)系，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·江蘇·模擬預(yù)測）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長為8，C為折疊后AB的中點，則OC長為（

）A．2 B．3 C．1 D．2【答案】C【分析】延長OC交⊙O于點D，交AB于點E，連接OA、OB、AC、BC，根據(jù)圓心角、弧、弦、的關(guān)系由AC=BC得到AC=BC，可以判斷OC是AB的垂直平分線，則AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用點C和點D關(guān)于AB對稱得出CE=2，最后計算【詳解】解：延長OC交⊙O于點D，交AB于點E，連接OA、OB、AC、BC，如圖，∵C為折疊后AB的中點，∴AC=∴AC=BC，∵OA=OB，∴OC是AB的垂直平分線，∴AE=BE=1在Rt△AOE中，OE=∴DE=OD?OE=5?3=2，∵ADB沿AB折疊得到ACB，CD⊥AB，∴點C和點D關(guān)于AB對稱，∴CE=DE=2，∴OC=OE?CE=3?2=1，故選C【點睛】本題主要考查了圖形的折疊變換，圓的對稱性，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性及折疊前后的對應(yīng)關(guān)系．【變式2】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE=2，⊙O的直徑為10，則AC長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理求出DE=EF，AD=AF，求出ADC=DAF，求出AC=DF，求出【詳解】解：連接OF，如圖：∵DE⊥AB，AB過圓心O，∴DE=EF，AD=∵D為弧AC的中點，∴AD=∴ADC=∴AC=DF，∵⊙O的直徑為10，∴OF=OA=5，∵AE=2，∴OE=OA?AE=5?2=3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=O∴DE=EF=4，∴AC=DF=DE+EF=4+4=8，故選：D．【點睛】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，是中考常見題目．【變式3】（2021秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為圓O的直徑，B為劣弧CD中點，∠A=22.5°,AB=16，則CD的長為（

）A．82 B．42 C．8【答案】A【分析】連接OC，設(shè)AB與CD交于點E，可得AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理可得CD=2CE，再由∠A=22.5°,AB=16，可得△COE是等腰直角三角形，從而得到OE=CE=42【詳解】解：如圖，連接OC，設(shè)AB與CD交于點E，∵B為劣弧CD中點，∴AB⊥CD，∴CD=2CE，∵∠A=22.5°,AB=16，∴∠BOC=45°,OA=OB=OC=8，∴△COE是等腰直角三角形，∴OE=CE=42∴CD=2CE=82故選：A【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識點，能求出CE=OE是解此題的關(guān)鍵．考點4：弧、弦、圓心角——證明題典例4：（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學(xué)校考期中）如圖，在⊙O中，∠AOB=∠COD，證明AC=

【答案】見解析【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOD，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系證明即可．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，∴AC=【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，學(xué)生掌握運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力是關(guān)鍵．【變式1】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作⊙O交AB于D，交AC于E，連接DE．試判斷BD，DE，EC之間的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】BD=DE=EC，理由見解析【分析】連接OD，OE．根據(jù)題意得出△BOD與△COE都是等邊三角形，繼而得出∠BOD=【詳解】解：BD=DE=EC．理由如下：如圖，連接OD，OE．∵OB=OD=OE=OC，∠B=∴△BOD與△COE都是等邊三角形．∴∠∴∠∴∠∴BD=DE=EC．【點睛】本題考查了在同圓中，相等的圓心角所對的弦相等，連接OD，OE，構(gòu)造弦所對的圓心角是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·九年級單元測試）如圖，已知⊙O的半徑OA，OB，C在AB?上，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E，且CD=CE，求證：AC

【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得∠AOC=∠BOC，然后根據(jù)弧、弦和圓心角的關(guān)系證明即可．【詳解】證明：∵CD=CE，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOC=∠BOC，∴AC=【點睛】本題主要考查了角平分線的判定定理以及弧、弦和圓心角的關(guān)系等知識，準(zhǔn)確證明∠AOC=∠BOC是解題關(guān)鍵．【變式3】（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD．

(1)求證：BE=CE；(2)若AE=1，CE=3，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）作OM⊥AB于點M，作ON⊥CD于點N，證明四邊形OMEN為矩形，可得AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，可得OM=ON，證明四邊形OMEN是正方形，可得OM=ME=EN．證明BM=CN，從而可得結(jié)論；（2）連接OA，求解AB=AE+BE=4，可得AM=12AB=2【詳解】（1）證明：作OM⊥AB于點M，作ON⊥CD于點N，又∵AB⊥CD，∴四邊形OMEN為矩形，∵AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴四邊形OMEN是正方形，∴OM=ME=EN．∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴BM=12AB又∵AB=CD，∴BM=CN，∴BM+ME=CN+NE即BE=CE．（2）連接OA，

由（1）可知BE=CE=3，∴AB=AE+BE=1+3=4，∵OM⊥AB，∴AM=1∴EM=AM?BE=1，∴OM=ME=1．在Rt△AMO中，OA=∴⊙O的半徑為5．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形，正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，弦，弧，弦心距之間的關(guān)系，熟記圓的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.考點5：弧、弦、圓心角——比較問題典例5：（2021·甘肅·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB?=BC?=CD?，連接AC，CDA．AC=2CD B．AC<2CDC．AC>2CD D．無法比較【答案】B【分析】連接AB，BC，根據(jù)AB=BC=【詳解】解：連接AB，BC，如圖，∵AB∴AB=BC=CD又AB+BC>AC∴AC<2CD故選：B【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，弧、弦的關(guān)系等知識，熟練掌握上述知識是解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2020秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為半圓O的直徑，C是AB的中點，D是BC的中點，在AC上取一點M，BC上取一點N，使得∠AMN＝110°，則下列說法正確的是（）A．點N在CD上，且NC＞ND B．點N在CD上，且NC＜NDC．點N在BD上，且ND＞NB D．點N在BD上，且ND＜NB【答案】D【分析】連接MD，如圖，先計算出∠BOD＝45°，則∠OBD＝67.5°，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AMD＝112.5°，則利用∠AMN＝110°可判斷點N在BD上，然后計算∠DON＝5°，∠BON＝40°得到BN＞DN，則可判斷BN＞DN．【詳解】解：連接MD，OD、ON、BD，如圖，∵C是AB的中點，D是BC的中點，∴∠BOD＝12∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝12∴∠AMD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣67.5°＝112.5°，∵∠AMN＝110°，∴點N在BD上，∵∠DMN＝∠AMD﹣∠AMN＝2.5°，∴∠DON＝2∠DMN＝2×2.5°＝5°，∴∠BON＝40°，∴BN＞DN，∴BN＞DN．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系．【變式2】（2022春·九年級課時練習(xí)）在同圓中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小關(guān)系是（

）A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．無法比較它們的大小【答案】C【分析】作AB的中點E，連接AE、BE，則AE=BE，根據(jù)題意，得出AE=BE=【詳解】解：如圖，作AB的中點E，連接AE、BE，則AE=∵AB=2∴AE=∴AE=BE=CD，在△ABE中，∵AE+BE>AB，∴AB<2CD，故選項C正確．故選：C【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、三角形的三邊關(guān)系及應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想．【變式3】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，AB=2CD，則（A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．AB與2CD大小無法比較【答案】C【分析】如圖,取弧AB的中點E,利用AB=2CD,得到【詳解】如圖,取AB的中點E,連結(jié)AE，BE，則AE=因為AB=2CD，所以，AE=在ΔAEB中，AE+EB>AB，所以AB<2CD，故選C.【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.也考查了三角形三邊的關(guān)系.考點6：弧、弦、圓心角——綜合題典例6：（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，C、D是AB上兩點，過點D作DE∥OC交OB于E點，在OD上取點F，使OF=DE，連接CF并延長交OB于(1)求證：△OCF≌△DOE；(2)若C、D是AB的三等分點，OA=23①求∠OGC；②請比較GE和BE的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行線得出∠COD=∠ODE，再用SAS證△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分點，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形內(nèi)角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求得OG=3，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以O(shè)E=CF=OF=2，即可求得GE=2?3，【詳解】（1）解：∵DEOC，∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；（2）解：①∵C、D是AB的三等分點，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵OA=OC=OB=23∴OG=3又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴GE=OE?OG=2?3，BE=OB?OE=2∵BE－∴BE＞GE．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓心角、弧之間的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，進(jìn)而求得∠OGC=90°是解題詞的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·陜西西安·九年級交大附中分校?？计谀┤鐖D，AB是O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于O，OD交AC于點E，AD=CD．(1)求證：OD∥BC；(2)若AC=12，DE=4，求BC的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）由AD=CD可得AD=CD，根據(jù)垂徑定理的推論可得OD⊥AC，AE=CE，由三角形中位線定理即可判定（2）由垂徑定理可得AE=CE=12AC=6，再用勾股定理解Rt△AOE求出【詳解】（1）證明：∵AD=CD，∴AD=又∵OD是半徑，∴OD⊥AC，AE=CE，又∵OA=OB，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥BC，∴OD∥（2）解：∵AC=12，DE=4，∴AE=CE=12AC=6又∵在Rt△AOE中，A∴62解得OE=5由（1）知OE=1∴BC=2OE=5．【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理等，求解方法不唯一，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識點，利用勾股定理解Rt△AOE【變式2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，∠AOB=90°，且C，D是AB的三等分點，AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn)．求證：AE=BF=CD．【答案】見解析【分析】連接AC，BD，根據(jù)C，D是AB的三等分點，得出AC=CD=BD，得出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由OA=OB，∠【詳解】證明：如圖，連接AC，BD．∵C，D是AB的三等分點，∴AC=∴AC=CD=BD，∠AOC=又∵∠∴∠∵OA=OB，∠AOB=90°∴∠∴∠∵OA=OC，∠AOC=30°∴∠ACE=12∴AE=AC．同理可得BF=BD．∴AE=BF=CD．【點睛】本題考查了弧與弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握弧與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·安徽淮南·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是半⊙O的三等分點，CE⊥AB于點E，求∠ACE的度數(shù)并指出AC與OD【答案】∠ACE=30°；【分析】連接OC，根據(jù)題意得出∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，進(jìn)而得出△AOC是等邊三角形，則∠A=60°，由【詳解】解：如圖，連接OC．∵AB是直徑，AC?∴∠∵OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠∵CE⊥OA，∴∠∴∠∵△AOC是等邊三角形，∴AC=OC=OD．【點睛】本題考查了弧與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，得出∠AOC=同步過關(guān)一、單選題1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，半圓O的直徑AB為15，弦BC為9，弦BD平分∠ABC，則BD的長是（

）A．12 B．55 C．65 D．9【答案】C【分析】連接OD，OC，作DF⊥AB于F，OE⊥BC于E，由BD是角平分線，可得∠DOA=∠OBC，可證△BOE≌△ODF(AAS)，可求OF=BE=12BC，BF=OF+OB，在Rt△DOF中，由勾股定理DF=6（cm），在Rt△BDF中，BD=65【詳解】解：連接OD，OC，作DF⊥AB于F，OE⊥BC于E，∵∠CBD=∠ABD（角平分線的性質(zhì)），∴CD=∴∠DOA=∠OBC=2∠ABD，∴△BOE≌△ODF(AAS)，∴OF=BE=12∴BF=OF+OB=7.5+4.5=12（cm），在Rt△DOF中，DF=OD在Rt△BDF中，BD=DF2+B故選C．【點睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)；.勾股定理．掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)；.勾股定理．關(guān)鍵是引輔助線構(gòu)造準(zhǔn)確圖形．2．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在⊙O中，AB=BC，點D在⊙O上，∠CDB=25°，則∠AOB=（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【詳解】試題分析：連接OC，根據(jù)同弧所對的圓心角的度數(shù)等于圓周角度數(shù)的兩倍可得：∠BOC=2∠CDB=50°，根據(jù)AB=BC可得：∠AOB=∠BOC=50°．故選B．3．（2023春·九年級課時練習(xí)）下列說法正確的是（）A．相等的弦所對的弧相等 B．相等的圓心角所對的弧相等C．相等的弧所對的弦相等 D．相等的弦所對的圓心角相等【答案】C【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等對各選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，所以A選項不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所以B選項不符合題意；C、相等的弧所對的弦相等，所以C選項符合題意；D、在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所以D選項不符合題意．故選C．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．4．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）下列說法中，正確的是（

）A．弧是半圓 B．長度相等的弧是等弧C．在圓中直角所對的弦是直徑 D．任意一個三角形有且只有一個外接圓【答案】D【分析】根據(jù)弦、直徑、弧、半圓的概念一一判斷即可．【詳解】解：A、錯誤，弧是圓上兩點間的部分，不符合題意；B、如圖，弧AB和弧CD長度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本選項錯誤，不符合題意；C、在圓中，圓周角所對的弦才是直徑，并不是所有的直角所對的弦都是直徑，故本選項錯誤，不符合題意；D、任意一個三角形有且只有一個外接圓，故本選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查圓的基本知識，解題的關(guān)鍵是記住弦、弧、半圓、直徑等一個概念，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．5．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3．點P為ΔABC內(nèi)一點，且滿足PA2+PC2=ACA．3 B．33 C．334【答案】D【分析】由題意知∠APC=90°，又AC長度一定，則點P的運(yùn)動軌跡是以AC中點O為圓心，12AC長為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點共線時，BP最短；在RtΔBCO中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點P是BO的中點，由線段長度即可得到ΔPCO是等邊三角形，利用特殊【詳解】解：∵P∴∠APC=90°取AC中點O，并以O(shè)為圓心，12由題意知：當(dāng)B、P、O三點共線時，BP最短∴AO=PO=CO∵CO=∴BO=∴BP=BO?PO=∴點P是BO的中點∴在RtΔBCO中，CP=∴ΔPCO是等邊三角形∴∠ACP=60°∴在RtΔAPC中，AP=CP×∴S【點睛】本題主要考查動點的線段最值問題、點與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動點P的運(yùn)動軌跡，即隱形圓．6．（2022秋·九年級單元測試）下列說法正確的是（

）A．相等的圓心角所對的弧相等 B．平分弦的直徑垂直弦并平分弦所對的弧C．相等的弦所對的圓心角相等 D．等弧所對的弦相等【答案】D【分析】由圓心角、弧、弦的關(guān)系，可知等弧所對的弦相等；由垂徑定理的推論可知：平分（非直徑的）弦的直徑垂直弦并平分弦所對的??；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；注意不要少條件：在同圓或等圓中.【詳解】A，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；故本選項錯誤.B，平分(非直徑的)弦的直徑垂直弦并平分弦所對的??；故本選項錯誤；C，在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等；故本選項錯誤；D，等弧所對的弦相等；故本選項正確；故選:D【點睛】此題考查垂徑定理及其推論，與圓心角、弧、弦的關(guān)系的結(jié)合運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握相關(guān)概念.7．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知⊙O的直徑CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM=2，則AB的長為（

）A．2 B．23 C．4 D．【答案】D【分析】連接OB，根據(jù)勾股定理計算BM=23【詳解】連接OB，∵直徑CD=8，AB⊥CD，OM=2∴BM=O=4=23根據(jù)垂徑定理，得AB=2BM=43故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握連接半徑構(gòu)造直角三角形，靈活運(yùn)用垂徑定理和勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）下列圖形中的角，是圓心角的為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心角的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；B、頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；C、是圓心角，故本選項符合題意；D、頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了圓心角的定義，能熟記圓心角的定義（頂點在圓心上，并且兩邊與圓相交的角，叫圓心角）是解此題的關(guān)鍵．9．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四點，OC，OD交AB于點E，F(xiàn)，且AE＝FB，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB【答案】C【分析】連接OA，OB，可以利用SAS判定△OAE≌△OBF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得到OE=OF，判斷A選項正確；由全等三角形的對應(yīng)角相等，可得到∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得出AC=BD，判斷B選項正確；連結(jié)AD，由AC=BD，根據(jù)圓周角定理得出∠BAD=∠ADC，則CD∥AB，判斷D選項正確；由∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，得出AC=BD不一定等于CD那么AC=【詳解】連接OA，OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．在△OAE與△OBF中，OA=OB∠OAE=∠OBF∴△OAE≌△OBF（SAS），∴OE=OF，故A選項正確；∠AOE=∠BOF，即∠AOC=∠BOD，∴AC=連結(jié)AD,∵AC=∴∠BAD=∠ADC，∴CD∥AB，故D選項正確；∵∠BOD=∠AOC不一定等于∠COD，∴AC=BD不一定等于∴AC=BD不一定等于CD，故C選項不正確，故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，圓周角定理，平行線的判定，準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．10．（2023·九年級課時練習(xí)）在⊙O中，M為AB的中點，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB與2AM的大小不能確定【答案】C【分析】根據(jù)題意可畫出示意圖，連接AM、BM，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可畫出示意圖，連接AM、BM.∵點M是AB的中點，∴AM=BM，∴AM=BM.∵在△ABM中，AB＜AM+BM，∴AB＜2AM.故選C.【點睛】本題考查圓中弧與弦的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系，作出示意圖分析是解決此問題的好辦法.二、填空題11．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，則弧AD的度數(shù)為．【答案】56°【分析】連接CD，利用互余計算出∠A＝62°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和180°定理，計算∠ACD＝56°即可．【詳解】解：連結(jié)CD．∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣∠B＝62°，∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝62°，∴∠ACD＝56°，∴弧AD的度數(shù)為56°，故答案為56°．【點睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·陜西安康·九年級漢濱高中?？计谥校┤鐖D，在條件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③點E分別是AO、CD的中點；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四邊形OCAD是菱形的條件有個．【答案】4．【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案.【詳解】解：①中，可以發(fā)現(xiàn)兩個等邊三角形，然后證明出其四邊都相等；②中，同①的證明方法；③中，根據(jù)垂徑定理的推論證明垂直，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可證明；④中，發(fā)現(xiàn)一個等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形的三線合一，證明對角線互相垂直平分．故有4個．【點睛】本題考查的是菱形的判定，菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．13．（2022秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，∠A=40°，⊙O截ΔABC三邊所得的線段相等，那么∠BOC的度數(shù)是．【答案】110【分析】如圖，DE=FG=MN，作OK⊥DE于K，OH⊥FG于H，OP⊥MN于P，連接OB、OC，利用圓心角、弧、弦和弦心距的關(guān)系可得到OK=OH=OP，則根據(jù)角平分線定理的逆定理得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠BOC得度數(shù).【詳解】解：如圖，DE=FG=MN，作OK⊥DE于K，OH⊥FG于H，OP⊥MN于P，連接OB、OC，∵DE=FG=MN，∴OK=OH=OP∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB=180°－40°＝140°∴∠OBC＋∠OCB＝12（∠ABC+∠ACB）=1∴∠BOC＝180°－70°＝110°故答案為：110°【點睛】本題考查圓心角、弧、弦和弦心距的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識求得1214．（2022秋·甘肅慶陽·九年級?？计谀┤鐖D，AB為⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB于點P，若AB＝4，OP＝1，則弦CD所對的圓周角等于度．【答案】60或120．【分析】先確定弦CD所對的圓周角∠CBD和∠CAD兩個，再利用圓的相關(guān)性質(zhì)及菱形的判定證四邊形ODBC是菱形，推出∠CBD=2∠CAD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可分別求出∠CBD和∠CAD的度數(shù)．【詳解】如圖，連接OC，OD，BC，BD，AC，AD，∵AB為⊙O的直徑，AB＝4，∴OB＝2，又∵OP＝1，∴BP＝1，∵CD⊥AB，∴CD垂直平分OB，∴CO＝CB，DO＝DB，又OC＝OD，∴OC＝CB＝DB＝OD，∴四邊形ODBC是菱形，∴∠COD＝∠CBD，∵∠COD＝2∠CAD，∴∠CBD＝2∠CAD，又∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBD＝120°，∵弦CD所對的圓周角有∠CAD和∠CBD兩個，故答案為：60或120．【點睛】本題考查了圓周角的度數(shù)問題，掌握圓的有關(guān)性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·九年級課時練習(xí)）666666如圖，已知AB,CD是⊙O的直徑，CE是弦，且AB∥CE,∠C=350，則BE的度數(shù)為【答案】35°【詳解】試題解析：∵AB∥CE∴∠DOB=∠C=35°∵OC=OE∴∠COE=180°-35°×2=110°∴∠BOE=180°-110°-35°=35°∴BE的度數(shù)為35°.16．（2023春·九年級課時練習(xí)）弦MN把⊙O分成兩段弧,它們的度數(shù)比為4:5,如果T為劣弧MN的中點,那么∠MOT=．【答案】80°【分析】先根據(jù)題意求得劣弧MN的圓心角∠MON=160°，再根據(jù)圓心角的定理可得∠MOT=12【詳解】解：∵弦MN把⊙O分成兩段弧,它們的度數(shù)比為4:5，∴劣弧MN的圓心角∠MON=49又∵T為劣弧MN的中點，∴∠MOT=12故答案為80°.【點睛】本題主要考查圓周角定理，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.三、解答題17．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，四邊形ABQP內(nèi)接于⊙O，AP=BQ．求證PQ//（2）在△ABC中，AB=AC，點A在以BC為直徑的半圓內(nèi)，請你用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡），①在圖2中，作弦EF，使EF//②在圖3中，以BC為邊作一個45°的圓周角．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解【分析】（1）連接AQ，證明∠AQP＝∠QAB即可；（2）①延長CA交⊙O于E，延長BA交⊙O于F，連接EF，線段EF即為所求；②在（1）基礎(chǔ)上分別延長BF、CE，它們相交于M，則連接AM交半圓于D，然后證明MA⊥BC，從而根據(jù)圓周角定理可判斷∠DBC＝45°．【詳解】（1）證明：連接AQ．∵AP＝BQ，∴AP=∴∠AQP＝∠QAB，∴PQ∥AB；（2）解：①如圖，線段EF即為所求．②如圖，∠DBC即為所求．【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．18．（2022秋·九年級單元測試）如圖，已知圓O的弦AB與直徑CD交于點E，且CD平分AB．(1)已知AB=6，EC=2，求圓O的半徑；(2)如果DE=3EC，求弦AB所對的圓心角的度數(shù)．【答案】(1)13(2)120°【分析】（1）連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OE=r?2，先根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=3，CD⊥AB，在Rt△OAE中利用勾股定理得到3（2）連接OB，如圖，先利用DE=3EC得到OE=CE，即OE=12OA，再利用正弦的定義得到∠A=30°【詳解】（1）解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OE=r?2，∵CD平分AB，∴AE=BE=3，CD⊥AB，在Rt△OAE中，3解得r=13即⊙O的半徑為134（2）解：連接OB，如圖，∵DE=3EC，∴OC+OE=3EC，即OE+CE+OE=3CE，∴OE=CE，∴OE=1在Rt△OAE中，∵∴∠A=30°，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=180°?∠A?∠B=120°，即弦AB所對的圓心角的度數(shù)為120°．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和勾股定理．19．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知扇形AOB，請用尺規(guī)作圖在AB上求做一點P，使PA=PB（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】作∠AOB的角平分線交AB于P，則AP=BP，即知PA=PB，【詳解】解：以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交OA，OB于兩點，再以兩點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧交于一點，連接該點與點O交AB于P，即：作∠AOB的角平分線交AB于P，∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP，∴AP=∴PA=PB，即：該點P即為所求．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖——作角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握作角平分線的方法．也考查了弦與圓心角、弧的關(guān)系．20．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．(1)求證：AB=AC；(2)若BC=16，⊙O的半徑為10．求△ABC的面積．【答案】(1)見解析(2)128【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得AB=（2）連接OB，勾股定理求得OD，繼而得出AD，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，∴AB=∴AB=AC；（2）如圖，連接OB，∵AD⊥BC，∴BD=1∵⊙O的半徑為10．∴BO=10，在Rt△OBD中，BO=10,BD=8∴OD=O∴AD=AO+OD=10+6=16，∴S△ABC【點睛】本題考查了垂徑定理，弧與弦的關(guān)系，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·浙江紹興·九年級?？计谥校┤鐖D，MB，MD是⊙O的兩條弦，點A，C分別在MB，MD上，且AB＝CD，M是AC的中點．求證：MB＝MD．【答案】見解析．【分析】首先由點M