滬科版九年級數(shù)學上冊舉一反三專題21.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】特訓(原卷版+解析)

專題21.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】 2【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 3【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 4【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 6【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 7【知識點1】當題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設為一般式（，，為常數(shù)，），轉化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值.【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐標系畫出這條拋物線；（3）直接寫出，當x取什么值時，y＞0？【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個二次函數(shù)的解析式．【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過（2，0），（4，2）兩點．求這個二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點．【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點P（m，0）．（1）求m的值；（2）求這個二次函數(shù)解析式；（3）求y1大于y2時，x的取值范圍．【知識點2】若已知拋物線的頂點或對稱軸、最值，則設為頂點式．這頂點坐標為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當x=h時，y最值=k來求出相應的系數(shù).【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求該圖象的頂點坐標；（3）觀察圖象，當y＞0時，求自變量x的取值范圍．【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點坐標是（﹣1，9），與x軸兩交點間的距離是6．求拋物線解析式．【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，當﹣2＜x≤1時，y的取值范圍為.（直接寫出答案）【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．【知識點3】已知圖像與x軸交于不同的兩點，設二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且圖象經(jīng)過點C（0，﹣3），求這個二次函數(shù)的解析式．【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點為D．（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求點D的坐標及△ABD的面積．【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標M的坐標．（2）求直線CM的解析式．【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點，求此函數(shù)的解析式．【知識點4】將一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當圖像向左（右）平移n個單位時，就在x–h上加上（減去）n；當圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負，右、左移；k值正負，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點（1）求該拋物線和直線AB的解析式；（2）平移拋物線N，求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式：①平移后拋物線的頂點在直線AB上；②設平移后拋物線與y軸交于點C，如果S△ABC＝3S△ABO．【變式4-1】（（2022秋?河東區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．（1）求拋物線的頂點坐標，對稱軸；（2）當x＝時，y隨x的增大而減?。唬?）若將拋物線進行平移，使它經(jīng)過原點，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點A，拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合．（1）求平移后的拋物線C的解析式；（2）若點B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且?12＜x1＜x2，試比較y1，【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應的拋物線解析式．【知識點5】根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線W1的表達式；（2）將拋物線W1繞原點O旋轉180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，點M為W2上的一點，當△D'DM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標．【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關于原點成中心對稱的拋物線的解析式．【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）觀察圖象，當﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為；（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達式為．【變式5-3】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線L：y＝ax2﹣2x﹣3a與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C，點D為拋物線L的頂點，拋物線L′與L關于y軸對稱．（1）求拋物線L的表達式；（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PBC的面積等于四邊形OCDB的面積？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．【知識點6】此類題目只給出一些條件，只需寫出滿足此條件的解析式，所以他的答案并不唯一．【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】【例6】（2022?林州市一模）已知二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是y軸，且圖象不經(jīng)過原點，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)解析式．【變式6-1】（2022?虹口區(qū)二模）請寫出一個圖象的對稱軸為y軸，開口向下，且經(jīng)過點（1，﹣2）的二次函數(shù)解析式，這個二次函數(shù)的解析式可以是．【變式6-2】（2022秋?二道江區(qū)校級月考）老師給出一個二次函數(shù)，甲，乙，丙三位同學各指出這個函數(shù)的一個性質：甲：函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；乙：當x＜2時，y隨x的增大而減小，當x＞2時，y隨x的增大而增大；丙：函數(shù)的圖象與坐標軸只有兩個交點；已知這三位同學敘述都正確，請構造出滿足上述所有性質的一個函數(shù)．【變式6-3】（2022?徐匯區(qū)模擬）定義：將兩個不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離稱為這兩個函數(shù)的“和諧值”．如果拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與拋物線y＝（x﹣1）2+1的“和諧值”為2，試寫出一個符合條件的函數(shù)解析式：．專題21.10二次函數(shù)解析式的確定【六大題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】 1【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】 5【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】 8【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】 10【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】 14【題型6二次函數(shù)解析式的確定（條件開放性）】 18【知識點1】當題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設為一般式（，，為常數(shù)，），轉化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值.【題型1利用一般式確定二次函數(shù)解析式】【例1】（2022秋?閩侯縣期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的x，y滿足下表：x…﹣1012345…y…3.51﹣0.5﹣1﹣0.513.5…（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）利用上表，在平面直角坐標系畫出這條拋物線；（3）直接寫出，當x取什么值時，y＞0？【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．（2）描點、連線畫出圖象即可；（3）令y＝0，解方程求得拋物線與x軸交點的橫坐標，根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）由已知可得，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（2，﹣1），（0，1），（4，1）則4a+2b+c=?1c=1解得：a=1∴二次函數(shù)解析式為y=12x2﹣2（2）用描點法畫出函數(shù)圖象，如圖所示：（3）令y＝0，則12x2﹣2x解得：x1＝2?2，x2＝2+由圖象知，當x＞2+2或x＜2?2時，【變式1-1】（2022秋?淮安區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)的圖象過（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求這個二次函數(shù)的解析式．【分析】先設所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），再把（﹣1，10）、（1，4）、（0，3）代入函數(shù)解析式，得到關于a、b、c的三元一次方程組，解即可求a、b、c，進而可得函數(shù)解析式．【解答】解：設所求二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)題意，得a?b+c=10a+b+c=4解得a=4b=?3∴所求二次函數(shù)解析式為y＝4x2﹣3x+3．【變式1-2】（2022秋?大連期末）二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過（2，0），（4，2）兩點．求這個二次函數(shù)的解析式并寫出圖象的對稱軸和頂點．【分析】把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，可得二元一次方程組4+2b+c=0①16+4b+c=2②，解二元一次方程組可得b=?5c=6，即可求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的公式x=?b2a，頂點坐標公式(?b2a，【解答】解：把（2，0），（4，2）代入y＝x2+bx+c中，得4+2b+c=0①16+4b+c=2②②﹣①，得2b＝﹣10，解得：b＝﹣5，把b＝5代入①中，得4+2×（﹣5）+c＝0，解得：c＝6，∴b=?5c=6∴這個二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，∴二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6對稱軸是直線x=?b由二次函數(shù)的頂點坐標公式（?b2a，二次函數(shù)y＝x2﹣5x+6頂點坐標：x=?b2a=5即（52【變式1-3】（2022秋?上城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，過（1，﹣32），在x＝﹣2時取到最大值，且二次函數(shù)的圖象與直線y2＝x+1交于點P（m，0）．（1）求m的值；（2）求這個二次函數(shù)解析式；（3）求y1大于y2時，x的取值范圍．【分析】（1）將（m，0）代入直線解析式求解．（2）根據(jù)拋物線對稱軸為直線x＝﹣2可得a與b的關系，再將（﹣1，0），（1，﹣32）代入拋物線解析式求解．（3）聯(lián)立兩方程，根據(jù)圖象交點橫坐標求解．【解答】解：（1）將（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1，解得m＝﹣1．（2）由題意可得拋物線對稱軸為直線x=?b∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c，把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得?32=a解得a=?4∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12．（3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1，解得x＝﹣1或x=?13∴拋物線與直線交點橫縱標為﹣1和?13如圖，∴?134＜x＜﹣1時，y1【知識點2】若已知拋物線的頂點或對稱軸、最值，則設為頂點式．這頂點坐標為（h，k），對稱軸直線x=h，最值為當x=h時，y最值=k來求出相應的系數(shù).【題型2利用頂點式確定二次函數(shù)解析式】【例2】（2022秋?長汀縣校級月考）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求該圖象的頂點坐標；（3）觀察圖象，當y＞0時，求自變量x的取值范圍．【分析】（1）由對稱軸為直線x＝﹣1，可設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，再通過待定系數(shù)法求解．（2）由拋物線頂點式求解．（3）根據(jù)拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一交點坐標，進而求解．【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+k，將（﹣3，0），（0，3）代入y＝a（x+1）2+k得0=4a+k3=a+k解得a=?1k=4∴y＝﹣（x+1）2+4．（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線頂點坐標為（﹣1，4）．（3）∵拋物線經(jīng)過（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線經(jīng)過（1，0），∴﹣3＜x＜1時，y＞0．【變式2-1】（2022秋?西城區(qū)校級期中）拋物線頂點坐標是（﹣1，9），與x軸兩交點間的距離是6．求拋物線解析式．【分析】由題意設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，拋物線與x軸的交點坐標分別為（﹣4，0）或（2，0），利用待定系數(shù)法即可解決問題．【解答】解：由拋物線頂點知，拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，又與x軸交點間的距離為6，∴交點橫坐標為﹣4與2，∴兩個交點坐標分別為（﹣4，0）、（2，0），設拋物線解析式為y＝a（x+1）2+9，把點（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）2+9．【變式2-2】（2022秋?涼州區(qū)校級月考）已知某二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，當﹣2＜x≤1時，y的取值范圍為﹣4≤y≤0.（直接寫出答案）【分析】（1）根據(jù)頂點坐標設y＝a（x+1）2﹣4，直接把點（1，0）代入即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）把x＝﹣2和x＝1分別代入解析式，再根據(jù)頂點可得y的取值范圍．【解答】解：（1）∵頂點為（﹣1，﹣4），∴設二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入可得0＝a（1+1）2﹣4，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4；（2）當x＝﹣2時，y＝﹣3，當x＝1時，y＝0，∵y的最小值是﹣4，∴y的取值范圍是﹣4≤y≤0．故答案為：﹣4≤y≤0．【變式2-3】（2022秋?漢濱區(qū)校級月考）已知拋物線頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．（1）求拋物線的解析式．（2）求△ABC的面積．【分析】（1）已知了頂點C坐標，可用頂點式的二次函數(shù)通式設出這個二次函數(shù)，然后根據(jù)A點的坐標可求出二次函數(shù)的解析式；（2）先根據(jù)（1）中求出的二次函數(shù)的解析式，求出B點的坐標，然后可用待定系數(shù)法用B、A的坐標求出AB所在直線的解析式，求出對稱軸與直線AB的交點D的坐標，求三角形CAB的面積轉化為三角形BCD和三角形ACD面積之和即可．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a＝﹣1，所以y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴B點的坐標為（0，3），設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入y＝kx+b中，得3k+b=0b=3解得：k=?1b=3∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，設對稱軸直線x＝1與直線AB相交與點D，∴當x＝1時，y＝2，∴D點坐標（1，2），所以CD＝4﹣2＝2，S△CAB＝S△BCD+S△ACD=1∴△ABC的面積為3．【知識點3】已知圖像與x軸交于不同的兩點，設二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．【題型3利用兩根式確定二次函數(shù)解析式】【例3】（2022?包頭）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且圖象經(jīng)過點C（0，﹣3），求這個二次函數(shù)的解析式．【分析】設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入解析式求解．【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），∴設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）得﹣3a＝﹣3，解得a＝1．∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．【變式3-1】（2022秋?溫州校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，頂點為D．（1）求此二次函數(shù)的解析式．（2）求點D的坐標及△ABD的面積．【分析】（1）先設函數(shù)的交點式，然后將點A和點B代入函數(shù)解析式得到二次函數(shù)的一般式；（2）將二次函數(shù)的一般式化為頂點式，得到頂點D的坐標，然后求得△ABD的面積．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴此二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴點D的坐標為（1，﹣4），∴點D到AB的距離為4，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD=1【變式3-2】（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)如圖所示，M為拋物線的頂點，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標M的坐標．（2）求直線CM的解析式．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式．【解答】解：（1）設二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），將C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴頂點坐標M（2，﹣1），（2）設直線CM的解析式為y＝kx+b，將C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：b=32k+b=?1∴k=?2b=3∴y＝﹣2x+3．【變式3-3】（2022秋?廬陽區(qū)校級期中）二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三點，求此函數(shù)的解析式．【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點（﹣1，0），（3，0）可設解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點（1，﹣8）代入求得a即可．【解答】解：根據(jù)題意可設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將點（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，∴該二次函數(shù)解析式為y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．25．二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣5x+6，對稱軸是直線x=52，頂點坐標是（【知識點4】將一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng)=a(x–h)2+k，當圖像向左（右）平移n個單位時，就在x–h上加上（減去）n；當圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負，右、左移；k值正負，上下移．由于經(jīng)過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．【題型4利用平移變換確定二次函數(shù)解析式】【例4】（2022秋?宜春期末）在平面直角坐標系中，拋物線N過A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三點（1）求該拋物線和直線AB的解析式；（2）平移拋物線N，求同時滿足以下兩個條件的平移后的拋物線解析式：①平移后拋物線的頂點在直線AB上；②設平移后拋物線與y軸交于點C，如果S△ABC＝3S△ABO．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線M和直線AB的解析式；（2）先求出直線AB與y軸的交點坐標為（0，4），設平移后拋物線的頂點坐標為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，接著表示出N（0，t2+t+4），利用三角形面積公式得到12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝4×【解答】解：（1）設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）代入得a?b+c=316a+4b+c=8c=0，解得∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x；設直線AB的解析式為y＝mx+n，把A（﹣1，3），B（4，8）代入得?m+n=34m+n=8，解得m＝1，n∴直線AB的解析式為y＝x+4；（2）當x＝0時，y＝x+4＝4，則直線AB與y軸的交點坐標為（0，4），設平移后拋物線的頂點坐標為（t，t+4），則平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣t）2+t+4，當x＝0時，y＝（0﹣t）2+t+4＝t2+t+4，則C（0，t2+t+4），∵S△ABC＝3S△ABO，∴12?|t2+t+4﹣4|?（4+1）＝3×即|t2+t|＝12，方程t2+t＝﹣12沒有實數(shù)解，解方程t2+t＝12得t1＝﹣4，t2＝3，∴平移后的拋物線解析式為y＝（x+4）2或y＝（x﹣3）2+7．【變式4-1】（（2022秋?河東區(qū)校級期中）已知拋物線y＝﹣2x2+4x+3．（1）求拋物線的頂點坐標，對稱軸；（2）當x＝＞1時，y隨x的增大而減?。唬?）若將拋物線進行平移，使它經(jīng)過原點，并且在x軸上截取的線段長為4，求平移后的拋物線解析式．【分析】（1）先把解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到物線的頂點坐標，對稱軸；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質求解；（3）先設平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，再根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出平移后的拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）、（b2，0），利用兩交點間的距離可計算出b【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，所以拋物線的頂點坐標為（1，5），對稱軸為直線x＝1；（2）當x＞1時，y隨x的增大而減??；故答案為＞1；（3）因為平移后的拋物線過原點，所以設平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+bx，解方程﹣2x2+bx＝0得x1＝0，x2=所以平移后的拋物線與x軸的交點坐標為（0，0）、（b2所以|b2|＝4，解得b所以平移后的拋物線解析式為y＝﹣2x2+8x或y＝﹣2x2﹣8x．【變式4-2】（2022秋?長葛市校級月考）已知直線y＝x+1與x軸交于點A，拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合．（1）求平移后的拋物線C的解析式；（2）若點B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線C上，且?12＜x1＜x2，試比較y1，【分析】（1）求得A的坐標，然后根據(jù)平移的規(guī)律即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解．【解答】解：（1）∵直線y＝x+1與x軸交于點A，∴A（﹣1，0），∵拋物線y＝﹣2x2的頂點平移后與點A重合，∴平移后的拋物線C的解析式是y＝﹣2（x+1）2；（2）拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線開口向下，故當?12＜x1＜x2，y1＞【變式4-3】（2022秋?蕭山區(qū)月考）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）請寫出兩種一次平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y＝﹣2x上，并寫出平移后相應的拋物線解析式．【分析】（1）利用交點式得出y＝a（x﹣1）（x﹣3），進而得出a的值，再利用配方法求出頂點坐標即可；（2）把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=?1【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（1，0），B（3，0），可設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴頂點坐標（2，1）；（2）平移方法有：①向下平移5個單位，得到：y＝﹣x2+4x﹣8，把x＝2代入y＝﹣2x得出y＝﹣4，∵頂點坐標（2，1）；∴向下平移5個單位，拋物線的頂點為（2，﹣4）；②向左平移2.5個單位，得到：y＝﹣（x+0.5）2+1，把y＝1代入y＝﹣2x得出y=?1∴向左平移2.5個單位，拋物線的頂點為（?1【知識點5】根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此|a|永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．【題型5利用對稱變換確定二次函數(shù)解析式】【例5】（2022?蓮湖區(qū)二模）已知拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點與y軸交于點C，頂點為D．（1）求拋物線W1的表達式；（2）將拋物線W1繞原點O旋轉180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，點M為W2上的一點，當△D'DM的面積等于△ABC的面積時，求點M的坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解得即可；（2）由題意求得拋物線W2的頂點坐標和解析式，在坐標系中畫出拋物線W2的圖象，利用待定系數(shù)法求得直線DD′的解析式，過點M作MN∥x軸，交DD′于N，利用S△DD′M＝S△MND′+S△MND，用m的代數(shù)式表示出S△DD′M，利用已知條件列出m的方程，解方程即可求得結論．【解答】解：（1）∵拋物線W1：y＝ax2﹣bx﹣3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，∴a+b?3=09a?3b?3=0解得：a=1b=2∴拋物線W1的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵將拋物線W1繞原點O旋轉180°后得到拋物線W2，W2的頂點為D'，∴D′（﹣1，4），∴拋物線W2的解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．如圖，在坐標系中畫出拋物線W2的圖象，當x＝0時，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABC=1過點M作MN∥x軸，交DD′于N，∵D（1，﹣4），D′（﹣1，4），∴直線DD′為y＝﹣4x，設點M（m，﹣m2﹣2m+3），則N（m2+2m?34，﹣m2∴MN=m2+2m?3∴S△DD′M=12×m2?2m?3∵△D'DM的面積等于△ABC的面積，∴m2﹣2m﹣3＝6．解得：m＝1±10．當m＝1+10時，﹣m2﹣2m+3＝﹣410當m＝1?10時，﹣m2﹣2m+3＝410∴M（1+10，﹣410?10）或（1?10【變式5-1】（2022秋?淮南月考）已知拋物線y＝x2+2x﹣1，求與這條拋物線關于原點成中心對稱的拋物線的解析式．【分析】求出頂點坐標關于原點對稱的坐標，然后利用頂點式解析式寫出，再整理成一般形式即可．【解答】解：拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．所以其頂點（﹣1，﹣2）關于原點對稱的點的坐標為（1，2），所以，拋物線為y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x﹣+2，即y＝﹣x2+2x﹣+2．【變式5-2】（2022秋?南京期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示：（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）觀察圖象，當﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為﹣4≤y＜0；（3）將該二次函數(shù)圖象沿x軸翻折后得到新圖象，新圖象的函數(shù)表達式為y＝﹣（x+1）2+4．【分析】（1）設頂點式y(tǒng)＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；（2）計算自變量為﹣3、0對應的函數(shù)值，然后利用函數(shù)圖象寫出對應的函數(shù)值的范圍；（3）利用關于x軸對稱點的性質進而得出答案．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，所以拋物線的解析式為y＝（x+1）2﹣4；（2）當x＝﹣3時，y＝（﹣3+1）2﹣4＝0；當x＝0時，y＝﹣3；所以當﹣3＜x＜0時，y的取值范圍為﹣4≤y＜0，故答案為﹣4≤y＜0；（3）∵函數(shù)y＝（x+1）2﹣4圖象的頂點為（﹣1，﹣4），a＝1∴該函數(shù)的圖象沿x軸翻折后得到的函數(shù)圖象頂點為（﹣1，4），a＝﹣1∴翻折后得到的函數(shù)表達式為y＝﹣（x+1）2+4，故答案為y＝﹣（x+1）2+4．【變式5-3】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）已知拋物線L：y＝ax2﹣2x﹣3a與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C，點D為拋物線L的頂點，拋物線L′與L關于y軸對稱．（1）求拋物線L的表達式；（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PBC的面積等于四邊形OCDB的面積？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把A點坐標代入y＝ax2﹣2a﹣3中求a的值，從而得到拋物線L的表達式；（2）連接OD，過P點作PQ∥y軸交直線BC于Q點，如圖，解方程x2﹣2x﹣3＝0得B（3，0），再配方得y＝（x﹣1）2﹣4，則D（1，﹣4），利用關于y軸對稱的點的坐標特征和頂點式得到拋物線L′的解析式為y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，設P（t，t2+2t﹣3），易得直線BC的解析式為y＝x﹣3，接著計算出四邊形OCDB的面積為152，所以12×3×|t2+t|=152【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2a﹣3得a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴拋物線L的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接OD，過P點作PQ∥y軸交直線BC于Q點，如圖，y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∴點D關于y軸的對稱點的坐標為（﹣1，﹣4），∴拋物線L關于y軸對稱的拋物線L′的解析式為y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3，設P（t，t2+2t﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，∵四邊形O