高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)全套歷年真題大數(shù)據(jù)之10年高考真題專題08三角函數(shù)與數(shù)列解答題特訓(xùn)(原卷版+解析)

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷與新課標(biāo)理科卷）專題08三角函數(shù)與數(shù)列解答題真題匯總命題趨勢(shì)真題匯總命題趨勢(shì)1．【2022年全國甲卷理科17】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和．已知(1)證明：an(2)若a4,a2．【2022年全國乙卷理科17】記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinC(1)證明：2a(2)若a=5,cosA=253．【2022年新高考1卷17】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)求an(2)證明：1a4．【2022年新高考1卷18】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a25．【2022年新高考2卷17】已知an為等差數(shù)列，bn是公比為2的等比數(shù)列，且(1)證明：a1(2)求集合kb6．【2022年新高考2卷18】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC=7．【2021年全國甲卷理科18】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{a①數(shù)列{an}是等差數(shù)列：②數(shù)列{S注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．8．【2021年新高考1卷17】已知數(shù)列{an}滿足（1）記bn=a2n，寫出b1（2）求{a9．【2021年新高考1卷19】記△ABC是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC10．【2021年全國乙卷理科19】記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{（1）證明：數(shù)列{b（2）求{a11．【2021年新高考2卷17】記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前（1）求數(shù)列{an}（2）求使Sn>a12．【2021年新高考2卷18】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，b=a+1，c=a+2.．（1）若2sinC=3sin（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．13．【2020年全國1卷理科17】設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為（1）求{a（2）若a1=1，求數(shù)列{na14．【2020年全國2卷理科17】△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.15．【2020年全國3卷理科17】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．16．【2020年山東卷17】在①ac=3，②csinA=3，③c=問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且sinA=3sinB注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17．【2020年山東卷18】已知公比大于1的等比數(shù)列{an}（1）求{a（2）記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N?)18．【2020年海南卷17】在①ac=3，②csinA=3，③c=問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且sinA=3sin注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．【2020年海南卷18】已知公比大于1的等比數(shù)列{an}（1）求{a（2）求a120．【2019年新課標(biāo)3理科18】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA+C2=bsin（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．21．【2019年全國新課標(biāo)2理科19】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an﹣bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．22．【2019年新課標(biāo)1理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若2a+b＝2c，求sinC．23．【2018年新課標(biāo)1理科17】在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝22，求BC．24．【2018年新課標(biāo)2理科17】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．25．【2018年新課標(biāo)3理科17】等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m．26．【2017年新課標(biāo)1理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a2（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．27．【2017年新課標(biāo)2理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2B2（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面積為2，求b．28．【2017年新課標(biāo)3理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA＝0，a＝27，b（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．29．【2016年新課標(biāo)1理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為33230．【2016年新課標(biāo)2理科17】Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28，記bn＝[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和．31．【2016年新課標(biāo)3理科17】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1+λan，其中λ≠0．（1）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若S5=3132，求32．【2015年新課標(biāo)1理科17】Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an＞0，an2+2an＝4Sn+3（I）求{an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）設(shè)bn=1anan+1，求數(shù)列{33．【2015年新課標(biāo)2理科17】△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．（1）求sinBsinC（2）若AD＝1，DC=22，求BD和34．【2014年新課標(biāo)1理科17】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn﹣1，其中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an+2﹣an＝λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．35．【2014年新課標(biāo)2理科17】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an+1．（Ⅰ）證明{an+12}是等比數(shù)列，并求{a（Ⅱ）證明：1a36．【2013年新課標(biāo)1理科17】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC（1）若PB=12，求（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．37．【2013年新課標(biāo)2理科17】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面積的最大值．模擬好題模擬好題1．已知a，b，c分別為銳角三角形ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且3c=2a(1)求A；(2)若a=7，b=2，求c(3)若cosB=232．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(b+a)(sin(1)求角A的大小；(2)設(shè)a=2，cosB2=3．定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如{1,5}的一階和數(shù)列是{1,6,5}，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為Sn(1)試求{1,5}的二階和數(shù)列各項(xiàng)和S2與三階和數(shù)列各項(xiàng)和S3，并猜想(2)若cn=?1log3Sn?3?4．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=n2+1，正項(xiàng)等比數(shù)列bn(1)求數(shù)列an和b(2)求使不等式bn>2an5．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)證明數(shù)列an為等比數(shù)列，并求出數(shù)列a(2)設(shè)bn=log3an，求數(shù)列6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足4an?2(1)求證：數(shù)列{an?n}(2)求證：bn+17．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2=3，a14=3a5，數(shù)列{b(1)求{an}和{b(2)若cn=an?bn，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為8．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=?11S(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=1anan+1，數(shù)列{bn}的前n9．已知數(shù)列an滿足：a1(1)直接寫出a3(2)請(qǐng)判斷a2021(3)是否存在n，使得an=2022？若存在，求出10．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=0，(1)證明：an(2)設(shè)bn=2an，在bn和bn+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+211．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊AC上，且滿足DB:DA:DC=2:3:4，△ABC的面積S=(1)證明：2(2)求cos∠ABC12．△ABC的內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知acos(1)求角B的大??；(2)從以下3個(gè)條件中選擇2個(gè)作為己知條件，使三角形存在且唯一確定，并求△ABC的面積.條件①：a=3；條件②：b=22；條件③：cosC=?2313．在①a=7，②AC邊上的高為332，問題：記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知∠A=60°，c=b+1，______.(1)求c的值；(2)若點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且∠ADB?∠ABC=π3，求AD14．在△ABC中，3sin(1)求B的值；(2)給出以下三個(gè)條件：①a2?b2+c2+3c=0；（i）求sinA（ii）求∠ABC的角平分線BD的長(zhǎng).15．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．在①bcosA+acosB=2ccosC，②(1)求角C的大??；(2)若c=2，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．16．在①2bsinC=3ccosB+csinB，②cosBcosC=b2a?c兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.在(1)求角B；(2)若a+c=3，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，求線段BD17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tanB+(1)求角A的大小；(2)若BD=2DC，AD=2，且AD平分∠BAC，求18．在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2S=?3BA?BC，作AB⊥AD，使得四邊形ABCD滿足(1)求B；(2)設(shè)∠BAC=θ，BC=fθ，求函數(shù)f19．已知數(shù)列an滿足a(1)求an(2)在ak和ak+1,k∈N?中插入k個(gè)相同的數(shù)(?1)k+1?k，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列b20．已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，n∈N?，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b(1)求an和b(2)設(shè)c1=0，cn+1?c(3)設(shè)dn=3cnbn+1,n=2k?1ln大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷與新課標(biāo)理科卷）專題08三角函數(shù)與數(shù)列解答題真題匯總命題趨勢(shì)真題匯總命題趨勢(shì)1．【2022年全國甲卷理科17】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和．已知(1)證明：an(2)若a4,a【答案】(1)證明見解析；(2)?78．【解析】(1)解：因?yàn)?Snn+n=2當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1①?②得，2S即2a即2n?1an?2n?1an?1所以an是以1(2)解：由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n?13，所以所以，當(dāng)n=12或n=13時(shí)Sn2．【2022年全國乙卷理科17】記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinC(1)證明：2a(2)若a=5,cosA=25【答案】(1)見解析(2)14【解析】(1)證明：因?yàn)閟inC所以sinC所以ac?a即a2所以2a(2)解：因?yàn)閍=5,cos由（1）得b2由余弦定理可得a2則50?50所以bc=31故b+c2所以b+c=9，所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=14.3．【2022年新高考1卷17】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)求an(2)證明：1a【答案】(1)a(2)見解析【解析】(1)∵a1=1，∴S1=又∵Snan∴Snan=1+∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1∴an整理得：n?1a即an∴a=1×3顯然對(duì)于n=1也成立，∴an的通項(xiàng)公式a(2)1a∴1a14．【2022年新高考1卷18】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2【答案】(1)π6(2)42【解析】(1)因?yàn)閏osA1+sin而0<B<π2，所以(2)由（1）知，sinB=?cosC>0而sinB=?所以C=π2+B所以a=2當(dāng)且僅當(dāng)cos2B=22時(shí)取等號(hào)，所以5．【2022年新高考2卷17】已知an為等差數(shù)列，bn是公比為2的等比數(shù)列，且(1)證明：a1(2)求集合kb【答案】(1)證明見解析；(2)9．【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，所以，a1+d?2(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a6．【2022年新高考2卷18】記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1,S(1)求△ABC的面積；(2)若sinAsinC=【答案】(1)2(2)1【解析】(1)由題意得S1=1即a2+c2?b2=2，由余弦定理得則cosB=1?132(2)由正弦定理得：bsinB=asinA=7．【2021年全國甲卷理科18】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{a①數(shù)列{an}是等差數(shù)列：②數(shù)列{S注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析選①②作條件證明③：設(shè)Sn=an+b(a>0)，則當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an因?yàn)閧an}也是等差數(shù)列，所以(a+b)所以an=a選①③作條件證明②：因?yàn)閍2=3a所以公差d=a所以Sn=na因?yàn)镾n+1所以{S選②③作條件證明①：設(shè)Sn=an+b(a>0)，則當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an因?yàn)閍2=3a1，所以a(3a+2b)=3(a+b)當(dāng)b=0時(shí)，a1=a2,an當(dāng)b=?4a3時(shí)，Sn綜上可知{a8．【2021年新高考1卷17】已知數(shù)列{an}滿足（1）記bn=a2n，寫出b1（2）求{a【答案】（1）b1=2,b（1）由題設(shè)可得b又a2k+2=a2k+1+1故a2k+2=a2k所以{bn}（2）設(shè){an}的前20項(xiàng)和為S因?yàn)閍1所以S=2(b9．【2021年新高考1卷19】記△ABC是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC【答案】（1）證明見解析；（2）cos∠ABC=（1）由題設(shè)，BD=asinCsin∠ABC∴BD=acb，又∴BD=b，得證.（2）由題意知：BD=b,AD=2b∴cos∠ADB=b2∵∠ADB=π?∠CDB，∴13b29?c∴2a2+b4a2由余弦定理知：cos∠ABC=當(dāng)a2b2=13時(shí)，綜上，cos∠ABC=10．【2021年全國乙卷理科19】記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{（1）證明：數(shù)列{b（2）求{a【答案】（1）證明見解析；（2）an（1）由已知2Sn+1bn=2取n=1,由S1=b由于bn為數(shù)列{Sn所以2b所以2b所以2b由于b所以22bn+1?1所以數(shù)列{bn}是以b（2）由（1）可得，數(shù)列{bn}是以b∴bSn當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí),an=S∴an11．【2021年新高考2卷17】記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前（1）求數(shù)列{an}（2）求使Sn>a【答案】(1)a(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S5=5a設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有：a2S4從而：?d2=?2d數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a1=2?6=?4，則：則不等式Sn>an即：解得：n<1或n>6，又n為正整數(shù)，故n的最小值為7.12．【2021年新高考2卷18】在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，b=a+1，c=a+2.．（1）若2sinC=3sin（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且（1）因?yàn)?sinC=3sinA，則2c=2(a+2)=3a，則a=4，故cosC=a2+b因此，S△ABC（2）顯然c>b>a，若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，由余弦定理可得cosC=解得?1<a<3，則0<a<3，由三角形三邊關(guān)系可得a+a+1>a+2，可得a>1，∵a∈Z，故a=2.13．【2020年全國1卷理科17】設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為（1）求{a（2）若a1=1，求數(shù)列{na【答案】（1）?2；（2）Sn【解析】（1）設(shè){an}的公比為q，a∵2a∵q≠1,∴q=?2；（2）設(shè){nan}的前n項(xiàng)和為SSn=1×1+2×(?2)+3×?2Sn①?②得，3=1?∴S14．【2020年全國2卷理科17】△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.【答案】（1）2π3；（2）3+2【解析】（1）由正弦定理可得：BC∴cos∵A∈0,π，∴A=（2）由余弦定理得：BC即AC+AB2∵AC?AB≤AC+AB22∴9=AC+AB解得：AC+AB≤23（當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB∴△ABC周長(zhǎng)L=AC+AB+BC≤3+23，∴△ABC周長(zhǎng)的最大值為3+215．【2020年全國3卷理科17】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1）a2=5，a3=7，an【解析】（1）由題意可得a2=3a由數(shù)列an的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即證明如下：當(dāng)n=1時(shí)，a1假設(shè)n=k時(shí)，ak=2k+1那么n=k+1時(shí)，ak+1=3則對(duì)任意的n∈N?，都有（2）由（1）可知，aSn2S由①?②得：?=6+2×2即Sn16．【2020年山東卷17】在①ac=3，②csinA=3，③c=問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且sinA=3sinB注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】詳見解析【解析】解法一：由sinA=3sin不妨設(shè)a=3則：c2=a選擇條件①的解析：據(jù)此可得：ac=3m×m=3m2選擇條件②的解析：據(jù)此可得：cosA=則：sinA=1??12選擇條件③的解析：可得cb=m與條件c=3b解法二：∵sinA=3∴sinA=3sinA=3∴sinA=?3cosA,∴tanA=?3,∴A=若選①，ac=3,∵a=3b=若選②，csinA=3,則3c2=3若選③,與條件c=317．【2020年山東卷18】已知公比大于1的等比數(shù)列{an}（1）求{a（2）記bm為{an}在區(qū)間(0,m](m∈N?)【答案】（1）an=2n；（【解析】（1）由于數(shù)列an是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，依題意有a1q+a1q3所以an=2n，所以數(shù)列（2）由于21b1對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：0,1，則bb2,b3對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：0,2,0,3，則b4,b5,b6,bb8,b9,?,b15對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：0,8b16,b17,?,b31對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：0,16b32,b33,?,b63對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：0,32b64,b65,?,b100對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：0,64所以S10018．【2020年海南卷17】在①ac=3，②csinA=3，③c=問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且sinA=3sin注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】詳見解析【解析】解法一：由sinA=3sin不妨設(shè)a=3則：c2=a選擇條件①的解析：據(jù)此可得：ac=3m×m=3m2選擇條件②的解析：據(jù)此可得：cosA=則：sinA=1?(?12選擇條件③的解析：可得cb=m與條件c=3解法二：∵sinA=3∴sinA=3sinA=3∴sinA=?3cosA,∴tanA=?3,∴A=2π若選①，ac=3,∵a=3b=3c,若選②，csinA=3,則3c2=3若選③,與條件c=319．【2020年海南卷18】已知公比大于1的等比數(shù)列{an}（1）求{a（2）求a1【答案】（1）an=【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>1)，則a整理可得：2q∵q>1,q=2,a數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an(2)由于：?1n?1故：a=2=220．【2019年新課標(biāo)3理科18】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA+C2=bsin（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【答案】解：（1）asinA+C2=bsinA，即為asinπ?B2=acosB可得sinAcosB2=sinBsinA＝2sinB2cosB∵sinA＞0，∴cosB2=2sinB2若cosB2=0，可得B＝（2k+1）π，k∈∴sinB2由0＜B＜π，可得B=π（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b=a由三角形ABC為銳角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，解得12＜可得△ABC面積S=12a?sinπ3=34a21．【2019年全國新課標(biāo)2理科19】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an﹣bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．【答案】解：（1）證明：∵4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4；∴4（an+1+bn+1）＝2（an+bn），4（an+1﹣bn+1）＝4（an﹣bn）+8；即an+1+bn+1=12（an+bn），an+1﹣bn+1＝an﹣b又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{an+bn}是首項(xiàng)為1，公比為12{an﹣bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）可得：an+bn＝（12）n﹣1an﹣bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴an＝（12）n+n?bn＝（12）n﹣n+22．【2019年新課標(biāo)1理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若2a+b＝2c，求sinC．【答案】解：（1）∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．則sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA=b∵0＜A＜π，∴A=π（2）∵2a+b＝2c，A=π∴由正弦定理得2sinA+sinB=2sinC∴6解得sin（C?π6）=22，∴C?∴sinC＝sin（π4+π6）＝sinπ4cosπ23．【2018年新課標(biāo)1理科17】在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝22，求BC．【答案】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：ABsin∠ADB=BD∴sin∠ADB=2sin45°∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB=1?(（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB=2∵DC＝22，∴BC==25+8?2×5×224．【2018年新課標(biāo)2理科17】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．【答案】解：（1）∵等差數(shù)列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，∴an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；（2）∵a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，∴Sn=n2(a1+an)=∴當(dāng)n＝4時(shí)，前n項(xiàng)的和Sn取得最小值為﹣16．25．【2018年新課標(biāo)3理科17】等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m．【答案】解：（1）∵等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．∴1×q4＝4×（1×q2），解得q＝±2，當(dāng)q＝2時(shí)，an＝2n﹣1，當(dāng)q＝﹣2時(shí)，an＝（﹣2）n﹣1，∴{an}的通項(xiàng)公式為，an＝2n﹣1，或an＝（﹣2）n﹣1．（2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．當(dāng)a1＝1，q＝﹣2時(shí)，Sn=a由Sm＝63，得Sm=1?(?2)m3=當(dāng)a1＝1，q＝2時(shí)，Sn=a1(1?由Sm＝63，得Sm＝2m﹣1＝63，m∈N，解得m＝6．26．【2017年新課標(biāo)1理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a2（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】解：（1）由三角形的面積公式可得S△ABC=12acsinB∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=2（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC=1∴cosBcosC﹣sinBsinC=1∴cos（B+C）=?∴cosA=1∵0＜A＜π，∴A=π∵asinA=bsinB=c∴sinBsinC=b2R?∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c=∴周長(zhǎng)a+b+c＝3+3327．【2017年新課標(biāo)2理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2B2（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面積為2，求b．【答案】解：（1）sin（A+C）＝8sin2B2∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB=15（2）由（1）可知sinB=8∵S△ABC=12ac?sin∴ac=17∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2×＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．28．【2017年新課標(biāo)3理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA＝0，a＝27，b（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．【答案】解：（1）∵sinA+3cosA∴tanA=?∵0＜A＜π，∴A=2π由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即28＝4+c2﹣2×2c×（?1即c2+2c﹣24＝0，解得c＝﹣6（舍去）或c＝4，故c＝4．（2）∵c2＝b2+a2﹣2abcosC，∴16＝28+4﹣2×27×2×cosC∴cosC=2∴CD=∴CD=1∵S△ABC=12AB?AC?sin∠BAC=12×∴S△ABD=12S△29．【2016年新課標(biāo)1理科17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為332【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC=1∴C=π（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab?12∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S=12absinC=3∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)為5+730．【2016年新課標(biāo)2理科17】Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28，記bn＝[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和．【答案】解：（Ⅰ）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28．可得a4＝4，則公差d＝1．a(chǎn)n＝n，bn＝[lgn]，則b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．?dāng)?shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和為：9×0+90×1+900×2+3＝1893．31．【2016年新課標(biāo)3理科17】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1+λan，其中λ≠0．（1）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若S5=3132，求【答案】解：（1）∵Sn＝1+λan，λ≠0．∴an≠0．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1+λan﹣1﹣λan﹣1＝λan﹣λan﹣1，即（λ﹣1）an＝λan﹣1，∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即anan?1∴{an}是等比數(shù)列，公比q=λ當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝1+λa1＝a1，即a1=1∴an=11?λ?（λλ?1）（2）若S5=31則若S5＝1+λ[11?λ?（λλ?1）4]即（λ1?λ）5=3132則λ1?λ=?132．【2015年新課標(biāo)1理科17】Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an＞0，an2+2an＝4Sn+3（I）求{an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）設(shè)bn=1anan+1，求數(shù)列{【答案】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3兩式相減得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，則{an}是首項(xiàng)為3，公差d＝2的等差數(shù)列，∴{an}的通項(xiàng)公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn=1an∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=12（13?15+33．【2015年新課標(biāo)2理科17】△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．（1）求sinBsinC（2）若AD＝1，DC=22，求BD和【答案】解：（1）如圖，過A作AE⊥BC于E，∵S△ABD∴BD＝2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC在△ABD中，BDsin∠BAD=AD在△ADC中，DCsin∠DAC=ADsin∠C∴sin∠Bsin∠C（2）由（1）知，BD＝2DC＝2×2過D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∴S△ABD∴AB＝2AC，令A(yù)C＝x，則AB＝2x，∵∠BAD＝∠DAC，∴cos∠BAD＝cos∠DAC，∴由余弦定理可得：(2x)∴x＝1，∴AC＝1，∴BD的長(zhǎng)為2，AC的長(zhǎng)為1．34．【2014年新課標(biāo)1理科17】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn﹣1，其中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an+2﹣an＝λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．【答案】（Ⅰ）證明：∵anan+1＝λSn﹣1，an+1an+2＝λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）＝λan+1∵an+1≠0，∴an+2﹣an＝λ．（Ⅱ）解：假設(shè)存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．則λ＝an+2﹣an＝（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）＝2d，∴d=λ∴an=1+λ(n?1)∴λSn＝1+[1+λ(n?1)根據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是λ≠02?λ2此時(shí)可得Sn=n2，a因此存在λ＝4，使得{an}為等差數(shù)列．也可以先考慮前3項(xiàng)成等差數(shù)列，得出λ，再進(jìn)一步驗(yàn)證即可．35．【2014年新課標(biāo)2理科17】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an+1．（Ⅰ）證明{an+12}是等比數(shù)列，并求{a（Ⅱ）證明：1a【答案】證明（Ⅰ）an+1∵a1∴數(shù)列{an+12}是以首項(xiàng)為∴an+12=（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a當(dāng)n≥2時(shí)，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴1a∴當(dāng)n＝1時(shí)，1a當(dāng)n≥2時(shí)，1a1+∴對(duì)n∈N+時(shí)，1a36．【2013年新課標(biāo)1理科17】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC（1）若PB=12，求（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【答案】解：（I）在Rt△PBC中，cos∠PBC=PBBC=12在△PBA中，由余弦定理得PA2＝PB2+AB2﹣2PB?ABcos30°=(1∴PA=7（II）設(shè)∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BCcos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得ABsin∠APB=PB化為3cosα=4sinα．∴tanα=37．【2013年新課標(biāo)2理科17】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面積的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA＝sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB＝cosB，即tanB＝1，∵B為三角形的內(nèi)角，∴B=π（Ⅱ）S△ABC=12acsinB=由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accosπ4≥2ac﹣2ac整理得：ac≤42?2，當(dāng)且僅當(dāng)a則△ABC面積的最大值為12×22×模擬好題模擬好題1．已知a，b，c分別為銳角三角形ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且3c=2a(1)求A；(2)若a=7，b=2，求c(3)若cosB=23【答案】(1)π(2)3(3)4【解析】(1)由于0<C<π2，所以由3c=2asinC所以sinA=32所以A=π(2)在△ABC中，由余弦定理有cosA=解得c=3或c=?1（舍），故c=3.(3)由cosB=23，可得sinsin2B=2所以sin==42．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，(b+a)(sin(1)求角A的大??；(2)設(shè)a=2，cosB2=【答案】(1)A=π(2)b=16【解析】(1)由題設(shè)(a+b)(a?b)=(c?b)c，即bc=c所以cosA=c2+b(2)由（1）知：0<B<2π3，則0<B2<所以sinB=2而asinA=3．定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如{1,5}的一階和數(shù)列是{1,6,5}，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為Sn(1)試求{1,5}的二階和數(shù)列各項(xiàng)和S2與三階和數(shù)列各項(xiàng)和S3，并猜想(2)若cn=?1log3Sn?3?【答案】(1)S2=12+6×3，S(2)Tn【解析】(1)由題意得，S1S2S3S=12+18+54+162=12+6×3+6×=12+6×3…Sn由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，Sn所以Sn的通項(xiàng)公式S(2)由于Sn所以cn則Tn因?yàn)閚∈N?，所以1n+2又Tn隨n所以當(dāng)n=1時(shí)，Tn取得最大值?164．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=n2+1，正項(xiàng)等比數(shù)列bn(1)求數(shù)列an和b(2)求使不等式bn>2an【答案】(1)an=2(2){3,4,5,6,7}．【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=n2當(dāng)n≥2時(shí)，an=S所以a2=3，a3=5，從而又因?yàn)閿?shù)列bn為正項(xiàng)等比數(shù)列且b1=a1=2，設(shè)公比為解得q=12或q=?2（舍），從而(2)當(dāng)n≥2時(shí)，不等式bn>2an記f(n)=(n?1)22n?2，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=94，f(5)=2，當(dāng)n≥4時(shí)，f(n+1)f(n)=n22因此使不等式bn>2an5．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)證明數(shù)列an為等比數(shù)列，并求出數(shù)列a(2)設(shè)bn=log3an，求數(shù)列【答案】(1)證明見解析，a(2)T【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，由2S1=3由已知2Sn=3兩式相減得2an+1=3a因?yàn)閍1=3，所以所以an+1an所以an(2)由（1）可得bn=log3Tn則3T所以?2T所以Tn6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足4an?2(1)求證：數(shù)列{an?n}(2)求證：bn+1【答案】(1)證明見解析，a(2)證明見解析【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，4a所以4(an?所以an?n=2[an?1?(n?1)]所以an?nan?1(2)由題意得bn+1=(1+n2n又因?yàn)閎1=1>0，所以bn>0，即所以數(shù)列{bn}即bn+1?b令Tn=1兩式相減得：12所以Tn=2?n+12n?17．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a2=3，a14=3a5，數(shù)列{b(1)求{an}和{b(2)若cn=an?bn，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為【答案】(1)an=2n?1(2)m∈【解析】(1)解：等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d則a?數(shù)列{bn}中的前n項(xiàng)和為Sn，且當(dāng)n=1時(shí)，b當(dāng)n≥2時(shí)，2S②－①得：b故數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以b(2)解：數(shù)列{cn}中，c則T所以3故?2?所以T∵?1n?m>T當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，?1n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，?1綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為m∈?88．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=?11S(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=1anan+1，數(shù)列{bn}的前n【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5【解析】(1)由題意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差為2的等差數(shù)列，則an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；(2)由題知bnT由Tn>0得解得0<n<11所以n的最大值為5．9．已知數(shù)列an滿足：a1(1)直接寫出a3(2)請(qǐng)判斷a2021(3)是否存在n，使得an=2022？若存在，求出【答案】(1)a3(2)是奇數(shù)，理由見解析；(3)不存在，理由見解析.【解析】(1)解：由題得a3(2)解：a2021理由如下：先證引理1：an的奇偶性與n假設(shè)不滿足引理1的最小正整數(shù)n=t，即at的奇偶性與t由（1）知t≥7（也可以寫t≥3這里是為了保證后面用到的t?1,t?2為正整數(shù)）.①若t為奇數(shù)，則有at?1為偶數(shù)，at?2為奇數(shù)，進(jìn)而有②若t為偶數(shù)，則有at?1為奇數(shù)，at?2為偶數(shù)，進(jìn)而有所以假設(shè)不成立，引理1正確.進(jìn)而有a2021(3)解：不存在，理由如下.先證引理2：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an除以3余數(shù)為1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a假設(shè)不滿足引理2的最小正整數(shù)n=t，由（1）知t≥7.①若t為奇數(shù)，則由（2）有at?1為偶數(shù)且除以3余數(shù)為2,1，進(jìn)而有at②若t為偶數(shù)，則由（2）有at?1為奇數(shù)且除以3余數(shù)為1,2，進(jìn)而有at所以假設(shè)不成立，引理2正確.假設(shè)存在n，使得an=2022，由（2）知，n為偶數(shù)，進(jìn)而有而2022除以3的余數(shù)為1，矛盾.進(jìn)而有不存在n，使得an10．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=0，(1)證明：an(2)設(shè)bn=2an，在bn和bn+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2【答案】(1)證明見解析(2)T【解析】(1)證明：因?yàn)閚?2時(shí)，nS則nS即nan+1?(n+1)因?yàn)閍2則nan+1?(n+1)an?1=0,n∈N?所以(n?1)an?nan?1?1=0,n?2則①?②得na即an+1所以an(2)解：由（1）可得an的首項(xiàng)為a1=0，公差為a所以bn所以dn=b記1dn的前n項(xiàng)和為則Tn=2?120+3?121+4?1所以12Tn=2?121+3?122則①?②得12所以12所以Tn11．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊AC上，且滿足DB:DA:DC=2:3:4，△ABC的面積S=(1)證明：2(2)求cos∠ABC【答案】(1)證明見解析(2)?12【解析】(1)點(diǎn)D在邊AC上，且滿足DB:DA:DC=2:3:4,所以DB=S=12acsinB=(2)由圖可知cos∠ADB+可得3a解得a=2c或a=21°當(dāng)a=2c時(shí)，b2=72°當(dāng)a=23c時(shí)，b綜上所述cos∠ABC=?1212．△ABC的內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊分別為a?b?c，已知acos(1)求角B的大??；(2)從以下3個(gè)條件中選擇2個(gè)作為己知條件，使三角形存在且唯一確定，并求△ABC的面積.條件①：a=3；條件②：b=22；條件③：cosC=?23【答案】(1)B=(2)答案見解析【解析】(1)由acosB=3因?yàn)?<A<π，所以sinA≠0，所以cosB=3因?yàn)?<B<π，所以B=(2)若選條件①：a=3；條件②：b=22，由（1）B=由余弦定理得222=因?yàn)榇鸢覆晃ㄒ?，所以舍?若選條件②：b=22；條件③：cosC=?2因?yàn)閏osC=?23，0<C<由正弦定理得c53=由余弦定理得41032則△ABC的面積為S=1若選條件①：a=3；條件③：cosC=?23因?yàn)閏osC=?23，0<C<sinA=由正弦定理得c53=則△ABC的面積為S=1若選條件①：a=3；④c=2，由（1）B=π則△ABC的面積為S=1若選條件②：b=22；④c=2，由（1）B=由余弦定理得222=4+則△ABC的面積為S=1若選條件③：cosC=?23；④c=2因?yàn)閏osC=?23，0<C<sinA=由正弦定理得253=則△ABC的面積為S=113．在①a=7，②AC邊上的高為332，問題：記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知∠A=60°，c=b+1，______.(1)求c的值；(2)若點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且∠ADB?∠ABC=π3，求AD【答案】(1)c=3(2)2【解析】(1)解：選條件①：a=7由余弦定理cosA=b2解得b=2，則c=b+1=3；選條件②：AC邊上的高為33由三角形的面積公式12解得b=2，c=3.

選條件③：sinB=由題意可知B<