蘇科版九年級數(shù)學上冊同步精講精練2.2圓的對稱性(二)垂徑定理(十一大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形---圓》2.2圓的對稱性第二課時垂徑定理知識點一知識點一圓的對稱性圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，圓有無數(shù)條對稱軸，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸；圓又是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.知識點二知識點二垂徑定理◆1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。淮箯蕉ɡ淼囊罁?jù)是圓的軸對稱的性質.推導格式：◆2、垂徑定理的用法：（1）連接圓心與弦的一端，與過圓心且垂直與弦的線段和弦的一半構成直角三角形（即垂徑定理三角形），利用勾股定理列式求值.（2）如圖弦長a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：（3）r,a，d，h，已知其中任意兩個量，即可求出另外兩個量.知識點三知識點三垂徑定理的推論◆1、垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.◆2、垂徑定理及其推論：一條直線滿足：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）◆3、垂徑定理的幾個基本圖形：題型一垂徑定理有關的概念題型一垂徑定理有關的概念【例題1】下列說法中錯誤的有（）

①過弦的中點的直線平分弦所對的兩條弧；

②弦的垂線平分它所對的兩條弧；

③過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧；

④平分不是直徑的弦的直徑平分弦所對的兩條弧．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解題技巧提煉1、垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.2、一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）【變式1-1】（2023?肅州區(qū)三模）下列語句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長度相等的兩條弧是等??；（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是對稱軸．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1-2】如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD弦于點E，則下列結論不一定成立的是（）A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE【變式1-3】如圖，在⊙O中，MN是直徑，AB是弦，且MN⊥AB，垂足為C，下列結論：①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述結論中，正確的有題型二利用垂徑定理求線段長題型二利用垂徑定理求線段長【例題2】（2022春?海門市期中）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的垂線段OE長為3cm，則半徑OA的長為cm．解題技巧提煉作弦的垂線并連接圓心與弦的一個端點，構造“垂徑定理三角形”，利用勾股定理求解.【變式2-1】（2023春?渝中區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若CD=45BE＝2，則AB的長是（）A．12 B．16 C．65 D．【變式2-2】（2023?伊川縣一模）如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點P是AB上任意一點（不與點A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分別為C，D，則CD的長為（）A．12 B．22 C．3【變式2-3】（2022?丹江口市模擬）如圖，AB是⊙O的弦，AB長為8，P是⊙O上一個動點（不與A，B重合），過點O作OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，則CD的長為（）A．3 B．23 C．43 D．4【變式2-4】（2023?蒙陰縣三模）已知⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，則OP＝（）A．14 B．15 C．17 D．32題型三利用垂徑定理求角度題型三利用垂徑定理求角度【例題3】（2022秋?諸城市校級月考）如圖，⊙O的直徑是4cm，C是AB的中點，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度數(shù)．解題技巧提煉主要是利用垂徑定理以及等腰三角形的性質和三角形的內角和等知識來求解．【變式3-1】如圖，AB為⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，E是AD的中點，連接OE并延長交⊙O于點C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度數(shù)．【變式3-2】如圖，已知⊙O半徑OA＝4，點B為圓上的一點，點C為劣弧AB上的一動點，CD⊥OA，CE⊥OB，連接DE，要使DE取得最大值，則∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【變式3-3】如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA垂直于點D，連接AB、AC．點E為AC的中點，連接DE．（1）若AB＝6，求DE的長；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度數(shù)．題型四利用垂徑定理求最值題型四利用垂徑定理求最值【例題4】（2022秋?道外區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的一個動點，則線段OM的長的最小值為（）A．3 B．4 C．6 D．8解題技巧提煉本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．利用“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022春?江夏區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，弦AB＝5，點C在AB上移動，連結OC，過點C作CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的最大值為（）A．5 B．2.5 C．3 D．2【變式4-2】在平面直角坐標系中，若以A（2，﹣1）為圓心，2為半徑的⊙A與過點B（1，0）的直線交于C、D，則CD的最小值為（）A．2 B．2 C．22 D．4【變式4-3】（2023?江都區(qū)模擬）如圖平面直角坐標系中，⊙O的半徑為55，弦AB的長為4，過點O作OC⊥AB于點C，⊙O內一點D的坐標為（﹣4，3），當弦AB繞點O順時針旋轉時，點D到AB的距離的最小值是．【變式4-4】（2023?武安市二模）如圖1所示是一款帶毛刷的圓形掃地機器人，它的俯視圖如圖2所示，⊙O的直徑為40cm，毛刷的一端為固定點P，另一端為點C，CP=102cm，毛刷繞著點P旋轉形成的圓弧交⊙O于點A，B，且A，P，B三點在同一直線上．毛刷在旋轉過程中，與⊙O交于點D，則A．202cm B．(20?102)cm C．題型五利用垂徑定理求取值范圍題型五利用垂徑定理求取值范圍【例題5】（2022?甘肅模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點M是弦AB上的動點，則（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5解題技巧提煉本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問題來求范圍，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．【變式5-1】（2023?同心縣校級二模）如圖，⊙O的半徑為10，弦AB＝16，M是弦AB上的動點，則OM不可能為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式5-2】（2022秋?桃城區(qū)校級期末）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點M、N分別是弦AB、PQ的中點，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【變式5-3】如圖，⊙O的直徑為10，A、B、C、D是⊙O上的四個動點，且AB＝6，CD＝8，若點E、F分別是弦AB、CD的中點，則線段EF長度的取值范圍是（）A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6題型六利用垂徑定理求面積題型六利用垂徑定理求面積【例題6】（2023?石城縣模擬）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，則△ACB的面積為（）A．3 B．5 C．6 D．8解題技巧提煉本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算公式是正確解答的前提．【變式6-1】（2023?澗西區(qū)校級二模）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，連接AO并延長，交⊙O于點E，連接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，則△ODEA．4 B．32 C．25 【變式6-2】（2022秋?玄武區(qū)校級月考）如圖所示，小區(qū)內有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為（）A．144π B．256π C．400π D．441π【變式6-3】（2022秋?新余期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為．【變式6-4】（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點A，C，D均在⊙O上，點B在⊙O內，且AB⊥BC于點B，BC⊥CD于點C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，則⊙O的面積為（）A．125π4 B．275π4 C．125π9題型七垂徑定理分類討論問題題型七垂徑定理分類討論問題【例題7】（2023?岱岳區(qū)二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB與CD之間的距離為（）cm．A．1 B．7 C．1或7 D．3或4解題技巧提煉當遇到求兩平行弦間的距離或者是弓形高的等問題時在沒有給出圖形的情況下，要進行分類討論,同時要利用垂徑定理和勾股定理來解決問題.【變式7-1】已知弓形的弦長為8cm，所在圓的半徑為5cm，則弓形的高為．【變式7-2】已知⊙O的直徑AB＝20，弦CD⊥AB于點E，且CD＝16，則AE的長為．【變式7-3】（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為．題型八垂徑定理與證明題型八垂徑定理與證明【例題8】（2022秋?鄒城市校級期末）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過AB中點E的直徑MN與CD交于F點，求證：CF＝DF．解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關鍵．【變式8-1】如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點，OC＝OD，求證：AC＝BD．【變式8-2】（2020秋?金州區(qū)校級期末）如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，求證：AD＝BC．【變式8-3】（2023春?蕭縣月考）如圖1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦．題型九利用垂徑定理解決實際問題題型九利用垂徑定理解決實際問題【例題9】（2023?薛城區(qū)二模）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．10m B．8m C．6m D．5m解題技巧提煉利用垂徑定理建模解決實際問題，先把實際問題轉化為幾何圖形（圓或半圓），巧用弦的一半、圓的半徑和過圓心的垂線段組成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.【變式9-1】（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A．53m B．2m C．83【變式9-2】（2023?岳麓區(qū)校級模擬）把半徑為5cm的球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm【變式9-3】（2022?旌陽區(qū)二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．(3?5)米 D．【變式9-4】（2022秋?下城區(qū)校級月考）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當洪水泛濫到跨度只有15m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2m，即PN＝2m時，試求：（1）拱橋所在的圓的半徑；（2）通過計算說明是否需要采取緊急措施．題型十垂徑定理與平面直角坐標系的綜合應用題型十垂徑定理與平面直角坐標系的綜合應用【例題10】（2023?城西區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P在第一象限，⊙P與x軸交于O，A兩點，點A的坐標為（6，0），⊙P的半徑為13，則點P的坐標為（）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，1） D．（2，2）解題技巧提煉利用垂徑定理在平面直角坐標系中求點的坐標或弦長，一般是過圓心作直線的垂線，由弦心矩、半徑、弦長的一半構成直角三角形，然后利用勾股定理及其它幾何知識求出點的坐標或線段長.【變式10-1】（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，半徑為5的⊙A與y軸交于點B（0，2）、C（0，10），則點A的橫坐標為（）A．﹣3 B．3 C．4 D．6【變式10-2】（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過M、N，則A點坐標為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【變式10-3】（2023?沙市區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與y軸相切于原點O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點，若點M的坐標是（﹣4，﹣2），則點N的坐標為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）題型十一垂徑定理綜合應用問題題型十一垂徑定理綜合應用問題【例題11】（2023春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，AB、AD為弦，CD為直徑，CD⊥AB于M，BN⊥AD于N，BN與CD相交于Q．（1）求證：BQ＝BC；（2）若BQ＝5，CM＝3，求⊙O的半徑．解題技巧提煉垂徑定理的綜合應用問題主要里利用垂徑定理、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．【變式11-1】如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【變式11-2】（2022秋?余杭區(qū)校級月考）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為E，連接AC．（1）求∠B的度數(shù)．（2）若CE=3，求⊙O【變式11-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的高AH＝3，點P是邊BC上的動點，以CP為半徑的⊙C與邊AD交于點E，F(xiàn)（點E在點F的左側）．（1）當⊙C經(jīng)過點A時，求CP的長；（2）連接AP，當AP∥CE時，求⊙C的半徑及弦EF的長．

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形---圓》2.2圓的對稱性第二課時垂徑定理知識點一知識點一圓的對稱性圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，圓有無數(shù)條對稱軸，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸；圓又是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.知識點二知識點二垂徑定理◆1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條??；垂徑定理的依據(jù)是圓的軸對稱的性質.推導格式：◆2、垂徑定理的用法：（1）連接圓心與弦的一端，與過圓心且垂直與弦的線段和弦的一半構成直角三角形（即垂徑定理三角形），利用勾股定理列式求值.（2）如圖弦長a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：（3）r,a，d，h，已知其中任意兩個量，即可求出另外兩個量.知識點三知識點三垂徑定理的推論◆1、垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.◆2、垂徑定理及其推論：一條直線滿足：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）◆3、垂徑定理的幾個基本圖形：題型一垂徑定理有關的概念題型一垂徑定理有關的概念【例題1】下列說法中錯誤的有（）

①過弦的中點的直線平分弦所對的兩條??；

②弦的垂線平分它所對的兩條?。?/p>

③過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條?。?/p>

④平分不是直徑的弦的直徑平分弦所對的兩條?。瓵．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)垂徑定理以及推論判斷即可．【解答】解：①過弦的中點的直線平分弦所對的兩條弧，錯誤，這條直線需要垂直這條弦．

②弦的垂線平分它所對的兩條弧，錯誤，這條直線需要平分這條直線．

③過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧，錯誤，這條弦不是直徑成立．

④平分不是直徑的弦的直徑平分弦所對的兩條?。_．

故選：C．【點評】本題考查垂徑定理以及推論，解題的關鍵是熟練掌握垂徑定理以及推論，屬于中考?？碱}型．解題技巧提煉1、垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.2、一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對的優(yōu)弧;⑤平分弦所對的劣弧.滿足其中兩個條件就可以推出其它三個結論（“知二推三”）【變式1-1】（2023?肅州區(qū)三模）下列語句中，正確的有（）（1）相等的圓心角所對的弧相等；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）長度相等的兩條弧是等弧；（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是對稱軸．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】由圓心角、弧、弦的關系，垂徑定理，等弧的概念，圓的對稱性，即可判斷．【解答】解：（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故（1）不符合題意；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故（2）不符合題意；（3）長度和度數(shù)相等的兩條弧是等弧，故（3）不符合題意；（4）圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是對稱軸，故（4）不符合題意．∴正確的有0個．故選：A．【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關系，垂徑定理，等弧的概念，圓的認識，掌握以上知識點是解題的關鍵．【變式1-2】如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD弦于點E，則下列結論不一定成立的是（）A．CE＝DE B．AE＝OE C．∠COA＝∠DOA D．△OCE≌△ODE【分析】根據(jù)垂徑定理得出CE＝DE，弧CB＝弧BD，再根據(jù)全等三角形的判定方法“AAS”即可證明△OCE≌△ODE．【解答】解：∵⊙O的直徑AB⊥CD于點E，∴CE＝DE，CB=在△OCE和△ODE中，∠CEO=∠DEO=90°∠OCE=∠ODE∴△OCE≌△ODE（AAS）．∴∠COE＝∠DOE，即∠COA＝∠DOA．觀察選項，只有選項B符合題意．故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理的應用，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。咀兪?-3】如圖，在⊙O中，MN是直徑，AB是弦，且MN⊥AB，垂足為C，下列結論：①AC＝BC，②AN=BN，③BM=AM，④OC＝CN上述結論中，正確的有【分析】根據(jù)垂徑定理對各小題進行逐一分析即可．【解答】解：∵在⊙O中，MN是直徑，AB是弦，且MN⊥AB，∴AC＝BC，AN=BN，AM=∵AB不一定過ON的中點，∴OC與CN的關系不能確定．故答案為：①②③．【點評】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．題型二利用垂徑定理求線段長題型二利用垂徑定理求線段長【例題2】（2022春?海門市期中）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的垂線段OE長為3cm，則半徑OA的長為cm．【分析】根據(jù)垂徑定理求出AE的長，在Rt△AOE中根據(jù)勾股定理直接求出OA即可．【解答】解：∵OE⊥AB，AB＝8，∴AE＝BE＝4，在Rt△AOE中，OE＝3，根據(jù)勾股定理得：OA=A【點評】本題主要考查了垂徑定理，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的優(yōu)弧和劣?。忸}技巧提煉作弦的垂線并連接圓心與弦的一個端點，構造“垂徑定理三角形”，利用勾股定理求解.【變式2-1】（2023春?渝中區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若CD=45BE＝2，則AB的長是（）A．12 B．16 C．65 D．【分析】連接OC，設圓的半徑是r，由勾股定理得到r2＝（r﹣2）2+(25)2，求出【解答】解：連接OC，設圓的半徑是r，∵BE＝2，∴OE＝r﹣2，∵直徑AB⊥CD，∴CE=12CD=12×∵OC2＝OE2+CE2，∴r2＝（r﹣2）2+(2∴r＝6，∴AB＝2r＝12．故選：A．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵是連接OC，構造直角三角形，應用勾股定理，垂徑定理列出關于r的方程．【變式2-2】（2023?伊川縣一模）如圖，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，點P是AB上任意一點（不與點A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分別為C，D，則CD的長為（）A．12 B．22 C．3【分析】連接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂徑定理以及三角形的中位線定理解決問題即可．【解答】解：連接AB．∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，∴AB=O∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC＝CP，PD＝DB，∴CD=12AB故選：B．【點評】本題考查垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形的中位線即可解決問題．【變式2-3】（2022?丹江口市模擬）如圖，AB是⊙O的弦，AB長為8，P是⊙O上一個動點（不與A，B重合），過點O作OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，則CD的長為（）A．3 B．23 C．43 D．4【分析】由OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，利用垂徑定理知C、D分別為AP、BP的中點，CD是△ABP的中位線，利用中位線的性質即可求出CD的長．【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC＝PC，BD＝PD，∴CD∥AB，且CD=12∵AB＝8，∴CD=12故選：D．【點評】本題考查垂徑定理，三角形中位線，掌握垂徑定理，三角形中位線，利用垂徑定理推出C、D分別為AP、BP的中點，利用△ABP的中位線性質解決問題是關鍵．【變式2-4】（2023?蒙陰縣三模）已知⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，則OP＝（）A．14 B．15 C．17 D．32【分析】過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，根據(jù)垂徑定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖，過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，則OB＝5，∵PA＝2，PB＝4，∴AB＝PA+PB＝6，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝3，∴PC＝PB﹣BC＝1，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16，在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：OP=O故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握垂徑定理．題型三利用垂徑定理求角度題型三利用垂徑定理求角度【例題3】（2022秋?諸城市校級月考）如圖，⊙O的直徑是4cm，C是AB的中點，弦AB、CD交于P，CD＝23cm，求∠APC的度數(shù)．【分析】作OH⊥CD于H，連接OC交AB于E，如圖，根據(jù)垂徑定理得CH＝DH=12CD=3，在根據(jù)勾股定理計算出OH＝1，則利用含30度的直角三角形三邊的關系得∠OCH＝30°，由于C是AB的中點，根據(jù)垂徑定理的推理得到OC⊥AB，然后在Rt△PCE【解答】解：作OH⊥CD于H，連接OC交AB于E，如圖，∵OH⊥CD，∴CH＝DH=12CD在Rt△OCH中，∵OC＝2，CH=3∴OH=O∴∠OCH＝30°，∵C是AB的中點，∴OC⊥AB，在Rt△PCE中，∵∠ECP＝30°，∴∠CPE＝60°，即∠APC的度數(shù)為60°．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條??；平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。忸}技巧提煉主要是利用垂徑定理以及等腰三角形的性質和三角形的內角和等知識來求解．【變式3-1】如圖，AB為⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，E是AD的中點，連接OE并延長交⊙O于點C，若∠BAD＝20°，求∠ACO的度數(shù)．【分析】根據(jù)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，由E是AD的中點得到OE⊥AD，則利用互余可計算出∠AOE＝70°，加上∠OAC＝∠AOC，于是可根據(jù)三角形內角和定理計算出∠AOC．【解答】解：∵E是AD的中點，∴OE⊥AD，∴∠AEO＝90°，∵∠BAD＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠AOC，∴∠AOC=12（180°﹣∠AOC）【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條??；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。咀兪?-2】如圖，已知⊙O半徑OA＝4，點B為圓上的一點，點C為劣弧AB上的一動點，CD⊥OA，CE⊥OB，連接DE，要使DE取得最大值，則∠AOB等于（）A．60° B．90° C．120° D．135°【分析】如圖，延長CD交⊙O于P，延長CE交⊙O于T，連接PT．根據(jù)垂徑定理以及三角形的中位線定理，可得DE=12PT，當PT是直徑時，DE的長最大，再證明∠【解答】解：如圖，延長CD交⊙O于P，延長CE交⊙O于T，連接PT．∵OA⊥PC，OB⊥CT，∴CD＝DP，CE＝TE，∴DE=12∴當PT是直徑時，DE的長最大，連接OC，∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT，∴∠COD＝∠POA，∠COB＝∠BOT，∴∠AOB＝∠COA+∠COB=12∠故選：B．【點評】本題考查垂徑定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形的中位線解決問題．【變式3-3】如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA垂直于點D，連接AB、AC．點E為AC的中點，連接DE．（1）若AB＝6，求DE的長；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到AB=AC，則AC＝AB＝6，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得到（2）利用等腰三角形的性質和三角形的內角和計算出∠C＝40°，然后利用ED＝EC得到∠CDE＝∠C＝40°．【解答】解：（1）∵BC⊥OA，∴AB=AC，∠∴AC＝AB＝6，∵點E為AC的中點，∴DE=12（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝100°，∴∠C=1∵點E為AC的中點，∴ED＝EC，∴∠CDE＝∠C＝40°．【點評】本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱酥苯侨切涡边吷系闹芯€性質．題型四利用垂徑定理求最值題型四利用垂徑定理求最值【例題4】（2022秋?道外區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的一個動點，則線段OM的長的最小值為（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】過O作OM′⊥AB，連接OA，由“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”的知識可知，當OM于OM′重合時OM最短，由垂徑定理可得出AM′的長，再根據(jù)勾股定理可求出OM′的長，即線段OM長的最小值．【解答】解：如圖所示，過O作OM′⊥AB，連接OA，∵過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短，∴當OM于OM′重合時OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′=1在Rt△OAM′中，OM′=OA∴線段OM長的最小值為3．故選：A．【點評】本題考查的是垂徑定理，熟知平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．解題技巧提煉本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．利用“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022春?江夏區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，弦AB＝5，點C在AB上移動，連結OC，過點C作CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的最大值為（）A．5 B．2.5 C．3 D．2【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當OC⊥AB時，OC最小，再求出CD即可．【解答】解：連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=O當OC的值最小時，CD的值最大，而OC⊥AB時，OC最小，此時D、B兩點重合，∴CD＝CB=12AB即CD的最大值為2.5，故選：B．【點評】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識點，能求出點C的位置是解此題的關鍵．【變式4-2】在平面直角坐標系中，若以A（2，﹣1）為圓心，2為半徑的⊙A與過點B（1，0）的直線交于C、D，則CD的最小值為（）A．2 B．2 C．22 D．4【分析】連接AC，作AE⊥CD于E，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得出CE＝DE=12CD，CE=AC2?AE2，所以當AE取最大值時，CE最小，即CD最小，由于【解答】解：如圖，連接AC，作AE⊥CD于E，∴CE＝DE=12CD，∵AC＝2，∴當AE取最大值時，CE最小，即CD最小，∴當E點與B重合時，AE最大，∵A（2，﹣1），B（1，0），∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，∴CE的最小值為：AC∴CD的最小值為22，故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，垂線段最短以及坐標與圖形性質，明確E點與B重合時，AE最大是解題的關鍵．【變式4-3】（2023?江都區(qū)模擬）如圖平面直角坐標系中，⊙O的半徑為55，弦AB的長為4，過點O作OC⊥AB于點C，⊙O內一點D的坐標為（﹣4，3），當弦AB繞點O順時針旋轉時，點D到AB的距離的最小值是．【分析】連接OB，如圖，利用垂徑定理得到AC＝BC＝2，則利用勾股定理可計算出OC＝11，利用三角形三邊的關系，當OC經(jīng)過點D時，點D到AB的距離的最小，然后計算出OD的長，從而得到點D到AB的距離的最小值．【解答】解：連接OB，如圖，∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12在Rt△OBC中，OC=O當OC經(jīng)過點D時，點D到AB的距離的最小，∵OD=4∴點D到AB的距離的最小值為11﹣5＝6．故答案為6．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．【變式4-4】（2023?武安市二模）如圖1所示是一款帶毛刷的圓形掃地機器人，它的俯視圖如圖2所示，⊙O的直徑為40cm，毛刷的一端為固定點P，另一端為點C，CP=102cm，毛刷繞著點P旋轉形成的圓弧交⊙O于點A，B，且A，P，B三點在同一直線上．毛刷在旋轉過程中，與⊙O交于點D，則A．202cm B．(20?102)cm C．【分析】連接AB，OB，當O、P、D、C四點共線時，CD最長，根據(jù)勾股定理求出OP，然后根據(jù)CD＝CP﹣DP即可解答．【解答】解：如圖所示，連接AB，OB，根據(jù)題意可得：BP=AP=CP=102，且A，P，B∴OP垂直平分AB，∴∠OPB＝90°，∴當O、P、D、C四點共線時，CD最長，∵OB=OD=1在Rt△BOP中，由勾股定理得OP=O∴DP=OD?OP=(20?102∴CD長最大值為CP?PD=102故選：C．【點評】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．題型五利用垂徑定理求取值范圍題型五利用垂徑定理求取值范圍【例題5】（2022?甘肅模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點M是弦AB上的動點，則（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤5【分析】當M與A或B重合時，OM最長，當OM垂直于AB時，OM最短，即可求出OM的范圍．【解答】解：當M與A（B）重合時，OM的值最大＝OA＝5；當OM垂直于AB時，可得出M為AB的中點，此時OM最小，連接OA，在Rt△AOM中，OA＝5，AM=12根據(jù)勾股定理得：OM=5∴3≤OM≤5，故選：D．【點評】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解本題的關鍵．解題技巧提煉本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問題來求范圍，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．【變式5-1】（2023?同心縣校級二模）如圖，⊙O的半徑為10，弦AB＝16，M是弦AB上的動點，則OM不可能為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，利用垂徑定理求得OM的最大值與最小值，由此即可得出結論．【解答】解：過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，如圖，∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12∴OC=O∵垂線段最短，∴點M與點C重合時，OM取得最小值6，當點M與點A，B重合時，OM取得最大值10，∴6≤OM≤10．∴OM不可能為5，故選：A．【點評】本題主要考查了圓的有關性質，垂徑定理，勾股定理，正確利用上述定理與性質求得OM的最大值與最小值是解題的關鍵．【變式5-2】（2022秋?桃城區(qū)校級期末）如圖，已知⊙O的直徑為26，弦AB＝24，動點P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若點M、N分別是弦AB、PQ的中點，則線段MN的取值范圍是（）A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16【分析】連接OM、ON、OA、OP，由垂徑定理得OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=12PQ＝5，由勾股定理得OM＝5，ON＝12，當AB∥PQ時，M、O、N三點共線，當AB、PQ位于O的同側時，線段MN的長度最短＝ON﹣OM＝7，當AB、PQ位于O的兩側時，線段EF的長度最長＝【解答】解：連接OM、ON、OA、OP，如圖所示：∵⊙O的直徑為26，∴OA＝OP＝13，∵點M、N分別是弦AB、PQ的中點，AB＝24，PQ＝10，∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM=12AB＝12，PN=∴OM=132?1當AB∥PQ時，M、O、N三點共線，當AB、PQ位于O的同側時，線段MN的長度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，當AB、PQ位于O的兩側時，線段MN的長度最長＝ON+OM＝12+5＝17，∴線段MN的長度的取值范圍是7≤MN≤17，故選：A．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．【變式5-3】如圖，⊙O的直徑為10，A、B、C、D是⊙O上的四個動點，且AB＝6，CD＝8，若點E、F分別是弦AB、CD的中點，則線段EF長度的取值范圍是（）A．1≤EF≤7 B．2≤EF≤5 C．1＜EF＜7 D．1≤EF≤6【分析】連接OE、OF、OA、OC，由垂徑定理得OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=12CD＝4，由勾股定理得OE＝4，OF＝3，當AB∥CD時，E、O、F三點共線，當AB、CD位于O的同側時，線段EF的長度最短＝OE﹣OF＝1，當AB、CD位于O的兩側時，線段EF的長度最長＝【解答】解：連接OE、OF、OA、OC，如圖所示：∵⊙O的直徑為10，∴OA＝OC＝5，∵點E、F分別是弦AB、CD的中點，AB＝6，CD＝8，∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE=12AB＝3，CF=∴OE=OA2?A當AB∥CD時，E、O、F三點共線，當AB、CD位于O的同側時，線段EF的長度最短＝OE﹣OF＝1，當AB、CD位于O的兩側時，線段EF的長度最長＝OE+OF＝7，∴線段EF的長度的取值范圍是1≤EF≤7，故選：A．【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及線段的最值問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．題型六利用垂徑定理求面積題型六利用垂徑定理求面積【例題6】（2023?石城縣模擬）如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE＝2，AE＝3，則△ACB的面積為（）A．3 B．5 C．6 D．8【分析】根據(jù)垂徑定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：∵CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，AE＝3，∴AB＝2AE＝6，∴△ACB的面積為12×AB×CE故選：C．【點評】本題考查了三角形的面積，垂徑定理的應用，解此題的關鍵是求出AB的長．解題技巧提煉本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算公式是正確解答的前提．【變式6-1】（2023?澗西區(qū)校級二模）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，連接AO并延長，交⊙O于點E，連接BE，DE．若DE＝3DO，AB=45，則△ODEA．4 B．32 C．25 【分析】先根據(jù)垂徑定理得到AD＝BD＝25，則BE＝2OD，再根據(jù)圓周角定理得到∠B＝90°，接著利用勾股定理得到BD2+BE2＝DE2，從而可求出OD，然后利用三角形面積公式計算．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝2∵OA＝OE，∴OD為△ABE的中位線，∴BE＝2OD，∵AE為直徑，∴∠B＝90°，在Rt△BDE中，∵BD2+BE2＝DE2，∴（25）2+（2OD）2＝（3OD）2，解得OD＝2，∴△ODE的面積=12OD?BD=12×故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱藞A周角定理和勾股定理．【變式6-2】（2022秋?玄武區(qū)校級月考）如圖所示，小區(qū)內有個圓形花壇O，點C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個花壇的面積為（）A．144π B．256π C．400π D．441π【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出OB2，再根據(jù)圓面積的計算方法進行計算即可．【解答】解：如圖，連接OB，過點O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD過圓心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，即這個花壇的面積為400π．故選：C．【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算，掌握垂徑定理、勾股定理以及圓面積的計算公式是正確解答的前提．【變式6-3】（2022秋?新余期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，則圖中陰影部分的面積為．【分析】利用垂徑定理，得出CH＝DH＝4，由OC＝OD得出Rt△COH≌Rt△DOH，進而得出圖中陰影部分的面積為S△ABD，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，CD＝8，∴CH＝DH＝4，∵OC＝OD，∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），∴S△COH＝S△DOH，故圖中陰影部分的面積為：S△ABD=12AB?DH故答案為：20．【點評】此題主要考查了垂徑定理，得出圖中陰影部分的面積為：S△ABD是解題關鍵．【變式6-4】（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點A，C，D均在⊙O上，點B在⊙O內，且AB⊥BC于點B，BC⊥CD于點C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，則⊙O的面積為（）A．125π4 B．275π4 C．125π9【分析】利用垂徑定理和勾股定理建立方程求出ON，再求出半徑后，根據(jù)圓面積的計算方法進行計算即可．【解答】解：如圖，連接OA、OC，過點O作OM⊥CD于M，MO的延長線于AB延長線交于N，則四邊形BCMN是矩形，∵OM⊥CD，CD是弦，∴CM＝DM=12CD＝1＝∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，設ON＝x，則OM＝8﹣x，在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，∵OA＝OC，∴AN2+ON2＝OM2+CM2，即52+x2＝（8﹣x）2+12，解得x=5即ON=5∴OA2＝52+（52）2=∴S⊙O＝π×OA2=1254故選：A．【點評】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是解決問題的前提，求出半徑是正確解答的關鍵．題型七垂徑定理分類討論問題題型七垂徑定理分類討論問題【例題6】（2023?岱岳區(qū)二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，則AB與CD之間的距離為（）cm．A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【分析】過O點作OE⊥AB于點E，交CD于F點，連接OA、OC，如圖，根據(jù)平行線的性質OF⊥CD，則根據(jù)垂徑定理得到AE＝4cm，CF＝3cm，再分別利用勾股定理計算出OE＝3cm，OF＝4cm，討論：當點O在AB與CD之間時，如圖1，EF＝OF+OE＝7cm；當點O不在AB與CD之間時，如圖2，EF＝OF﹣OE＝1cm．【解答】解：過O點作OE⊥AB于點E，交CD于F點，連接OA、OC，如圖，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=12AB＝4cm，CF＝DF=12在Rt△OAE中，∵OA＝5cm，AE＝4cm，∴OE=52?在Rt△OCF中，∵OC＝5cm，CF＝3cm，∴OF=52?當點O在AB與CD之間時，如圖1，EF＝OF+OE＝4+3＝7（cm）；當點O不在AB與CD之間時，如圖2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1（cm）；綜上所述，EF的值為1cm或7cm，即AB與CD之間的距離為1cm或7cm．故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚忸}技巧提煉當遇到求兩平行弦間的距離或者是弓形高的等問題時在沒有給出圖形的情況下，要進行分類討論,同時要利用垂徑定理和勾股定理來解決問題.【變式7-1】已知弓形的弦長為8cm，所在圓的半徑為5cm，則弓形的高為．【分析】過O作直徑OC⊥AB于D，連接OA，則CD是弓形的高或DE是弓形的高，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)勾股定理求出OD，即可求出答案．【解答】解：過O作直徑OC⊥AB于D，連接OA，則CD是弓形的高或DE是弓形的高，∵CE⊥AB，CE為直徑，∴AD＝DB=12AB＝4在Rt△ADO中，由勾股定理得：AO2＝AD2+OD2，52＝42+OD2，OD＝3，∴CD＝5cm﹣3cm＝2cm，DE＝5cm+3cm＝8cm．故答案為：2cm或8cm．【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，關鍵是能根據(jù)得出方程．【變式7-2】已知⊙O的直徑AB＝20，弦CD⊥AB于點E，且CD＝16，則AE的長為．【分析】分兩種情況討論，應用勾股定理，垂徑定理，求出OE的長，即可解決問題．【解答】解：（1）當CD在點O右側，連接OC，∵直徑AB⊥CD，∴CE＝12CD∴OE＝OC2?CE∴AE＝AO+OE＝10+6＝16；（2））當CD在點O左側，連接OC，∵直徑AB⊥CD，∴CE＝12CD∴OE＝OC2?CE∴AE＝AO﹣OE＝10﹣6＝4．故答案為：16或4．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵是分兩種情況討論．【變式7-3】（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為．【分析】連接OA，由AB⊥CD，設OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，根據(jù)CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根據(jù)垂徑定理得到AM＝4，然后分類討論：當如圖1時，CM＝8；當如圖2時，CM＝2，再利用勾股定理分別計算即可．【解答】解：連接OA，∵OM：OC＝3：5，設OC＝5x，OM＝3x，則DM＝2x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM=12在Rt△OAM中，OA＝5，AM=O當如圖1時，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC=A當如圖2時，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC=A綜上所述，AC的長為45或25．故答案為：45或25．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。}型八垂徑定理與證明題型八垂徑定理與證明【例題8】（2022秋?鄒城市校級期末）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過AB中點E的直徑MN與CD交于F點，求證：CF＝DF．【分析】由垂徑定理得MN⊥AB，再證MN⊥CD，然后由垂徑定理即可得出結論．【解答】證明：∵E為AB中點，MN過圓心O，∴MN⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴CF＝DF．【點評】本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理，證明MN⊥CD是解題的關鍵．解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關鍵．【變式8-1】如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點，OC＝OD，求證：AC＝BD．【分析】作OH⊥AB于H，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH，而OC＝OD，由等腰三角形三線合一的性質得OH平分CD，然后即可證得AC＝BD．【解答】證明：作OH⊥AB于H，如圖，則AH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH，∴CH﹣AH＝DH﹣BH，即AC＝BD．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱说妊切稳€合一的性質．【變式8-2】（2020秋?金州區(qū)校級期末）如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，求證：AD＝BC．【分析】過點O作OE⊥AB，由等腰三角形的性質可知AE＝BE，再由垂徑定理可知CE＝DE，故可得出結論．【解答】證明：過點O作OE⊥AB，∵OE⊥AB，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE+DE＝BE+CE，即AD＝BC．【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關鍵．【變式8-3】（2023春?蕭縣月考）如圖1，AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB，分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形ADOE是矩形，根據(jù)垂徑定理得出OD＝OE，即可判定矩形ADOE是正方形；（2）連接AC，由圓心角、弦的關系可得AB＝CD，由圓周角定理可得∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=12∠AOD＝45°，可證【解答】（1）證明：∵AB，AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠A＝∠ADO＝∠AEO＝90°，∴四邊形ADOE是矩形，∵AB，AC是⊙O的等垂弦，∴AB＝AC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，∴矩形ADOE是正方形．（2）證明：設AB交CD于點E，連接AC，∵OD⊥OA，OC⊥OB，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，∵∠BAC=12∠BOC＝45°，∠ACD=1∴∠BEC＝∠ACB+∠BAC＝90°，∴AB⊥CD，∵AB＝CD，AB⊥CD，∴AB，CD是⊙O的等垂弦．【點評】本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的定義是解題關鍵．題型九利用垂徑定理解決實際問題題型九利用垂徑定理解決實際問題【例題9】（2023?薛城區(qū)二模）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．10m B．8m C．6m D．5m【分析】設半徑為r，再根據(jù)圓的性質及勾股定理，可求出答案．【解答】解：設半徑為rm，則OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m，∵AB＝8m，∴AD＝4m，在Rt△ODA中，有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5m，則該槳輪船的輪子直徑為10m．故選：A．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關鍵在于知道OC垂直平分AB這個隱藏的條件．解題技巧提煉利用垂徑定理建模解決實際問題，先把實際問題轉化為幾何圖形（圓或半圓），巧用弦的一半、圓的半徑和過圓心的垂線段組成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解.【變式9-1】（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（）A．53m B．2m C．83【分析】取圓心為O，連接OA，由垂徑定理設⊙O的半徑為rm，則OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂徑定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出該拱門的半徑為5【解答】解：如圖，取圓心為O，連接OA，設⊙O的半徑為rm，則OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5∴該拱門的半徑為53m故選：A．【點評】本題考查了垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解決問題的關鍵．【變式9-2】（2023?岳麓區(qū)校級模擬）把半徑為5cm的球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm【分析】設球心為O，過O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，結合題意可解得OF＝5cm，OM＝3cm，根據(jù)勾股定理求得MF，最后由垂徑定理求得結果．【解答】解：如圖，設球心為O，過O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，由題意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，∵CD＝8cm，∴MN＝8cm，∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），∵MN⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，∴MF=O∴EF＝2FM＝8cm，故選：A．【點評】本題考查垂徑定理，涉及到圓的基本性質，勾股定理等知識，掌握求弦長通常運用垂徑定理構造直角三角形的方法是解題的關鍵．【變式9-3】（2022?旌陽區(qū)二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為4米，⊙O半徑長為3米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．2米 C．(3?5)米 D．【分析】連接OC，OC交AB于D，由垂徑定理得AD＝BD=12AB＝2（米），再由勾股定理得OD=5【解答】解：連接OC，OC交AB于D，由題意得：OA＝OC＝3米，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝2（米），∠∴OD=O∴CD＝OC﹣OD＝（3?5即點C到弦AB所在直線的距離是（3?5故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．【變式9-4】（2022秋?下城區(qū)校級月考）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為30m，拱高PM為9m，當洪水泛濫到跨度只有15m時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有2m，即PN＝2m時，試求：（1）拱橋所在的圓的半徑；（2）通過計算說明是否需要采取緊急措施．【分析】（1）由垂徑定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半徑；（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），則A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出結論．【解答】解：（1）設圓弧所在圓的圓心為O，連接OA、OA′，設半徑為xm，則OA＝OA′＝OP，由垂徑定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，∴AM=12AB＝15（在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱橋所在的圓的半徑為17m；（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=OA′2∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，∴不需要采取緊急措施．【點評】本題主要考查垂徑定理的應用以及勾股定理的應用，利用勾股定理求得圓弧所在的半徑是解題的關鍵，注意方程思想的應用．題型十垂徑定理與平面直角坐標系的綜合應用題型十垂徑定理與平面直角坐標系的綜合應用【例題10】（2023?城西區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點P在第一象限，⊙P與x軸交于O，A兩點，點A的坐標為（6，0），⊙P的半徑為13，則點P的坐標為（）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，1） D．（2，2）【分析】作PB⊥AO交AO于B，根據(jù)垂徑定理可知B是OA的中點，繼而求出B的坐標，得出AB的值，可得結論．【解答】解：作PB⊥AO交AO于B，連接AP，∵PB⊥AO，∴B是OA的中點，∵點A（6，0），∴AB＝OB＝3，∵Rt△PBA中，AP=13，AB∴PB=(∴P（3，2）．故選：A．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．解題技巧提煉利用垂徑定理在平面直角坐標系中求點的坐標或弦長，一般是過圓心作直線的垂線，由弦心矩、半徑、弦長的一半構成直角三角形，然后利用勾股定理及其它幾何知識求出點的坐標或線段長.【變式10-1】（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，半徑為5的⊙A與y軸交于點B（0，2）、C（0，10），則點A的橫坐標為（）A．﹣3 B．3 C．4 D．6【分析】過A作AD⊥BC于D，連接AB，根據(jù)點B和點C的坐標求出BC，再根據(jù)垂徑定理求出BD＝CD＝4，根據(jù)勾股定理求出AD即可．【解答】解：過A作AD⊥BC于D，連接AB，∵半徑為5的⊙A與y軸交于點B（0，2）、C（0，10），∴AB＝5，BC＝10﹣2＝8，OB＝2，∵AD⊥BC，AD過圓心A，∴CD＝BD＝4，由勾股定理得：AD=A∴點A的橫坐標是3，故選：B．【點評】本題考查了坐標與圖形性質，垂徑定理等知識點，能根據(jù)垂徑定理求出BD＝CD＝4是解此題的關鍵．【變式10-2】（2022秋?興義市期中）如圖，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半徑為5的⊙A經(jīng)過M、N，則A點坐標為（）A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）【分析】過A作AB⊥NM于B，連接AM，根據(jù)垂徑定理求出BN＝BM＝3，根據(jù)勾股定理求出AB，求出OB，即可得出答案．【解答】解：過A作AB⊥NM于B，連接AM，∵AB過A，∴MB＝NB，∵半徑為5的⊙A與y軸相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB=5∴點A的坐標為（﹣4，﹣6），故選：D．【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能根據(jù)垂徑定理求出BM和BN是解此題的關鍵．【變式10-3】（2023?沙市區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與y軸相切于原點O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點，若點M的坐標是（﹣4，﹣2），則點N的坐標為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）