湖南長(zhǎng)沙市一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

湖南長(zhǎng)沙市一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－22．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（）A. B.C. D.3．已知，，若，則xy的最小值是（）A. B.C. D.4．集合，，則（）A. B.C. D.5．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬(wàn)元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬(wàn)元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.57．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.8．已知雙曲線，其漸近線方程為，則a的值為（）A. B.C. D.29．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問(wèn)，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級(jí)遞減石分這些俸糧，問(wèn)，每個(gè)人各分得多少俸糧？在這個(gè)問(wèn)題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石11．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.12．過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是_________.14．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為_(kāi)__.15．若直線l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，則l的斜率取值范圍為_(kāi)________________；其傾斜角的取值范圍為_(kāi)________________.16．直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖像為曲線，點(diǎn)、.（1）設(shè)點(diǎn)為曲線上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)（用表示）；（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求證：為常數(shù)；（3）由（2）可知，曲線為雙曲線，請(qǐng)研究雙曲線的性質(zhì)（從對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率四個(gè)角度進(jìn)行研究）.18．（12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值20．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測(cè)量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個(gè)月的平均身高；（2）求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結(jié)論預(yù)測(cè)一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高參考公式：21．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓A：的圓心為A，過(guò)點(diǎn)B(，0)任作直線l交圓A于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)B作與AD平行的直線交AC于點(diǎn)E.（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡與y軸正半軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且斜率為k1，k2的兩直線交動(dòng)點(diǎn)E的軌跡于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，若，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數(shù)列成等差數(shù)列（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，且，試求滿足條件的所有正整數(shù)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，在軸上的截距最大，最小，此時(shí)，故選：D2、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.3、C【解析】對(duì)使用基本不等式，這樣得到關(guān)于的不等式，解出xy的最小值【詳解】因?yàn)椋?，由基本不等式得：，所以，解得：，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立故選：C4、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【詳解】解不等式得：，則有，解不等式，解得或，則有或，所以為.故選：A.5、D【解析】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)用總和為，設(shè)第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.6、B【解析】由以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得的值，再結(jié)合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.7、C【解析】設(shè)直線l傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率是，可得，又因?yàn)?，所以，即直線的傾斜角為.故選：C.8、A【解析】由雙曲線方程，根據(jù)其漸近線方程有，求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線，結(jié)合雙曲線方程，∴，可得.故選：A.9、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.10、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求，進(jìn)而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.11、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D12、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】由題可知表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，再畫(huà)出可行域結(jié)合圖像知知.【詳解】x，y滿足約束條件，滿足的可行域如圖：則的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與（﹣3，﹣2）連線的斜率，通過(guò)分析圖像得到當(dāng)經(jīng)過(guò)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由可得A（﹣2，3），則的最大值是：故答案為5【點(diǎn)睛】(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見(jiàn)的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值14、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標(biāo)為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.15、①.②.【解析】根據(jù)直線l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，利用斜率公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；設(shè)其傾斜角為，，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，16、【解析】如圖，設(shè)，兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為，，過(guò)作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，利用在直角三角形中，求得，從而得出直線的斜率【詳解】解：如圖，當(dāng)在第一象限時(shí)，設(shè)，兩點(diǎn)的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為，，過(guò)作的垂線，在三角形中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，由拋物線的定義可知：設(shè)，則，，，在直角三角形中，，所以，則直線的斜率；當(dāng)在第四象限時(shí)，同理可得，直線的斜率，綜上可得直線l的斜率為；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）具體見(jiàn)解析；（3）具體見(jiàn)解析.【解析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求出距離，進(jìn)而將式子化簡(jiǎn)即可；（2）求出，進(jìn)而討論兩種情況，然后結(jié)合基本不等式即可證明問(wèn)題；（3）根據(jù)為雙曲線的焦點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的圖形特征即可求得該雙曲線的相關(guān)性質(zhì).【小問(wèn)1詳解】由題意，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1），.若x>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.若x<0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，，所以.綜上：，為常數(shù).【小問(wèn)3詳解】易知函數(shù)：為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由（2）可知，曲線為雙曲線，為雙曲線的焦點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱，還關(guān)于與垂直且過(guò)原點(diǎn)的直線對(duì)稱.，則，易得.綜上：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱.容易知道，直線是雙曲線C的漸近線.易知線段是雙曲線的實(shí)軸，將代入雙曲線解得頂點(diǎn)：.于是實(shí)軸長(zhǎng)為焦距為，則離心率.18、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值，從而求得的值.【小問(wèn)1詳解】由，得，令，得或；令，得.∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問(wèn)2詳解】∵，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，；單調(diào)遞增區(qū)間為.∴的極小值為，極大值為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又∵函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)的值為.19、，因此.,當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元【解析】解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為.再由，得，因此.而建造費(fèi)用為最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元20、（1）62；（2）；（3）74.【解析】（1）直接利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問(wèn)1詳解】小孩前7個(gè)月的平均身高為.【小問(wèn)2詳解】(2)設(shè)回歸直線方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.，..計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分,所以,于是，所以身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程為.【小問(wèn)3詳解】由(2)知,.當(dāng)x=8時(shí),y=3×8+50=74,所以預(yù)測(cè)8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高為74厘米.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)作出圖象，易知|EB|＋|EA|為定值，根據(jù)橢圓定義即可判斷點(diǎn)E的軌跡，從而寫(xiě)出其軌跡方程；(2)設(shè)，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，聯(lián)立MN方程和E的軌跡方程得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)解出k與m的關(guān)系即可以判斷MN過(guò)定點(diǎn)；最后再考慮MN斜率不存在時(shí)是否也過(guò)該定點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】由圓A：可得(，∴圓心A(－，0)，圓的半徑r＝8，，，可得，，，由橢圓的定義可得：點(diǎn)E的軌跡是以A(，0)、B(，0)為焦點(diǎn)，2a＝8的橢圓，即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，P(0，3)，設(shè)，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，由，可得，∴，，∵，∴，即，整理可得：，∴k＝m＋3或m＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，直線MN的方程為：，此時(shí)過(guò)點(diǎn)P(0，3)不符合題意，∴k＝m＋3，∴直線MN的方程為：此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)(－1，－3)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，，解得，此時(shí)直線MN的方程為：，過(guò)點(diǎn)(－1，－3)，綜上所述：直線MN過(guò)定點(diǎn)(－1，－3).22、（1）；詳見(jiàn)解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條