云南省曲靖市沾益區(qū)第一中學2025屆高二上數(shù)學期末質量檢測試題含解析

云南省曲靖市沾益區(qū)第一中學2025屆高二上數(shù)學期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某綜合實踐小組設計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉一周，得到花瓶的側面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結果如下表所示學生甲乙丙丁估算結果（）其中估算結果最接近花瓶的容積的同學是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．劉徽是一個偉大的數(shù)學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的數(shù)學遺產(chǎn)，他所提出的割圓術可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.割圓術的第一步是求圓的內接正六邊形的面積.若在圓內隨機取一點，則此點取自該圓內接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.3．已知命題：，；命題：，使，若“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.335．數(shù)列中，滿足，，設，則（）A. B.C. D.6．雙曲線的左焦點到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.7．數(shù)列滿足，對任意，都有，則（）A. B.C. D.8．如圖所示，已知三棱錐，點，分別為，的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.9．將一張坐標紙折疊一次，使點與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，，若對于任意的，存在唯一的，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]11．在平面直角坐標系中，直線+的傾斜角是（）A. B.C. D.12．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則___________.14．已知拋物線C：，經(jīng)過點P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，且點P恰為AB的中點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則______15．已知雙曲線左、右焦點分別為，，點P是雙曲線左支上一點且，則______16．已知雙曲線的漸近線方程為，，分別為C的左，右焦點，若動點P在C的右支上，則的最小值是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每種單價（元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量（冊）數(shù)據(jù)：單價（元）1819202122銷量（冊）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請建立關于的回歸直線方程：（2）預計今后的銷售中，銷量（冊）與單價（元）服從（l）中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應定為多少元？附：，，，.18．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19．（12分）已知曲線C的方程為（1）判斷曲線C是什么曲線，并求其標準方程；（2）過點的直線l交曲線C于M，N兩點，若點P為線段MN的中點，求直線l的方程20．（12分）已知數(shù)列的首項，前n項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點，使得和面所成角的余弦值為，并說明理由.22．（10分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？（3）當（x為大于8的常數(shù)）時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學的估算，故選：D2、B【解析】此點取自該圓內接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內接正六邊形，該正六邊形是六個邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點睛】此題考查幾何概率模型求解，關鍵在于準確求出正六邊形的面積和圓的面積.3、D【解析】根據(jù)題意，判斷命題和的真假性，結合判別式與二次函數(shù)恒成立問題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由為假命題可得“”為真命題，即p、q都為真命題，故，解得故選：D4、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C5、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因為，，所以，，，因此故選C【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應用，意在考查學生合情推理的意識和數(shù)學建模能力6、A【解析】求出雙曲線焦點坐標與漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得結果.【詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點坐標為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點到漸近線的距離為.故選：A7、C【解析】首先根據(jù)題設條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點睛】本題考查累加法求數(shù)列通項，考查利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}.8、A【解析】連接，先根據(jù)已知條件表示出，再根據(jù)求得結果.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，所以，又因為為的中點，所以，所以，故選：A.9、D【解析】設，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點坐標，折痕與直線AB垂直，進而求出斜率，用點斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點坐標為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D10、B【解析】結合導數(shù)和二次函數(shù)的性質可求出和的值域，結合已知條件可得，，從而可求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導函數(shù)為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當時，，由時，，時，，可得g（x）在[–1，0]上單調遞減，在（0，1]上單調遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對于任意的，．因為開口向下，對稱軸為軸，又，所以當時，，當時，，則函數(shù)在[，2]上的值域為[a–4，a]，且函數(shù)f（x）在，圖象關于軸對稱，在（，2]上，函數(shù)單調遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質，屬于中檔題.本題的難點是這一條件的轉化.11、B【解析】由直線方程得斜率，從而得傾斜角【詳解】由直線方程知直角斜率為，在上正切值為1的角為，即為傾斜角故選：B12、C【解析】分類討論:當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當兩圓外切時，有，此時.②當兩圓內切時，有，此時.綜上，當時兩圓外切；當時兩圓內切.故選：C【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的坐標表示運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：14、9【解析】過A、、作準線的垂線且分別交準線于點、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質得出，進而可求出的結果.【詳解】由拋物線，可知，則，所以拋物線的焦點坐標為，如圖，過點A作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，由拋物線的定義可得，再根據(jù)為線段的中點，而四邊形為梯形，由梯形的中位線可知，則，所以.故答案為：9.15、3【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計算可得；【詳解】解：因為雙曲線為，所以、，因為點P是雙曲線左支上一點且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：16、【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點坐標，求出雙曲線的標準方程；設，根據(jù)雙曲線的定義可知，從而利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標為，，所以，即，所以雙曲線方程為.設，則，且，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤【解析】（l）先計算的平均值，再代入公式計算得到（2）計算利潤為：計算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對的回歸直線方程為：（2）設獲得的利潤為，，因為二次函數(shù)的開口向下，所以當時，取最大值，所以當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤【點睛】本題考查了回歸方程，函數(shù)的最值，意在考查學生的計算能力.18、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.當時，，所以，設平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可判斷并求解；(2)根據(jù)點差法即可求解中點弦斜率和中點弦方程.【小問1詳解】設，，E(x，y)，∵，，且，點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓設橢圓C的方程為，記，則，，，，，曲線的標準方程為【小問2詳解】根據(jù)橢圓對稱性可知直線l斜率存在，設，則，由①－②得，，∴l(xiāng)：，即.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）當時，由，得，兩式相減化簡可得，再對等式兩邊同時減去1，化簡可證得結論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問1詳解】由已知得，.當時，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿足上式，所以對都成立，故數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，，.21、（1）證明見解析；（2）為的中點，理由見解析.【解析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直的性質定理可得出平面，可得出，再由，結合線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設點，利用空間向量法可得出關于實數(shù)的方程，求出的值，即可得出結論.【詳解】（1）取的中點，連接，如圖：因為三角形是等邊三角形，所以，又因為面底面，平面平面，面，所以平面，又面，所以，又，，平面；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，在上找一點，其中，，，，設面的一個法向量，則，不妨令，則，和面所成角的余弦值為，則，解得或（舍），所以，為的中點，符合題意.22、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關系式，根據(jù)當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元即可求解;（2）列出燃料費的函數(shù)解析式，利用導數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結合（2）的結論可得答案.【小問1詳解】設每小時的燃料費為，則當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元，代入得.