2025屆天津市楊村第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆天津市楊村第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為、，左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為若以為直徑的圓與直線相切，則的面積為（）A. B.C. D.2．已知F1、F2是雙曲線E：(a>0，b>0）的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線左、右兩支分別交于點P、Q．若，M為PQ的中點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知點與不重合的點A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，5．若雙曲線的一個焦點為，則的值為（）A. B.C.1 D.6．（一）單項選擇函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（）A.0 B.C.1 D.e7．已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.38．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.89．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則為（）A. B.C. D.10．中，，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.11．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.12．已知橢圓上一點到左焦點的距離為，是的中點，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標(biāo)是_____________14．拋物線的準(zhǔn)線方程是________15．?dāng)?shù)列滿足，，其前n項積為，則______16．雙曲線的離心率______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓焦距為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線上任意一點，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A，B（均異于點M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.19．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點，O為坐標(biāo)原點，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.20．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.21．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機構(gòu)將關(guān)注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機抽取100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822．（10分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】據(jù)三角形中位線可得；再由雙曲線的定義求出，進(jìn)而求出的面積【詳解】雙曲線的方程為：，，設(shè)以為直徑的圓與直線相切與點，則，且，，∥.又為的中點，，又，，的面積為：.故選:C2、D【解析】由題干條件得到，設(shè)出，利用雙曲線定義表達(dá)出其他邊長，得到方程，求出，從而得到，，利用勾股定理求出的關(guān)系，求出離心率.【詳解】因為M為PQ的中點，且，所以△為等腰三角形，即，因為，設(shè)，則，由雙曲線定義可知：，所以，則，又，所以，解得：，由勾股定理得：，其中，在三角形中，由勾股定理得：，即，解得：故選：D3、D【解析】由題意可得兩點的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時，弦長最小，當(dāng)過點時，弦長最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】設(shè)點，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因為兩圓過，所以和，所以兩點的坐標(biāo)滿足圓，因為點與不重合的點A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長最小時，，因為，半徑為2，所以弦長的最小值為，當(dāng)過點時，弦長最長為4，因為，所以當(dāng)弦長最小時，的最大值為，當(dāng)弦長最大時，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D4、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因為命題p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.5、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點在軸，從而可得，再列方程可求得結(jié)果【詳解】因為雙曲線的一個焦點為，所以，，所以，解得，故選：B6、B【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選；B7、D【解析】設(shè)出過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設(shè)過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D8、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設(shè)在第一象限，設(shè)，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D9、B【解析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B10、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.11、B【解析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B12、A【解析】由橢圓的定義得，進(jìn)而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因為由橢圓的定義得，，所以，因為是的中點，是的中點，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標(biāo)為故答案為：14、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解，易錯點是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.15、【解析】根據(jù)數(shù)列的項的周期性，去求的值即可解決.【詳解】由，，可得，，，，，，由此可知數(shù)列的項具有周期性，且周期為4，第一周期內(nèi)的四項之積為1，所以數(shù)列的前2022項之積為故答案為：16、【解析】根據(jù)雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為解出，再把點代入橢圓方程中，即可解出答案.（2）根據(jù)題意求出當(dāng)直線與軸重合時，由求出值，即求出的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使，設(shè)出直線方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，化簡得證，即可得到答案.【小問1詳解】.由于點在橢圓C上，則故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時，是橢圓的左右頂點，不妨設(shè)，設(shè)，則是上的任意一點，即方程對任意實數(shù)都成立，此時的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時，上任意一點均使即可，設(shè)直線的方程為，，設(shè)則由y得證.故的方程為.18、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點可求解；（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點的坐標(biāo)，再通過斜率公式計算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)直線MA的斜率為k，點，因為∠AMB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.19、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長關(guān)系，再計算點到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.20、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結(jié)合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；.21、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān).【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P22、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，