2025屆福建省泉州市數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆福建省泉州市數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.3．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A. B.C. D.5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若、、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離為A B.4C. D.6．在正四面體中，點(diǎn)為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線7．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓9．現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.1510．某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩個(gè)車間中抽取25人進(jìn)行技能考核，則從甲車間抽取的人數(shù)應(yīng)為（）A.5 B.10C.8 D.911．已知直線l和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.212．如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某單位現(xiàn)有三個(gè)部門競(jìng)崗，甲、乙、丙三人每人只競(jìng)選一個(gè)部門，設(shè)事件A為“三人競(jìng)崗部門都不同”，B為“甲獨(dú)自競(jìng)崗一個(gè)部門”，則______.14．如圖，在五面體中，//，，，四邊形為平行四邊形，平面，，則直線到平面距離為_________15．拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則______16．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)，時(shí)，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）已知拋物線C的焦點(diǎn)為，N為拋物線上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，求直線l的方程19．（12分）已知圓D經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.（1）求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與圓D交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，傾斜角為45°的直線m過點(diǎn)F，若此拋物線上存在3個(gè)不同的點(diǎn)到m的距離為，求此拋物線的準(zhǔn)線方程21．（12分）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)F，橢圓上存在點(diǎn)Q，使QF垂直于x軸且.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于D，G兩點(diǎn).是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0）?若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用遞增數(shù)列的定義即可.【詳解】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故選：C2、A【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用直線的斜率公式模型進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：，代數(shù)式表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：直線的斜率最大，由，即，即的最大值為：，因此的最大值為，故選：A3、A【解析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4、C【解析】利用正方體中，，將問題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.5、D【解析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為根據(jù)橢圓方程求得c，進(jìn)而判斷出，即得或令，進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離【詳解】解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M由于，，；，只能或令，得，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力是基礎(chǔ)題6、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進(jìn)一步計(jì)算與平面所成角為，即時(shí)，軌跡為拋物線，時(shí)，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.7、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C8、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對(duì)稱，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.9、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D10、B【解析】根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數(shù)為人故選：B11、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B12、C【解析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).【詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯(cuò)誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補(bǔ)角為與所成的角，因?yàn)?，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號(hào)為：③④.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點(diǎn)與正方體中的頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本題屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】根據(jù)給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：14、【解析】利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，作，利用線面垂直的判定定理證明平面，然后計(jì)算使用等面積法，可得結(jié)果.【詳解】作如圖由//，平面，平面所以//平面所以直線到平面距離等價(jià)于點(diǎn)到平面距離又平面，平面所以，又，則平面，，所以平面平面，所以又平面，所以平面所以點(diǎn)到平面距離為由，所以又，所以在中，又故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的綜合應(yīng)用以及等面積法求高，重點(diǎn)在于使用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，考驗(yàn)理解能力，分析問題的能力，屬中檔題.15、2【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)直接求解可得.【詳解】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故答案為：216、相交【解析】由題意知，兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，故兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓的位置關(guān)系為相交三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留數(shù)列的遞推關(guān)系，根據(jù)題干提示來證明，注意證明首項(xiàng)不是零；（2）利用裂項(xiàng)求和來解決.【小問1詳解】證明：由題意，當(dāng)時(shí)，即，，整理，得，，，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，，則，，，，，各項(xiàng)相加，可得，當(dāng)n=1成立，故18、（1）（2）或【解析】（1）拋物線的方程為，利用拋物線的定義求出點(diǎn)N，代入拋物線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及焦半徑公式可得或，即求.【小問1詳解】拋物線的方程為，設(shè)，依題意，由拋物線定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)直線的方程為，，，由，得.因?yàn)?，故所?由題設(shè)知，解得或，因此直線方程為或.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，解得，所以圓D標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】解：由（1）可知圓心，半徑，所以圓心D（1，0）到直線l：的距離，所以.20、【解析】設(shè)出直線m的方程，利用方程組聯(lián)立、一元二次方程根的判別式求出與直線m平行的拋物線的切線方程，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)直線m為，設(shè)為與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡(jiǎn)整理可得，，則，解得，且，故兩平行線間的距離，解得，故所求的準(zhǔn)線方程為21、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得，則橢圓方程得解；（2）對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化題意為，求解即可.小問1詳解】由題意，得，設(shè)，將代入橢圓方程，得，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)斜率不存在時(shí)，即時(shí)，，為橢圓短軸兩端點(diǎn)，則以為直徑的圓為，恒過點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，，解得：，，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則，即，又，，，解得：，滿足，即，此時(shí)直線的方程為綜上，存在直線使得以為直徑的圓過點(diǎn)，的方程為或22、（1）答