2025屆延安市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆延安市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線(xiàn)l交C與A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線(xiàn)C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，若過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C左右兩支交于M、N兩點(diǎn)，且MF1NF1，則雙曲線(xiàn)C的離心率是（）A.2 B.C. D.3．已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C.4 D.94．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.505．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.6．如下圖，邊長(zhǎng)為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點(diǎn)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為17．設(shè)，直線(xiàn)，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.99．焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.y2=-4x B.y2=4xC.x2=-4y D.x2=4y10．設(shè)是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn),且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.4811．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于E的兩個(gè)焦點(diǎn)處，則E的離心率為（）A. B.C. D.12．在中，，，，若該三角形有兩個(gè)解，則范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知遞增數(shù)列共有2021項(xiàng)，且各項(xiàng)均不為零，，如果從中任取兩項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，則的范圍是________________，數(shù)列的所有項(xiàng)和________14．過(guò)拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則線(xiàn)段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____15．命題，恒成立是假命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________________16．甲、乙兩名學(xué)生通過(guò)某次聽(tīng)力測(cè)試的概率分別為和，且是否通過(guò)聽(tīng)力測(cè)試相互獨(dú)立，兩人同時(shí)參加測(cè)試，其中有且只有一人能通過(guò)的概率是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線(xiàn)（1）求證：對(duì)，直線(xiàn)l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)18．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.19．（12分）已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，k是該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當(dāng)k取最大值時(shí)，該曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程21．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，直線(xiàn)、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程；（3）在第（2）問(wèn)條件下，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)時(shí)的面積是否達(dá)到最大？并說(shuō)明理由.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得△AF1B的周長(zhǎng)為4a，由題意求出a，結(jié)合離心率計(jì)算即可求出c，再求出b即可.【詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長(zhǎng)為，又△AF1B的周長(zhǎng)為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.2、C【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合矩形的性質(zhì)、雙曲線(xiàn)的定義、離心率公式、余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F2，過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線(xiàn)為，設(shè)M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因?yàn)?，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質(zhì)可知：，由雙曲線(xiàn)的定義可知：，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用矩形的性質(zhì)、雙曲線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【詳解】設(shè)，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B4、B【解析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.5、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項(xiàng)公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.6、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A,B,C；對(duì)D，算出平面MON的法向量，進(jìn)而求出向量在該法向量方向上投影的絕對(duì)值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.對(duì)A，，則，則A正確；對(duì)B，，則，則B正確；對(duì)C，，則C正確；對(duì)D，設(shè)平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯(cuò)誤.故選：D.7、A【解析】由可求得實(shí)數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B9、B【解析】由題意設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px（p＞0），結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求得p，則答案可求【詳解】由題意可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px（p＞0），由焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），得，即p=2∴拋物的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線(xiàn)的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了焦點(diǎn)三角形以及橢圓的定義運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.11、B【解析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B12、D【解析】根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】三角形有兩個(gè)解，，即.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.1011【解析】根據(jù)題意得到，得到，，，，進(jìn)而得到，從而即可求得的值.【詳解】由題意，遞增數(shù)列共有項(xiàng)，各項(xiàng)均不為零，且，所以，所以的范圍是，因?yàn)闀r(shí)，仍是數(shù)列中的項(xiàng)，即，且上述的每一項(xiàng)均在數(shù)列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案為：；.14、【解析】根據(jù)題意，作出拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)圖，求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線(xiàn)方程，分析可得為直角梯形中位線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的定義分析可得答案【詳解】如圖，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，分別過(guò)，作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，，則有過(guò)的中點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則為直角梯形中位線(xiàn)，則，即，解得.所以的橫坐標(biāo)為故答案為：15、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.16、##0.5【解析】分兩種情況，結(jié)合相互獨(dú)立事件公式即可求解.【詳解】記甲，乙通過(guò)聽(tīng)力測(cè)試的分別為事件，則可得，兩人有且僅有一人通過(guò)為事件，故所求事件概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，只需判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)部，即可證結(jié)論.（2）由點(diǎn)線(xiàn)距離公式求弦心距，再利用半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的幾何關(guān)系求弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線(xiàn)與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得證.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，又的圓心為，半徑為，所以到直線(xiàn)的距離，所以所求弦長(zhǎng)為18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構(gòu)造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和，由單調(diào)性求出最大整數(shù)m值作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于是得，所以使不等式成立的最大整數(shù)m的值是505.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的19、或【解析】先分別求出，為真時(shí)，的范圍；再求交集，即可得出結(jié)果.【詳解】若是真命題．則對(duì)任意恒成立，∴；若為真命題，則方程有實(shí)根，∴，解得或，由題意，真也真，∴或即實(shí)數(shù)的取值范圍是或.20、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點(diǎn)，從而也確定的斜率就可以求切線(xiàn).【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以k的取值范圍為【小問(wèn)2詳解】由（1）知，此時(shí)，即，所以此時(shí)曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為21、（1）；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，的面積達(dá)到最大，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)，可得出，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，即可得出直線(xiàn)的方程；（3）設(shè)與直線(xiàn)平行且與橢圓相切的直線(xiàn)的方程為，將該直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為零可求得，分析可知當(dāng)點(diǎn)為直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，的面積達(dá)到最大，求出直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)坐標(biāo)，可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋O(shè)，則，，所以，橢圓的方程可表示為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則軸，故直線(xiàn)、的傾斜角互補(bǔ)，易知點(diǎn)，若直線(xiàn)軸，則、為橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)、，則，，，不合乎題意.所以，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，則，所以，解得，因此，直線(xiàn)的方程為.【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)與直線(xiàn)平行且與橢圓相切的直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得（*），，解得，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)為直線(xiàn)與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積取最大值，當(dāng)時(shí)，方程（*）為，解得，此時(shí)，即點(diǎn).此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，因此，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，的面積達(dá)到最大.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值22、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以