2025屆遼寧省沈陽(yáng)市鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆遼寧省沈陽(yáng)市鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.2．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.3．已知等比數(shù)列中，，則由此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.4．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.5．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－196．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)首日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：有一個(gè)人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達(dá)目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里7．4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A.24種 B.81種C.64種 D.256種8．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿(mǎn)足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無(wú)法判斷9．如圖，用隨機(jī)模擬方法近似估計(jì)在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中陰影部分的面積，先產(chǎn)生兩組區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)和，因此得到1000個(gè)點(diǎn)對(duì)，再統(tǒng)計(jì)出落在該陰影部分內(nèi)的點(diǎn)數(shù)為260個(gè)，則此陰影部分的面積約為（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.9210．直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是正三角形，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.11．已知空間向量，則（）A. B.C. D.12．已知點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，分別是橢圓C：左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(kāi)__________14．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，公差，則當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和最大時(shí)，___________15．已知三棱錐中，平面BCD，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)____.16．命題，恒成立是假命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為（1）求橢圓方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，，成等比數(shù)列，求的值18．（12分）已知橢圓，點(diǎn)在上，，且（1）求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；（不需要證明）（2）過(guò)A點(diǎn)作的垂線，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.19．（12分）在等差數(shù)列中，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的值.20．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．（12分）已知圓：，定點(diǎn)，Q為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在半徑CQ上，且，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H與AB垂直的直線與x軸交于點(diǎn)N，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線AB的方程.22．（10分）平行六面體，（1）若，，，，，，求長(zhǎng)；（2）若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)，推出；根據(jù)，進(jìn)而推導(dǎo)出，結(jié)合拋物線定義求出；最后由相似比推導(dǎo)出，即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，,設(shè)與交于點(diǎn).設(shè)，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A2、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計(jì)算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以，，，，又底面是正方形，所以，，?duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.3、B【解析】確實(shí)新數(shù)列是等比數(shù)列及公比、首項(xiàng)后，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算，【詳解】由題意，新數(shù)列為，所以，，前項(xiàng)和為故選：B.4、B【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.5、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C6、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C7、D【解析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報(bào)名方法有種.故選：D8、A【解析】首先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以，那么，即.故選：A9、D【解析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可直接求出答案.【詳解】易知，根據(jù)幾何概型的概率公式，得，所以.故選：D.10、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于半徑．圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C11、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.12、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).因?yàn)?，所?所以要使直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過(guò)M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：14、3【解析】根據(jù)公式求出前n項(xiàng)和，再利用二次函數(shù)的性質(zhì).【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，所以，當(dāng)時(shí)，取到最大值.故答案為：3.15、【解析】由題意可知三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，進(jìn)而求出三棱柱的外接球的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，故，又因?yàn)槠矫鍮CD，因此三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，如圖：取的中點(diǎn)，則為外接圓的圓心，取的中點(diǎn)，則為外接圓的圓心，則的中點(diǎn)即為外接球的球心，因此，,因此，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：.16、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為，離心率為結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于的方程組，求出從而求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，即可求解【詳解】（1）由已知，，解得，所以橢圓的方程為（2）由（1）得過(guò)點(diǎn)的直線為，由，得，所以，所以，依題意，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，解得，所以，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛（1）求橢圓方程的常用方法：①待定系數(shù)法；②定義法；③相關(guān)點(diǎn)法（2）直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，常將直線方程代入圓錐曲線方程，從而得到關(guān)于（或）的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)），利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系,同時(shí)注意判別式大于零求出參數(shù)的范圍（或者得到關(guān)于參數(shù)的不等關(guān)系），然后將所求轉(zhuǎn)化到參數(shù)上來(lái)再求解．如本題及，聯(lián)立即可求解．注意圓錐曲線問(wèn)題中，常參數(shù)多、字母多、運(yùn)算繁瑣，應(yīng)注意設(shè)而不求的思想、整體思想的應(yīng)用．屬于中檔題.18、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理列出方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解；（2）結(jié)合第一問(wèn)的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直角三角形斜邊中線得到存在點(diǎn)，使得為定值，求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因?yàn)?，所以，即，根?jù)，代入整理可得：，所以，整理化簡(jiǎn)得:，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】由（1）可知因?yàn)?，取中點(diǎn)，則此時(shí)，【點(diǎn)睛】直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時(shí)，設(shè)出直線為，聯(lián)立后用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，結(jié)合題干條件得到等量關(guān)系，求出的關(guān)系，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo).19、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差及首項(xiàng)即可計(jì)算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因，則，解得，于是得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.20、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量d，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式.（2）由（1）得，應(yīng)用累加法、錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求的通項(xiàng)公式.【小問(wèn)1詳解】令公差為d，由得：，解得.所以.【小問(wèn)2詳解】，則，累加整理，得：，①，②②-①得：，又滿(mǎn)足上式，故.21、（1）（2）或【解析】(1)結(jié)合已知條件可得到點(diǎn)P在線段QF的垂直平分線上，然后利用橢圓定義即可求解；(2)結(jié)合已知條件設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出，再設(shè)出直線NH的方程，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出，然后表示出，再利用換元法和均值不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴點(diǎn)P在線段QF垂直平分線上，∴，又∵，∴∴點(diǎn)P在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，且