專題09二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點(diǎn)）

第三部分函數(shù)專題09二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（6大考點(diǎn)）核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心考點(diǎn)二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷核心考點(diǎn)三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷核心考點(diǎn)四二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系核心考點(diǎn)五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用核心考點(diǎn)六二次函數(shù)圖象的變換新題速遞核心考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)y1＜y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)A（m1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x1）2+n的圖象上，∴y1=（m11）2+n=（m2）2+n，y2=（m1）2+n，∵y1＜y2，∴（m2）2+n＜（m1）2+n，∴（m2）2（m1）2＜0，即2m+3＜0，∴m＞，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．例2（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知二次函數(shù)的開口向上，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，∴二次函數(shù)的圖像開口向上，∴a1＞0，即：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．例3（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于m，則m的值為________．【答案】4【分析】由拋物線解析式可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，4），由圖象上恰好只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m可得m=4．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)為（1，4），∴頂點(diǎn)到x軸的距離為4，∵函數(shù)圖象有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為m，∴m=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的概念及表達(dá)式1.一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．2.二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點(diǎn)式：，其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小【變式1】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線過點(diǎn)，，頂點(diǎn)在第四象限，記，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0)、(0,1)即可得到ab=1，c=1，再根據(jù)頂點(diǎn)在第四象限，即可求出a的取值范圍，則P的取值范圍可求．【詳解】∵拋物線過點(diǎn)(1,0)、(0,1)，∴有，且顯然a≠0，∴ab=1，c=1，將拋物線配成頂點(diǎn)式：，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，∴，∵ab=1，∴，解得：，∵P=2ab，ab=1，∴P=2ab=a+ab=a+1，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點(diǎn)和頂點(diǎn)在第四象限求出的a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線過點(diǎn)，，頂點(diǎn)在第四象限，記，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0)、(0,1)即可得到ab=1，c=1，再根據(jù)頂點(diǎn)在第四象限，即可求出a的取值范圍，則P的取值范圍可求．【詳解】∵拋物線過點(diǎn)(1,0)、(0,1)，∴有，且顯然a≠0，∴ab=1，c=1，將拋物線配成頂點(diǎn)式：，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)在第四象限，∴，∵ab=1，∴，解得：，∵P=2ab，ab=1，∴P=2ab=a+ab=a+1，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點(diǎn)和頂點(diǎn)在第四象限求出的a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·江蘇鹽城·濱?？h第一初級(jí)中學(xué)校考三模）如圖1，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)A、P，如果將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PB，就稱點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”．如圖2，已知點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”，連接AB、OB，則OB的最小值是______．【答案】【分析】①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)≥0時(shí)，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，由△BPC≌△PAO可得BC=PO，PC=AO，設(shè)OP長(zhǎng)度為x由兩點(diǎn)距離公式建立二次函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)＜0時(shí)，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，同理可得OB的表達(dá)式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求值即可；【詳解】解：①當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)≥0時(shí)如圖，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，則∠CBP=∠OPA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PB=PA，△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，∴△BPC≌△PAO（AAS），∴BC=PO，PC=AO，設(shè)OP長(zhǎng)度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）∴∵x≥0，∴x=0時(shí)OB最小，最小值為4，②當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)＜0時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作BC⊥y軸于C，同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，設(shè)OP長(zhǎng)度為x，則PC=AO=4，BC=x，B（x，4x）∴∵x＞0，∴x=2時(shí)OB最小，最小值為，綜上所述：OB最小值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)P點(diǎn)位置分類討論是解題關(guān)鍵．【變式4】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)，點(diǎn)，則互異二次函數(shù)與正方形OABC有公共點(diǎn)時(shí)m的最大值是__________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系得出拋物線頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合正方形的位置，則可得到當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)m取最大值，依此列式求解即可．【詳解】解：∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為,∴拋物線頂點(diǎn)在直線y=x上移動(dòng)，∵四邊形AOBC為正方形，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（2，0），∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，m取最大值，將代入中，則，解得或（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)和圖象平移的特點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及圖象平移的特點(diǎn)．【變式5】（2021·湖北隨州·一模）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，其頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且過點(diǎn)P作，分別交拋物線于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，連接，．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；用含，的式子表示(2)猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)若，，求的值．【答案】(1)點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為、、(2)，理由見解析(3)【分析】（1），求出x的值，可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，令，求出y的值，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入解析式，求出點(diǎn)D，E的橫坐標(biāo),進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)度，即可得出；（3）當(dāng)時(shí)，求出OP，PC，PD，再通過導(dǎo)角證明，得出，進(jìn)而得出，代入即可求解．（1）解：對(duì)于，令，解得，令，則，故點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為、、；（2）解：，理由：∵，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，∴，∴，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，則，解得，則，由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得：，∴；（3）解：當(dāng)時(shí)，由知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，∴，，，，∵，∴，又∵，，，∴，即，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，有一定的綜合性，難度適中，第三問利用三角函數(shù)或三角形相似均可得出，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．核心考點(diǎn)二與二次函數(shù)圖象有關(guān)的判斷例1（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)均在拋物線上，下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】解：由圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，有A．若，則，原說法錯(cuò)誤；B．若，則，原說法錯(cuò)誤；C．若，則，原說法錯(cuò)誤；D．若，則，原說法正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．例2（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）用數(shù)形結(jié)合等思想方法確定二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，來判斷出交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在的范圍．【詳解】解：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖：由圖知，顯然，當(dāng)時(shí)，將其分別代入與計(jì)算得；，，此時(shí)反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象的上方，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是：準(zhǔn)確畫出函數(shù)的圖象，再通過關(guān)鍵點(diǎn)得出答案．例3（2020·廣西貴港·中考真題）如圖，對(duì)于拋物線，，，給出下列結(jié)論：①這三條拋物線都經(jīng)過點(diǎn)；②拋物線的對(duì)稱軸可由拋物線的對(duì)稱軸向右平移1個(gè)單位而得到；③這三條拋物線的頂點(diǎn)在同一條直線上；④這三條拋物線與直線的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______________．【答案】①②④【分析】根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)及配方法解題．【詳解】將分別代入拋物線，，中，可知，這三條拋物線都經(jīng)過點(diǎn)C，故①正確；拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線的對(duì)稱軸為，可由向右平移1個(gè)單位而得到，故②正確；拋物線的頂點(diǎn)為A拋物線的頂點(diǎn)為B拋物線的頂點(diǎn)為C，三條拋物線的頂點(diǎn)不在同一條直線上，故③錯(cuò)誤；將分別代入三條拋物線，得0或1，0或2，0或3，可知，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等，故④正確，綜上所述，正確的是①②④，故選：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，其中涉及將一般式化為頂點(diǎn)式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)、拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.知識(shí)點(diǎn)、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 (1)公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失★知識(shí)點(diǎn)、直線與拋物線的交點(diǎn)(1)軸與拋物線得交點(diǎn)為()(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).(3)拋物線與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交；②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切；③沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故【變式1】（2022·四川瀘州·?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)（）的自變量與函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…01234……83003…則這個(gè)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖表數(shù)據(jù)可知，函數(shù)圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為和，故可知圖像對(duì)稱軸為：，即可對(duì)照表格得出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：由表可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為和，由此可知：圖像對(duì)稱軸為：，對(duì)照表格可知：當(dāng)時(shí)，，即頂點(diǎn)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是將表格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)信息，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)畫出草圖分析．【變式2】（2022·山東日照·?？家荒＃┰O(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可求得y1，y2，y3的值，比較大小即可．【詳解】解：∵，，是拋物線上的三點(diǎn)，∴，，，∵1＞2＞7，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2021·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)，，的圖象如圖，則，，的大小關(guān)系為______（用“”連接）【答案】【分析】拋物線的開口方向和開口大小由的值決定的，系數(shù)絕對(duì)值越大，開口越?。驹斀狻拷猓骸邟佄锞€開口都向上，∴二次項(xiàng)系數(shù)都大于0.二次函數(shù)的開口最小，二次函數(shù)的開口最大，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)，需熟練掌握．熟練掌握拋物線開口大小與|a|有關(guān)，|a|越大圖象開口越小，|a|越小圖象開口越大是解答本題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·廣西·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（2，0）和（1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)C與D點(diǎn)重合，可以知道頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）且拋物線過（﹣1，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），由此可求出a；當(dāng)頂點(diǎn)C與F點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）且拋物線過（2，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（8，0），由此也可求a，然后由此可判斷a的取值范圍．【詳解】頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)C與D點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣1）2+3，由，解得﹣≤a≤﹣；當(dāng)頂點(diǎn)C與F點(diǎn)重合，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），則拋物線解析式y(tǒng)=a（x﹣3）2+2，由，解得﹣≤a≤﹣；∵頂點(diǎn)可以在矩形內(nèi)部，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線_______，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_______；(2)若當(dāng)x滿足時(shí)，y的最小值為，求此時(shí)y的最大值．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，y的最大值為12，當(dāng)時(shí)，y的最大值為【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸的表達(dá)式計(jì)算求值，再令x=0求得y值即可解答；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，可得時(shí)y取得最小值，進(jìn)而可得拋物線解析式，由對(duì)稱軸x=2可得，x=5時(shí)y取得最大值；②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，可得可得x=5時(shí)y取得最小值，x=2時(shí)y取得最大值，計(jì)算求值即可；(1)解：拋物線的對(duì)稱軸為x=，令x=0，則y=2，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；(2)解：①當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，∴時(shí)，y取得最小值，，解得，∴該拋物線的解析式為，∵，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，∴當(dāng)時(shí)，y取得最大值，；②當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，∵，拋物線的對(duì)稱軸為x=2，∴當(dāng)時(shí)，y取得最小值，，解得，∴該拋物線的解析式為，當(dāng)時(shí)，y取得最大值，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，y的最大值為12，當(dāng)時(shí)，y的最大值為；【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，求二次函數(shù)的最值，根據(jù)a的正負(fù)分類討論是解題關(guān)鍵．核心考點(diǎn)三與系數(shù)a、b、c有關(guān)的判斷例1（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，有以下結(jié)論：①；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有；③當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，方程的兩根為，（），則，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到，利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＜0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)有最小值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于二次函數(shù)與直線y=3的一個(gè)交點(diǎn)為（1，3），利用對(duì)稱性得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=3的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，3），從而得到x1=3，x2=1，則可對(duì)③進(jìn)行判斷．【詳解】∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，即，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴，∴，所以①正確；∵時(shí)，y有最小值，∴（t為任意實(shí)數(shù)），即，所以②正確；∵圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，代入解析式可得，方程可化為，消a可得方程的兩根為，，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴二次函數(shù)與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，，代入可得，所以③正確．綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是3．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）．例2（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為，且經(jīng)過點(diǎn)（1，0）．下列結(jié)論：①3a+b=0；②若點(diǎn)，（3，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，則y1<y2；③10b3c=0；④若y≤c，則0≤x≤3．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由對(duì)稱軸為即可判斷①；根據(jù)點(diǎn)，（3，y2）到對(duì)稱軸的距離即可判斷②；由拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），得出ab+c=0，對(duì)稱軸，得出，代入即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及拋物線的對(duì)稱性即可判斷④．【詳解】解：∵對(duì)稱軸，∴b=3a，∴3a+b=0，①正確；∵拋物線開口向上，點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)（3，y2）的距離，∴y1<y2，故②正確；∵經(jīng)過點(diǎn)（1，0），∴ab+c=0，∵對(duì)稱軸，∴，∴，∴3c=4b，∴4b3c=0，故③錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸，∴點(diǎn)（0，c）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，c），∵開口向上，∴y≤c時(shí)，0≤x≤3．故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0）經(jīng)過（0，0），（4，0）兩點(diǎn)．則下列四個(gè)結(jié)論正確的有___（填寫序號(hào)）．①4a+b＝0；②5a+3b+2c＞0；③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點(diǎn)，則a的取值范圍是a；④對(duì)于a的每一個(gè)確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，則t的值只有3個(gè)．【答案】①③④【分析】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達(dá)式，求出其解析式，得到系數(shù)之間的關(guān)系，再分別討論每個(gè)問題.【詳解】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達(dá)式，得：，解得：，∴拋物線解析式為．①，則，故①正確，符合題意；②，又a＞0，∴，故②錯(cuò)誤，不符合題意；③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點(diǎn)，則有，即一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則，∵a＞0，∴，解得：，故③正確，符合題意；④如圖，∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，一元二次方程可化為，即拋物線與直線（t為常數(shù)，t≤0）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)，如圖，則橫坐標(biāo)可為0，1，2，3，4，有3個(gè)t滿足．故④正確，滿足題意．故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系、用根的判別式求取值范圍，借助數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系字母的符號(hào)圖象的特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對(duì)稱軸為y軸ab>0（a與b同號(hào)）對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab<0（a與b異號(hào)）對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過原點(diǎn)c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交b2–4acb2–4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)（頂點(diǎn)）b2–4ac>0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2–4ac<0與x軸沒有交點(diǎn)常用公式及方法：二次函數(shù)三種表達(dá)式：表達(dá)式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸一般式頂點(diǎn)式交點(diǎn)式韋達(dá)定理：若二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）和（，0），則，。賦值法：在二次函數(shù)中，令，則；令，則；令，則；令，則；利用圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置來判斷含有、、的關(guān)系式的正確性?！咀兪?】（2022·遼寧丹東·校考二模）二次函數(shù)、、為常數(shù)，且的與的部分對(duì)應(yīng)值如下表：（其中）x1nyn有下列結(jié)論：；；是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)表中與的部分對(duì)應(yīng)值畫出拋物線的草圖，由開口方向即可判斷，由對(duì)稱軸可得，代入可判斷，根據(jù)直線過點(diǎn)、可知直線與拋物線交于點(diǎn)、，即可判斷，根據(jù)直線與拋物線在坐標(biāo)系中位置可判斷．【詳解】解：根據(jù)表中與的部分對(duì)應(yīng)值，畫圖如下：由拋物線開口向上，得，故正確；拋物線對(duì)稱軸為，即，，則，故正確；直線過點(diǎn)、，直線與拋物線交于點(diǎn)、，即和是方程，即的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故正確；由圖象可知當(dāng)時(shí)，直線位于拋物線上方，，，故錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與直線交點(diǎn)、一元二次方程的解，根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出二次函數(shù)圖象的草圖是解題的前提，熟練掌握拋物線與直線、拋物線與一元二次方程間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·四川廣安·統(tǒng)考二模）對(duì)稱軸為直線的拋物線(為常數(shù)，且)如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①，②，③，④，⑤(為任意實(shí)數(shù))，⑥當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由拋物線的開口方向判斷的符號(hào)，由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷的符號(hào)，結(jié)合對(duì)稱軸判斷①，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與軸交點(diǎn)情況判斷②，根據(jù)對(duì)稱性求得時(shí)的函數(shù)值小于0，判斷③；根據(jù)時(shí)的函數(shù)值，結(jié)合，代入即可判斷④，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷⑤，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷⑥．【詳解】解：①由圖象可知：，∵對(duì)稱軸為直線：，∴，∴，故①錯(cuò)誤；②∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，故②正確；③∵對(duì)稱軸為直線，則與的函數(shù)值相等，∴當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，∴，故④正確；⑤當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，所以，故，即，故⑤正確，⑥當(dāng)時(shí)，y隨的增大而減小，故⑥錯(cuò)誤，綜上，正確的是②④⑤共3個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸和拋物線與軸的交點(diǎn)確定．【變式3】（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③m為任意實(shí)數(shù)，則；④；⑤若且，則．其中正確的有___________【答案】【分析】根據(jù)拋物線圖象開口方向得，由拋物線對(duì)稱軸為直線，得到，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到，據(jù)此即可判定①②；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，據(jù)此即可判定③；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在的右側(cè)，據(jù)此即可判定④；把先移項(xiàng)，再分解因式得到，而，則，即，然后把代入計(jì)算，即可判定⑤．【詳解】解：∵拋物線圖象開口向下，，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，，即，所以②正確；∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，，，所以①錯(cuò)誤；∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴函數(shù)的最大值為，，即，所以③錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在的左側(cè)，而對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在的右側(cè)，∴當(dāng)時(shí)，，，所以④錯(cuò)誤；，，，，，，即，，，所以⑤正確，綜上所述，正確的有．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式4】（2022·山東泰安·?？级＃┤鐖D所示，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線．直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，則下列結(jié)論：①；②；③；④的解集為中正確的結(jié)論是______（只填寫序號(hào)）．【答案】①②④【分析】利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；由對(duì)稱軸可得，結(jié)合可對(duì)②判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到時(shí)，二次函數(shù)有最大值，則，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，利用函數(shù)圖象得在C、D之間，，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，而拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，即，所以①正確；∵對(duì)稱軸為，∴，∴，又，∴，即，所以②正確；∵時(shí)，二次函數(shù)有最大值，∴，∴，所以③錯(cuò)誤；∵直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)等于3，由圖象可知，在C、D之間，即時(shí)，，∴的解集為，即的解集為，所以④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解．也考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【變式5】（2022·河南·校聯(lián)考二模）已知拋物線交軸于，兩點(diǎn)交軸于點(diǎn)．(1)若，．①求該拋物線的解析式及點(diǎn)坐標(biāo)；②設(shè)直線的解析式為，直接寫出不等式的解集；(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn)．若，拋物線在點(diǎn)、之間的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）恰有7個(gè)整點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，B（3，0）；②x＜0或x＞3；(2)2＜m≤1；【分析】（1）①將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求解即可；②根據(jù)y=x+1在y=x2+的上方，看圖即可求解；（2）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸是x=1，通過數(shù)形結(jié)合可得區(qū)域內(nèi)有七個(gè)整點(diǎn)分別為（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）進(jìn)而求解；（1）①將A（1，0）C（0，1）代入中，得解得，∴拋物線的解析式為，當(dāng)y=0時(shí)，=0，解得x1=1，x2=3，∴B（3，0）；②把B（3，0）C（0，1）代入到y(tǒng)=kx+b中，得，解得，∴y=x+1，∵不等式，∴y=x+1在的上方，如圖，即x＜0或x＞3；（2）∵=，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），m＞0時(shí)，拋物線開口方向向上，與x軸無交點(diǎn)，不符合題意，m＜0時(shí)，拋物線開口方向向下，如圖，當(dāng)區(qū)域內(nèi)包含整點(diǎn)（0，1）（1，1）（2，1）（0，2）（1，2）（2，2）（1，3）時(shí)滿足題意，拋物線與y軸交點(diǎn)（0，m+4）在直線y=2與y=3之間，拋物線與直線x=1交點(diǎn)（1，4m+4）在直線y=1下方，即，解得2＜m≤1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合求解．核心考點(diǎn)四二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例1（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖象，先設(shè)，，，根據(jù)已知條件及證明，得出，利用根與系數(shù)的關(guān)系知，最后得出答案．【詳解】設(shè)，，，∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴，即，令，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知，∴，故故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與關(guān)于方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時(shí)要將線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．例2（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）拋物線的對(duì)稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③若和是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①由圖象開口方向，對(duì)稱軸位置，與軸交點(diǎn)位置判斷，，符號(hào)．②把分別代入函數(shù)解析式，結(jié)合圖象可得的結(jié)果符號(hào)為負(fù)．③由拋物線開口向上，距離對(duì)稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)值越大．④由拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為可得，從而進(jìn)行判斷無實(shí)數(shù)根．【詳解】解：①拋物線圖象開口向上，，對(duì)稱軸在直線軸左側(cè)，，同號(hào)，，拋物線與軸交點(diǎn)在軸下方，，，故①正確．②，當(dāng)時(shí)，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，由圖象可得，，即，故②正確．③，，，點(diǎn)，到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)，到對(duì)稱軸的距離，，故③錯(cuò)誤．④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，無實(shí)數(shù)根．故④正確，綜上所述，①②④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)中，，與函數(shù)圖象的關(guān)系．例3（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．【答案】或【分析】先求出A、B、C、D的坐標(biāo)，再將點(diǎn)代入拋物線的解析式，得出m的值，確定的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)分情況畫圖求解，即可求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵是拋物線上的點(diǎn)，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴是的垂直平分線，∴，且，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，∴軸，∴如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，∴是的垂直平分線，∴，∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形，∴，∴，∴．綜上可得：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．【變式1】（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，下列說法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，則或；③若方程是倍根方程，且相異兩點(diǎn)，都在拋物線上，則方程的一個(gè)根為2．其中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】①通過解方程得到該方程的根，結(jié)合“倍根方程”的定義進(jìn)行判斷；②通過解方程求得方程的兩個(gè)解，結(jié)合“倍根方程”的定義來求、的關(guān)系；③由方程是倍根方程，得到，由相異兩點(diǎn)，都在拋物線上，通過拋物線對(duì)稱軸求得的值．【詳解】①由，得，解得，∵或，∴方程不是倍根方程，故①錯(cuò)誤；②解方程，得，∵是倍根方程，∴或，即或，故②正確；③∵方程是倍根方程，設(shè)，∵相異兩點(diǎn)，，都在拋物線上，∴拋物線的對(duì)稱軸，∴，，∴，故③正確，綜上所述，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，關(guān)于x的方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】拋物線圖象是由向下平移1個(gè)單位所得，作出圖象，結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵圖象是由向下平移1個(gè)單位所得，如圖，∴，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意，∵∴兩條拋物線對(duì)稱軸為均為直線，∴，∴，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意．∵二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，∴的兩個(gè)根為，，∴，，方程的，同理可得：，，方程的，∴，，∴，，選項(xiàng)D正確，又∵，，∴，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，將方程問題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)的問題．解答時(shí)注意數(shù)形結(jié)合的思想．【變式3】（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根分別是，若點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)，過作軸交拋物線于另一交點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】先利用一元二次方程根與系數(shù)的的關(guān)系得出，，進(jìn)而得出，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，解方程求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，∴，令，∴，∵軸，∴軸，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把代入，得，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)以及根與系數(shù)的關(guān)系，把求二次函數(shù)(是常數(shù)，)

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，m，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則下列結(jié)論正確的有______．（填序號(hào)即可）．①②③存在實(shí)數(shù)x，使得④若時(shí)，，則【答案】①②【分析】①對(duì)x賦值為1即為ab+c，通過圖像觀察x=1時(shí)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置即可判斷；②通過對(duì)稱軸和函數(shù)圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)判斷另一個(gè)交點(diǎn)的大致位置即為m的范圍；③要使存在實(shí)數(shù)x，使得，因?yàn)閍<0，則方程應(yīng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即△>0，由對(duì)稱軸x=2可得b=4a，列式計(jì)算后判斷△即可；④根據(jù)當(dāng)x=2時(shí)y>0，當(dāng)x=3時(shí)y<0，b=4a，列不等式計(jì)算求出a的解集即可．【詳解】①當(dāng)x=1時(shí)，，通過函數(shù)圖像可知，此時(shí)函數(shù)圖像在x軸上方，即ab+c>0，故①錯(cuò)誤；②通過函數(shù)圖像可知，對(duì)稱軸為x=2，函數(shù)圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)n的范圍為2<n<3，根據(jù)對(duì)稱性，另一交點(diǎn)（m，0）與點(diǎn)（n，0）關(guān)于x=2對(duì)稱，∵2（2）=4，3（2）=5，∴25<m<24即：7<m<6，故②正確；③令y=若存在實(shí)數(shù)x使函數(shù)值大于0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∵由函數(shù)圖像可知，，即b=4a∴，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)開口向下且與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴不存在實(shí)數(shù)x，使得，故③錯(cuò)誤；④x=0時(shí)，y=c=∴由圖像可知，當(dāng)x=2時(shí)y>0，當(dāng)x=3時(shí)y<0，∴由對(duì)稱軸x=2得，∴b=4a∴解得∴④錯(cuò)誤綜上所述，結(jié)論正確的有①②，故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像性質(zhì)及通過函數(shù)圖像求參數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2022·浙江寧波·?？家荒＃┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．【答案】(1)該二次函數(shù)的解析式為.(2)①的值為或；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）①把代入，即可求得；②把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，求得函數(shù)的最小值為，所以，即．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入得，解得，，該二次函數(shù)的解析式為；（2）①時(shí)，則，解得，；故的值為或；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．核心考點(diǎn)五二次函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用例1（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，BC=6，BC邊上的高為3，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且EF∥BC．設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x，△DEF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H，所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF，進(jìn)而求出函數(shù)關(guān)系式，由此即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)相似比可知：，即，解得：EF=2（3x），則△DEF的面積y=×2（3x）x=x2+3x=(x)2+，故y關(guān)于x的函數(shù)圖象是一個(gè)開口向下、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)的拋物線．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，主要利用了相似三角形的性質(zhì)，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．例2（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）拋物線與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點(diǎn)，為圖形G上兩點(diǎn)，若，則m的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】求出拋物線的對(duì)稱軸、C點(diǎn)坐標(biāo)以及當(dāng)x=m1和x=m+1時(shí)的函數(shù)值，再根據(jù)m1＜m+1，判斷出M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)分類討論：第一種情況，當(dāng)N點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，第二種情況，當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右側(cè)時(shí)，第三種情況，當(dāng)y軸在M、N點(diǎn)之間時(shí)，來討論，結(jié)合圖像即可求解．【詳解】拋物線解析式變形為：，即拋物線對(duì)稱軸為，當(dāng)x=m1時(shí)，有，當(dāng)x=m+1時(shí)，有，設(shè)(m1,1)為A點(diǎn)，(m+1,1)為B點(diǎn)，即點(diǎn)A(m1,1)與B(m+1,1)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，當(dāng)x=0時(shí)，有，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)x=m時(shí)，有，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵直線l⊥y軸，∴直線l為，∵m1＜m+1，∴M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)，此時(shí)分情況討論：第一種情況，當(dāng)N點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，如圖，由圖可知此時(shí)M、N點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)A、B點(diǎn)，即有，∴此時(shí)不符合題意；第二種情況，當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖，由圖可知此時(shí)M、N點(diǎn)滿足，∴此時(shí)不符合題意；第三種情況，當(dāng)y軸在M、N點(diǎn)之間時(shí)，如圖，或者，由圖可知此時(shí)M、N點(diǎn)滿足，∴此時(shí)符合題意；此時(shí)由圖可知：，解得，綜上所述：m的取值范圍為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、翻折的性質(zhì)，注重?cái)?shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．例3（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，函數(shù)y＝的圖象由拋物線的一部分和一條射線組成，且與直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．設(shè)t＝，則t的取值范圍是_____．【答案】＜t＜1##0.6<t<1【分析】根據(jù)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，可知x1+x2＝2，由直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個(gè)不同的點(diǎn)，可得y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝m，求出x3的范圍，進(jìn)而求出t的范圍．【詳解】解：由二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：圖象開口向上，對(duì)稱軸為x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)有最小值為2，x1+x2＝2，由一次函數(shù)y＝﹣x+（x≥2）可知當(dāng)x＝2時(shí)有最大值3，當(dāng)y＝2時(shí)x＝，∵直線y＝m（m為常數(shù)）相交于三個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故填：＜t＜1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)值的取值范圍等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合1、函數(shù)存在性問題解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出．2、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．（2）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．（3）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．【變式1】（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、點(diǎn)B與y軸相交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②B點(diǎn)坐標(biāo)為；③拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；④直線與拋物線交于點(diǎn)D、E，若，則h的取值范圍是；⑤在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最小，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為．其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】①代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出參數(shù)的值；②函數(shù)值為0時(shí)，可求出與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；③代入公式即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；④把帶入后，即可表示出，進(jìn)而求出h的取值范圍；⑤連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，再列出方程組即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：①∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，∴可得：，∴，故①正確；②∵函數(shù)函數(shù)值為0，∴，∴，∴時(shí)，，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，故②正確；③拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故③錯(cuò)誤；④把帶入后，，解得：，∴h的取值范圍是，故④正確；⑤連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，直線和對(duì)稱軸聯(lián)立方程組，可得，解得，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為，故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論為：①②④⑤，共有4個(gè)．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，難度較大，熟練記憶理解二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)和充分利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸的交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線垂直于軸．將拋物線在軸左側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形．點(diǎn)，為圖形上任意兩點(diǎn)．若對(duì)于，，都有，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線解析式可求出其對(duì)稱軸為直線，又可用m表示出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，且點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于直線對(duì)稱，再分類討論當(dāng)變化時(shí)，軸與點(diǎn)，的相對(duì)位置，即可解答．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為，點(diǎn)，為圖形上任意兩點(diǎn)，，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，為拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)．分類討論當(dāng)變化時(shí)，軸與點(diǎn)，的相對(duì)位置：如圖，當(dāng)軸在點(diǎn)左側(cè)時(shí)含點(diǎn)，經(jīng)翻折后，得到點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相同，，不符題意；如圖，當(dāng)軸在點(diǎn)右側(cè)時(shí)含點(diǎn)，經(jīng)翻折后，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)相同，，不符題意；如圖，當(dāng)軸在點(diǎn)，之間時(shí)不含，，經(jīng)翻折后，點(diǎn)在下方，點(diǎn)，重合，在上方，，符合題意．此時(shí)，解得：．綜上所述，的取值范圍為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022·安徽合肥·合肥38中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線y＝x＋ax＋a（a為常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝2，則此拋物線的對(duì)稱軸為________（2）設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，其中x1＜x2，當(dāng)x1＋x2＞4時(shí)，都有y1＜y2，則a的取值范圍是________【答案】

【分析】（1）將a=2代入解析式，然后化為頂點(diǎn)式即可得出結(jié)果；（2）由題意點(diǎn)（x1，0），（x2，0）連線的中垂線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)大于2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，拋物線的解析式為，∴此拋物線的對(duì)稱軸為；故答案為：①；（2）拋物線y＝x2＋ax＋a的對(duì)稱軸直線為，①當(dāng)時(shí)，y1＜y2恒成立；②當(dāng)時(shí)，y1>y2；③當(dāng)時(shí)，∵拋物線的對(duì)稱軸為，若對(duì)于x1＋x2＞4，都有y1＜y2，當(dāng)，且時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，∴滿足條件的值為，即．故答案為：②【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式4】（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．將拋物線在A、B之間的部分記為圖象M（含A、B兩點(diǎn)）．將圖象M沿直線翻折，得到圖象N．若過點(diǎn)的直線與圖象M、圖象N都相交，且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍______．【答案】或【分析】把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于a、c的方程組，通過解該方程可以求得它們的值．由函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，由圖象直接回答問題．【詳解】∵拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，﹣4）和B（0，2），可得：解得：∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣2x2+4x+2．∵y=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；設(shè)點(diǎn)B（0，2）關(guān)于x=3的對(duì)稱點(diǎn)為B’，則點(diǎn)B’（6，2）．若直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)C（9，4）和B'（6，2），可得b=﹣2．若直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)C（9，4）和A（3，﹣4），可得b=﹣8．直線y=kx+b平行x軸時(shí)，b=4．綜上，﹣8＜b＜﹣2或b=4．故答案為：﹣8＜b＜﹣2或b=4．【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．解題時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合，使抽象的問題變得具體化．【變式5】（2022·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值．(3)動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再令，可得，求解即可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的解析式，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）要使點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，只需為等腰三角形，所以，或，結(jié)合圖形得到答案即可．【詳解】（1）解：由題意，將點(diǎn)、代入，可得，解得，∴，當(dāng)時(shí)，可有，解得，，∴；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、代入，可得，解得，∴，設(shè)點(diǎn)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，有；（3）如圖1，∵，，∴，∴，作軸于，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，由得，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，作軸于，作軸于，∴，可得四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴．綜上所述：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握先關(guān)知識(shí)，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想分析問題，并畫出符合條件的圖形．核心考點(diǎn)六二次函數(shù)圖象的變換例1（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；

③；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線有3個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出對(duì)稱軸為，進(jìn)而可得，故①正確；由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成可知c＝3，故②錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸求出b＜0，進(jìn)而可得，故③正確；求出翻折前的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確．【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1和3，∴對(duì)稱軸為，即，∴整理得：，故①正確；∵與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），可知，開口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿軸向上翻折而成，∴c＝3，故②錯(cuò)誤；∵中a＞0，，∴b＜0，又∵c＝3＜0，∴，故③正確；設(shè)拋物線的解析式為，代入（0，3）得：，解得：a＝－1，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∵點(diǎn)（1，4）向上平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為（1，5），∴將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．例2（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是（

）A．或2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可．【詳解】解：函數(shù)向右平移3個(gè)單位，得：；再向上平移1個(gè)單位，得：+1，∵得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)∴+1即解得：或∵拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)∴＞0∴＜0∴故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．例3（2020·湖北武漢·中考真題）拋物線（，，為常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①一元二次方程的根為，；②若點(diǎn)，在該拋物線上，則；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有；④對(duì)于的每一個(gè)確定值，若一元二次方程（為常數(shù)，）的根為整數(shù)，則的值只有兩個(gè)．其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)）．【答案】①③【分析】①根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系即可得；②先點(diǎn)，得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性與增減性即可得；③先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得；④先將拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的二次函數(shù)解析式為，再根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系即可得．【詳解】拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)一元二次方程的根為，，則結(jié)論①正確拋物線的對(duì)稱軸為時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，即為當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小又，則結(jié)論②錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且將拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的二次函數(shù)解析式為由二次函數(shù)圖象特征可知，的圖象位于x軸的下方，頂點(diǎn)恰好在x軸上即恒成立則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有，即，結(jié)論③正確將拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的二次函數(shù)解析式為函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程為，即因此，若一元二次方程的根為整數(shù)，則其根只能是或或?qū)?yīng)的的值只有三個(gè)，則結(jié)論④錯(cuò)誤綜上，結(jié)論正確的是①③故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對(duì)稱性、增減性）、二次函數(shù)圖象的平移問題、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握并靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)：拋物線的平移1．將拋物線解析式化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x–h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．:2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到（h，k）處，具體平移方法如下：3．注意二次函數(shù)平移遵循“左加右減（自變量），上加下減（常數(shù)項(xiàng)）”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．知識(shí)點(diǎn)、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；2.關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是．5.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式．【變式1】（2022·山東濱州·陽(yáng)信縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知兩條拋物線和的解析式分別是關(guān)于與的關(guān)系式：：與：．對(duì)上述拋物線說法正確的序號(hào)是（）①兩條拋物線與軸的交點(diǎn)一定不在軸的上方；②在拋物線、中，可以將其中一條拋物線經(jīng)過向上或向下平移得到另一條拋物線；③在拋物線、中，可以將其中一條拋物線經(jīng)過向左或向右平移得到另一條拋物線；④兩條拋物線的頂點(diǎn)之間的距離為1．A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①分別求出兩條拋物線與軸交點(diǎn)即可判斷；②根據(jù)兩條拋物線的對(duì)稱軸相同，可知一條拋物線經(jīng)過向上或向下平移得到另一條拋物線；③根據(jù)兩條拋物線的對(duì)稱軸相同，可知兩條拋物線不可能左右平移得到；④配方后，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，相減即可．【詳解】①拋物線與軸交點(diǎn)為，拋物線與軸交點(diǎn)為，一定不在x軸的上方，故本選項(xiàng)正確；②由于兩拋物線對(duì)稱軸相同，均為，可知，其中一條拋物線經(jīng)過向上或向下平移得到另一條拋物線；故本選項(xiàng)正確；③由于兩拋物線對(duì)稱軸相同，兩條拋物線不可能左右平移得到，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④拋物線的解析式配方得，；拋物線的解析式配方得，，，故本選項(xiàng)正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)與軸，軸的交點(diǎn)的求法，圖像的平移，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·廣東佛山·校考三模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，將該拋物線平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于、兩點(diǎn)，其中，點(diǎn)的坐標(biāo)為．若線段，那么的值為（）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法求得平移后的拋物線的解析式，令y＝0，求出該拋物線與x軸的交點(diǎn)，并利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段OA，BC的長(zhǎng)，根據(jù)已知條件列出關(guān)于t的方程，解方程即可求得結(jié)論．【詳解】解：令，則，，，設(shè)平移后的拋物線解析式為，平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于，，解得：，平移后的拋物線解析式為，令，則，解得：，，，．，．當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：，的值為：或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，拋物線的平移，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為，同時(shí)拋物線還經(jīng)過點(diǎn)．（1）拋物線的解析式為_____________；（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)H，連接，將拋物線向下平移n個(gè)單位，當(dāng)平分時(shí)，則n的值為_____________．【答案】

或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出平移后點(diǎn)E的坐標(biāo)為，平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)為，再證明，得到，則，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴拋物線解析式為，故答案為：；（2）∵原拋物線解析式為，∴平移后的拋物線解析式為，∴平移后點(diǎn)E的坐標(biāo)為，平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4】（2021·四川樂山·統(tǒng)考三模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)M＞0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足﹣M＜y＜M，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．（1）判斷函數(shù)y＝（x＞0）是否為有界函數(shù)___（填“是”或“否”）；（2）將函數(shù)y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個(gè)單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，若≤t≤1則m的取值范圍是___．【答案】

否

0m或m1【分析】（1）在x的取值范圍內(nèi)，y（x＞0）的y無最大值，不是有界函數(shù)；（2）先設(shè)m＞1，函數(shù)向下平移m個(gè)單位后，x＝0時(shí)，y＝﹣m＜﹣1，此時(shí)邊界值t＞1，與題意不符，故，判斷出函數(shù)y＝x2所過的點(diǎn)，結(jié)合平移，即可求解．【詳解】解：（1）∵y（x＞0）的y無最大值，∴y（x＞0）不是有界函數(shù)，故答案為：否；（2）若m＞1，圖象向下平移m個(gè)單位后，x＝0時(shí)，y＜﹣m＜﹣1，此時(shí)函數(shù)的邊界值t＞1，不合題意，故．∴函數(shù)y＝x2（，，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，ymax＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，ymin＝0，∴向下平移m個(gè)單位后，ymax＝1﹣m，ymin＝﹣m，∵邊界值t，∴1﹣m或﹣1﹣m，∴0m或m1，故答案為：0m或m1．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合新定義，弄清函數(shù)邊界值的定義，熟悉平移變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5】（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，的余切值為，，點(diǎn)P在拋物線上，且.(1)求上述拋物線的表達(dá)式；(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過點(diǎn)O和點(diǎn)P，新拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．①求新拋物線的對(duì)稱軸；②點(diǎn)F在新拋物線對(duì)稱軸上，且，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①對(duì)稱軸為直線；②【分析】（1）先通過解直角三角形求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①設(shè)平移后的解析式為，求出點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②過點(diǎn)P作軸于N，則，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）∵拋物線（），當(dāng)時(shí)，，∴，即，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，把A、B的坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線解析式為；（2）①設(shè)平移后的解析式為，∵，∴P在的中垂線上，∴，將坐標(biāo)代入，得，∴，∴新的拋物線的解析式為，∴對(duì)稱軸為直線；②過點(diǎn)P作軸于N，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與角相等的問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【新題速遞】1．（2022·江蘇無錫·?？家荒＃佄锞€向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，直線的解析式為，它與軸和軸分別相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，以為斜邊作等腰直角三角形（，兩點(diǎn)分別在兩側(cè)）．若和的重合部分的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線，它與軸和軸分別相交于，兩點(diǎn)，則；根據(jù)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，；根據(jù)題意可知，；當(dāng)時(shí)，和的重合部分的面積：；當(dāng)時(shí)，和的重合部分的面積：，即可．【詳解】如圖：∵直線，它與軸和軸分別相交于，兩點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，當(dāng)，；∴當(dāng)，；當(dāng)，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，得到函數(shù)關(guān)系式．3．（2023·廣西玉林·一模）如圖，函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，請(qǐng)思考下列判斷：；；；；正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圖象信息即可判斷；根據(jù)時(shí)，即可判斷；根據(jù)是方程的根，結(jié)合兩根之積，即可判斷；根據(jù)兩根之和，可得，可得，根據(jù)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離，列出關(guān)系式即可判斷．【詳解】解：拋物線開口向下，，拋物線交軸于正半軸，，，，，故正確，時(shí)，，，即，故正確，的圖象過點(diǎn)和，，，，，故正確，，，，，故錯(cuò)誤，，，，故正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)與同號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在軸右；常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)：拋物線與軸交于；決定拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)：時(shí)，拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)；時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn)．4．（2022·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)及一次函數(shù)，將二次函數(shù)在軸下方的圖像沿軸翻折到軸上方，圖像的其余部分不變，得到一個(gè)新圖像（如圖所示），當(dāng)直線與新圖像有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出二次函數(shù)圖像關(guān)于x軸翻折后的解析式，求出直線與翻折后拋物線相切時(shí)的m值，求出直線經(jīng)過圖像與x軸右側(cè)交點(diǎn)時(shí)m的值，進(jìn)而求解．【詳解】解：拋物線關(guān)于x軸翻折后解析式為，令，整理得，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，解得，把代入得，解得，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入得，解得，∴滿足題意．