專題1.1等腰三角形-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題1.1等腰三角形重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識點(diǎn)1等腰三角形】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.【題型1等腰三角形的性質(zhì)（角度問題）】【例1】（2021?紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結(jié)CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由．【變式11】（2020春?益陽期末）如圖，已知∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且EF∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度數(shù)．【變式12】（2020春?寧德期末）如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點(diǎn)P．當(dāng)∠A的大小變化時，△EPC的形狀也隨之改變．（1）當(dāng)∠A＝44°時，求∠BPD的度數(shù)；（2）設(shè)∠A＝x°，∠EPC＝y(tǒng)°，求變量y與x的關(guān)系式；（3）當(dāng)△EPC是等腰三角形時，請直接寫出∠A的度數(shù)．【變式13】（2020秋?倉山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AC＝AD，∠BAC＝∠BDC＝α，∠CAD＝β．（1）求證：∠ABD＝∠ADC；（2）當(dāng)∠AED＝65°時，求β﹣2α的度數(shù)；（3）α+2β＝180°時，求證：BD＝CD．【題型2等腰三角形的性質(zhì)（周長問題）】【例2】（2020秋?羅莊區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝BC，中線AD將這個三角形的周長分成18和15兩部分，則AC的長為．【變式21】（2020春?臥龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若DE＝6cm，EC＝1cm，則四邊形ABFD的周長為cm．【變式22】（2020秋?延津縣期中）一個等腰三角形的周長為28cm．（1）如果底邊長是腰長的1.5倍，求這個等腰三角形的三邊長；（2）如果一邊長為10cm，求這個等腰三角形的另兩邊長．【變式23】（2020春?東營期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E、交AC于D，連接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若△BCD的周長為16cm，△ABC的周長為26cm，求BC的長．【題型3等腰三角形的性質(zhì)（多結(jié)論問題）】【例3】（2021春?商河縣期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，以下四個結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點(diǎn)時，DE⊥AC；③當(dāng)△ADE為等腰三角形時，∠BAD＝20°；④當(dāng)∠BAD＝30°時，BD＝CE．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式31】（2020春?宿州期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個結(jié)論中，①AB上一點(diǎn)與AC上一點(diǎn)到D的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式32】（2020春?開福區(qū)校級期末）如圖，CE、CB分別是△ABC和△ADC的中線，且AC＝AB，則下列結(jié)論中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE．正確結(jié)論的序號為．【變式33】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．以下四個結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點(diǎn)時，DE⊥AC；③當(dāng)∠BAD＝30°時，BD＝CE；④當(dāng)△ADE為等腰三角形時，∠BAD＝30°．其中正確的結(jié)論是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．【題型4等腰三角形的性質(zhì)（三線合一問題）】【例4】（2019秋?紅花崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：FB＝FE．【變式41】（2020秋?伊犁州期末）如圖，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于O點(diǎn)．①試說明△OBC是等腰三角形；②連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關(guān)系，并說明理由．【變式42】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC延長線上一點(diǎn)，連接DF，交AC于點(diǎn)E，連接BE，∠A＝∠ABE（1）求證：ED平分∠AEB；（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度數(shù)．【變式43】（2021春?宣漢縣期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且EF∥BC．（1）試說明△AEF是等腰三角形；（2）試比較DE與DF的大小關(guān)系，并說明理由．【題型5等腰三角形的判定（個數(shù)問題）】【例5】（2020秋?匯川區(qū)期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A，B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式51】（2020秋?西華縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上，∠ABO＝60°，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式52】（2020春?蘄春縣期中）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O（0，0），A（4，3）點(diǎn)B在x軸或y軸上移動，若O、A、B三點(diǎn)可構(gòu)成等腰三角形，則符合條件的B點(diǎn)有（）A．9個 B．8個 C．7個 D．6個【變式53】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點(diǎn)，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【題型6等腰三角形的判定（證明問題）】【例6】（2021春?新城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB的延長線上，連接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求證：△ABC是等腰三角形．【變式61】（2020秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD與CE相交于點(diǎn)F．（1）證明：BA＝BC；（2）求證：△AFC為等腰三角形．【變式62】（2020秋?包河區(qū)期末）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點(diǎn)F作