高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例二導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修5

1.2應(yīng)用舉例（二）教學(xué)目標(biāo)1.會運(yùn)用測仰角(或俯角)解決一些有關(guān)底部不行到達(dá)的物體高度測量的問題.2.會用測方位角解決立體幾何中求高度問題.3.進(jìn)一步培育學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學(xué)生對課本的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生通過觀看《1.2應(yīng)用舉例（二）》課件測量“天塔”高度的問題，與大家共享自己對此類問題解決方法的了解。通過舉例說明和相互溝通，做好老師對學(xué)生的活動的梳理引導(dǎo)，并賜予主動評價(jià).二、自主學(xué)習(xí)1.如圖，AB是底部B不行到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，假如能測出點(diǎn)C，D間的距離m和由C點(diǎn)，D點(diǎn)視察A的仰角，怎樣求建筑物高度AB？(已知測角儀器的高是h)提示：在△ACD中，eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(m,sinα－β.)所以AC＝eq\f(msinβ,sinα－β)，在Rt△AEC中，AE＝ACsinα，AB＝AE＋h.2.如圖，一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛，到A處時(shí)測得馬路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，怎樣求此山的高度CD?提示：先在△ABC中，用正弦定理求BC＝eq\f(5sin15°,sin10°)，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.二、合作探究探究點(diǎn)1：測量仰角(或俯角)求高度問題例1如圖所示，D，C，B在地平面同始終線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面的高AB等于()A．10m B．5eq\r(3)mC．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)mD[設(shè)AB＝xm，則BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(x,10＋x)＝eq\f(\r(3),3).解得x＝5(eq\r(3)＋1)m.所以A點(diǎn)離地面的高AB等于5(eq\r(3)＋1)m.]名師點(diǎn)評：(1)底部可到達(dá)，此類問題可干脆構(gòu)造直角三角形．(2)底部不行到達(dá)，但仍在同一與地面垂直的平面內(nèi)，此類問題中兩次觀測點(diǎn)和所測垂線段的垂足在同一條直線上，觀測者始終向“目標(biāo)物”前進(jìn)．例2如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角α＝54°40′，在塔底C處測得A處的俯角β＝50°1′.已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD.(精確到1m)解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.依據(jù)正弦定理，eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，所以AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β)＝eq\f(BCcosβ,sinα－β).解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCcosβsinα,sinα－β).將測量數(shù)據(jù)代入上式，得BD＝eq\f(27.3cos50°1′sin54°40′,sin54°40′－50°1′)＝eq\f(27.3cos50°1′sin54°40′,sin4°39′)≈176.5(m)．CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m)．答山的高度約為149m.名師點(diǎn)評：利用正弦、余弦定理來解決實(shí)際問題時(shí)，要從所給的實(shí)際背景中，進(jìn)行加工、提煉，抓住本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)模型，使之轉(zhuǎn)化為解三角形問題．探究點(diǎn)2：測量方位角求高度問題例3如圖所示，A、B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測得∠ABD＝45°，其中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度為800(eq\r(3)＋1)m.名師點(diǎn)評：此類問題特點(diǎn)：底部不行到達(dá)，且涉及與地面垂直的平面，觀測者兩次觀測點(diǎn)所在直線不經(jīng)過“目標(biāo)物”，解決方法是把目標(biāo)高度轉(zhuǎn)化為地平面內(nèi)某量，從而把空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)解三角形問題．四、當(dāng)堂檢測1．一架飛機(jī)在海拔8000m的高度飛行，在空中測出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別是30°和45°，則這個(gè)海島的寬度為________m．(精確到0.1m)2．甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________________．3．為測量某塔的高度，在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量的數(shù)據(jù)如圖所示，求塔的高度．提示：1．5856.42.20eq\r(3)米，eq\f(40,3)eq\r(3)米3．解在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m)．依據(jù)正弦定理，eq\f(15,sin2.8°)＝eq\f(AT,cos18.6°)，AT＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°).塔的高度為AT×sin21.4°＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°)×sin21.4°≈106.19(m)．五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些學(xué)問內(nèi)容?1．在探討三角形時(shí)，敏捷依據(jù)兩個(gè)定理可以找尋到多種解決問題的方案，但有些過程較繁瑣，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式．2．測量底部不行到達(dá)的建筑物的高度問題．由于底部不行到達(dá)，這類問題不能干脆用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計(jì)算出建筑物頂部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．六、課例點(diǎn)評解三角形的應(yīng)用是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的良好素材，但是，一般狀況