2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修5

PAGE等比數(shù)列的性質(zhì)[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．在等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝27，則aA．3 B．6C．27 D．9解析：在等比數(shù)列{an}中，由a4a5a6＝27，得aeq\o\al(3,5)＝27，得a5＝3，所以a1a9＝aeq\o\al(2,5)＝9，故選D.答案：D2．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若anan＋1＝22n＋1，則a5＝()A．4 B．8C．16 D．32解析：由題意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，則a4aeq\o\al(2,5)a6＝220，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得，aeq\o\al(4,5)＝220，數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則a5＝25＝32.答案：D3．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1和a19為方程x2－10x＋16＝0的兩根，則a8·a10·a12等于()A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16.∵a1·a19＝a8·a12＝aeq\o\al(2,10)，∴a8·a12＝aeq\o\al(2,10)＝16.an＞0，∴a10＝4，∴a8·a10·a12＝aeq\o\al(3,10)＝64.答案：C4．已知{an}，{bn}都是等比數(shù)列，那么()A．{an＋bn}，{an·bn}都肯定是等比數(shù)列B．{an＋bn}肯定是等比數(shù)列，但{an·bn}不肯定是等比數(shù)列C．{an＋bn}不肯定是等比數(shù)列，但{an·bn}肯定是等比數(shù)列D．{an＋bn}，{an·bn}都不肯定是等比數(shù)列解析：{an＋bn}不肯定是等比數(shù)列，如an＝1，bn＝－1，因?yàn)閍n＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比數(shù)列．設(shè){an}，{bn}的公比分別為p，q，則eq\f(an＋1bn＋1,anbn)＝eq\f(an＋1,an)·eq\f(bn＋1,bn)＝pq≠0，所以{an·bn}肯定是等比數(shù)列．故選C.答案：C5．在等比數(shù)列{an}中，已知a7·a12＝5，則a8·a9·a10·a11等于()A．10 B．25C．50 D．75解析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq，可得a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，∴a8·a9·a10·a11＝25.答案：B6．設(shè)數(shù)列{an}為公比q＞1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.解析：由題意得a4＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(3,2)，∴q＝eq\f(a5,a4)＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(eq\f(1,2)＋eq\f(3,2))×32＝18.答案：187．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝________.解析：由題意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.答案：－68．等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，則公比q為________．解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q4－a1＝60，①,a1q3－a1q＝24，②))eq\f(①,②)得eq\f(a1q4－1,a1qq2－1)＝eq\f(5,2)，即eq\f(q2＋1,q)＝eq\f(5,2)，解得q＝eq\f(1,2)或2，當(dāng)q＝2時(shí)，代入①得a1＝4，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＝eq\f(1,2)時(shí)，代入①得a1＝－64，{an}也是遞增數(shù)列．綜上可知，公比q能取2或eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)9．三個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于21，倒數(shù)的和等于eq\f(7,12)，求這三個(gè)數(shù)．解析：設(shè)三個(gè)數(shù)為eq\f(a,q)，a，aq(a，q＞0)，由題eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)＋a＋aq＝21，,\f(q,a)＋\f(1,a)＋\f(1,aq)＝\f(7,12)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\f(1,q)＋1＋q＝21，,\f(1,a)q＋1＋\f(1,q)＝\f(7,12)))?a2＝21×eq\f(12,7)＝36，∴a＝6，q＝2或eq\f(1,2)，∴三個(gè)數(shù)為3,6,12或12,6,3.10．和為114的三個(gè)數(shù)是一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，也是一個(gè)等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第25項(xiàng)，求這三個(gè)數(shù)．解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為d，則它的第1,4,25項(xiàng)分別為a，a＋3d，a＋24d，∵它們成等比數(shù)列∴(a＋3d)2＝a(a＋24d)，∴a2＋6ad＋9d2＝a2＋24ad.∴9d2＝18ad，∵等比數(shù)列的公比不為1，∴d≠0，∴d＝2a.①由題意知：a＋(a＋3d)＋(a＋24d)＝114，即3a＋27d＝114，②由①②可以解得，a＝2，d＝4，∴這三個(gè)數(shù)就是2,14,98.[B組實(shí)力提升]11．若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，c，a，b成等比數(shù)列，且a＋3b＋c＝10，則a＝()A．4 B．2C．－2 D．－4解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，))消去a得4b2－5bc＋c2＝0.∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.答案：D12．已知等比數(shù)列{an}共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之積為2，偶數(shù)項(xiàng)之積為64，則其公比是()A.eq\f(3,2) B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：奇數(shù)項(xiàng)之積為2，偶數(shù)項(xiàng)之積為64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，則eq\f(a2a4a6a8a10,a1a3a5a7a9)＝q5＝32，則q＝2，故選C.答案：C13．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，則公比q＝________.解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}為遞增數(shù)列且a1＝－2＜0，所以0＜q＜1，將3(an＋an＋2)＝10an＋1兩邊同除以an可得3(1＋q2)＝10q，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝eq\f(1,3)，而0＜q＜1，所以q＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，am－1am＋1＝2am(m≥2)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，若T2m－1＝512，則m解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，am－1am＋1＝aeq\o\al(2,m)＝2am，各項(xiàng)均為正數(shù)，則am＝2.又T2m－1＝(am)2m－1＝22m－1＝512，則2m－1＝9，知m＝5.答案：515．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a50，a51是方程100(lgx)2＝lg(100x)的兩個(gè)不同的解，求a1a2…a100解析：對(duì)k＝50,51，有100(lgak)2＝lg(100ak)＝2＋lgak，即100(lgak)2－lgak－2＝0.因此，lga50，lga51是一元二次方程100t2－t－2＝0的兩個(gè)不同實(shí)根，從而lg(a50a51)＝lga50＋lga51＝eq\f(1,100)，即a50a51＝.由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2…a100＝(a50a51)50＝(1)50＝eq\r(10).16．已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿意a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值．解析：(1)設(shè){an}的公比為q(q≠0)，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列，得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2)，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝(2＋eq\r(2))n－