2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.5第2課時等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE9-第2課時等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.駕馭等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用．(重點)2.駕馭等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用．(重點)3.能用分組轉(zhuǎn)化方法求數(shù)列的和．(重點、易錯點)1.通過學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征，體現(xiàn)邏輯推理素養(yǎng)．2.借助等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用及分組求和，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．等比數(shù)列前n項和的變式當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，它可以變形為Sn＝－eq\f(a1,1－q)·qn＋eq\f(a1,1－q)，設(shè)A＝eq\f(a1,1－q)，上式可寫成Sn＝－Aqn＋A．由此可見，特別數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是由關(guān)于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)．當(dāng)公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函數(shù)(常數(shù)項為0的一次函數(shù)).思索：在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))且前n項和Sn＝3n－1＋k，則實數(shù)k的取值是什么？[提示]由題{an}是等比數(shù)列，∴3n的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)，而3n的系數(shù)為eq\f(1,3)，∴k＝－eq\f(1,3).2．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)性質(zhì)一：若Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．性質(zhì)二：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則①在等比數(shù)列中，若項數(shù)為2n(n∈N*)，則eq\f(S偶,S奇)＝q．②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．思索：在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6的值？[提示]S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.1．設(shè)數(shù)列{an}是首項為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝．15[法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15.法二：因為a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，數(shù)列{|an|}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為eq\f(1－24,1－2)＝15.]2．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且前n項和S3＝3，S6＝27，則公比q＝．2[q3＝eq\f(S6－S3,S3)＝eq\f(27－3,3)＝8，所以q＝2.]3．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則{an}的通項公式是an＝．(－2)n－1[當(dāng)n＝1時，S1＝eq\f(2,3)a1＋eq\f(1,3)，所以a1＝1.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an－1＋\f(1,3)))＝eq\f(2,3)(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即eq\f(an,an－1)＝－2，所以{an}是以1為首項的等比數(shù)列，其公比為－2，所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]4．若等比數(shù)列{an}的公比為eq\f(1,3)，且a1＋a3＋…＋a99＝60，則{an}的前100項和為．80[令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，則S100＝X＋Y，由等比數(shù)列前n項和性質(zhì)知：eq\f(Y,X)＝q＝eq\f(1,3)，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.]等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征應(yīng)用【例1】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，則數(shù)列{an}()A．肯定是等差數(shù)列B．肯定是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列或等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列B[當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；當(dāng)n＝1時，a1＝a－1，滿意上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴eq\f(an＋1,an)＝a，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．]1．已知Sn通過an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通項an，應(yīng)特殊留意n≥2時，an＝Sn－Sn－1.2．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，則{an}是等比數(shù)列．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．若{an}是等比數(shù)列，且前n項和為Sn＝3n－1＋t，則t＝．－eq\f(1,3)[明顯q≠1，此時應(yīng)有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝eq\f(1,3)·3n＋t，∴t＝－eq\f(1,3).]等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用[探究問題]1．在等差數(shù)列中，我們知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍組成等差數(shù)列．在等比數(shù)列{an}中，若連續(xù)m項的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－[提示]Sm，S2m－Sm，S3m－S2m∵在等比數(shù)列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)·qm＝Sm·q同理S3m－S2m＝Sm·q2m在Sm≠0時，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m2．若數(shù)列{an}為項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么eq\f(S偶,S奇)等于何值？[提示]由等比數(shù)列的通項公式可知eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(S奇·q,S奇)＝q.【例2】(1)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為()A．28B．32C．21D．28或－21(2)等比數(shù)列{an}中，公比q＝3，S80＝32，則a2＋a4＋a6＋…＋a80＝．思路探究：(1)由S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列求解．(2)利用eq\f(S偶,S奇)＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解．(1)A(2)24[(1)∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，即7，S4－7，91－S4成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.(2)設(shè)S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.則eq\f(S1,S2)＝q＝3，即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，∴eq\f(4,3)S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]1．(變條件)將例題(1)中的條件“S2＝7，S6＝91”改為“正數(shù)等比數(shù)列中Sn＝2，S3n＝14”求S4[解]設(shè)S2n＝x，S4n＝y(tǒng)，則2，x－2，14－x，y－14成等比數(shù)列，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）2＝2（14－x），,（14－x）2＝（x－2）（y－14），))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－40))(舍去)，所以S4n＝30.2．(變條件，變結(jié)論)將例題(2)中的條件“q＝3，S80＝32”變?yōu)椤绊棓?shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項之和是奇數(shù)項之和的eq\f(1,2)，又它的首項為eq\f(1,2)，且中間兩項的和為eq\f(3,128)”求此等比數(shù)列的項數(shù)．[解]設(shè)等比數(shù)列為{an}，項數(shù)為2n，一個項數(shù)為2n的等比數(shù)列中，eq\f(S偶,S奇)＝q.則q＝eq\f(1,2)，又an和an＋1為中間兩項，則an＋an＋1＝eq\f(3,128)，即a1qn－1＋a1qn＝eq\f(3,128)，又a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＋eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＝eq\f(3,128)?eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝eq\f(3,128)?n＝6.∴項數(shù)為2n＝12.則此等比數(shù)列的項數(shù)為12.1．在涉及奇數(shù)項和S奇與偶數(shù)項和S偶時，常考慮其差或比進(jìn)行簡化運(yùn)算．若項數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝q(S奇≠0)；若項數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q(S偶≠0).2．等比數(shù)列前n項和為Sn(且Sn≠0)，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn(q≠－1).分組求和法【例3】已知數(shù)列{an}構(gòu)成一個新數(shù)列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此數(shù)列是首項為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.思路探究：通過視察，不難發(fā)覺，新數(shù)列的前n項和恰為an，這樣即可將問題轉(zhuǎn)化為首項為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列{an}的通項公式求出后，計算其前n項和Sn就簡單多了．[解](1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(n))).(2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(3,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)))＋…＋eq\f(3,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(n)))＝eq\f(3,2)n－eq\f(3,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(n)))＝eq\f(3,4)(2n－1)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－1).分組轉(zhuǎn)化求和法的應(yīng)用條件和解題步驟(1)應(yīng)用條件一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列的通項公式相加組成．(2)解題步驟eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．求數(shù)列2eq\f(1,4)，4eq\f(1,8)，6eq\f(1,16)，…，2n＋eq\f(1,2n＋1)，…的前n項和Sn.[解]Sn＝2eq\f(1,4)＋4eq\f(1,8)＋6eq\f(1,16)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2n＋1)))＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,8)＋…＋\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n（2n＋2）,2)＋eq\f(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝n(n＋1)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2n＋1).1．在利用等比數(shù)列前n項和公式時，肯定要對公比q＝1或q≠1作出推斷；若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lgan}構(gòu)成等差數(shù)列．2．等比數(shù)列前n項和中用到的數(shù)學(xué)思想(1)分類探討思想：①利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q＝1和q≠1兩種狀況探討；②探討等比數(shù)列的單調(diào)性時應(yīng)進(jìn)行探討：當(dāng)a1>0，q>1或a1<0，0<q<1時為遞增數(shù)列；當(dāng)a1<0，q>1或a1>0，0<q<1時為遞減數(shù)列；當(dāng)q<0時為搖擺數(shù)列；當(dāng)q＝1時為常數(shù)列．(2)函數(shù)思想：等比數(shù)列的通項an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項和Sn＝eq\f(a1,q－1)(qn－1)(q≠1).設(shè)A＝eq\f(a1,q－1)，則Sn＝A(qn－1)與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，常把qn，eq\f(a1,1－q)當(dāng)成整體求解．1．推斷正誤(1)等比數(shù)列{an}共2n項，其中奇數(shù)項的和為240，偶數(shù)項的和為120，則該等比數(shù)列的公比q＝2. ()(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝a·3n－1－1，則a＝1. ()(3)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比數(shù)列． ()(4)若Sn為等比數(shù)列的前n項和，則S3，S6，S9成等比數(shù)列． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[提示](1)eq\f(S偶,S奇)＝q＝eq\f(120,240)＝eq\f(1,2)；(2)由等比數(shù)列前n項和的特點知eq\f(1,3)a＝1得a＝3；(4)由S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列知(4)錯誤．2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3A[在等比數(shù)