專題01 特殊的平行四邊形中的最值模型-將軍飲馬模型（原卷版）

專題01特殊的平行四邊形中的最值模型-將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)看是由軸對(duì)稱衍生而來(lái)，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問(wèn)題主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。例1．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在上，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．例2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．例3．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（

）

A．5 B． C． D．例4．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為3，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值是______．

變式1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上移動(dòng)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023春·成都市九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，，，E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，M為EF中點(diǎn)，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．變式3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為_(kāi)_____．模型2.平移型將軍飲馬（將軍過(guò)橋模型）【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖2）．問(wèn)題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，，；垂足分別為點(diǎn)F和E．點(diǎn)G和H分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，，那么的最小值為_(kāi)_____．

例2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，則的最小值為_(kāi)_____．例3．（2022·重慶中考模擬）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．變式1．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為_(kāi)_____．變式2．（2022·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．變式3．（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為_(kāi)_____．模型3.修橋選址模型（將軍遛馬模型）【模型解讀】已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：如圖1如圖2（1）如圖1，過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為_(kāi)___________．例2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊在軸上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，線段軸，且點(diǎn)坐標(biāo)為，若菱形沿軸左右運(yùn)動(dòng)，連接、，則運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形周長(zhǎng)的最小值是________．變式1．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點(diǎn)E、F分別是AB、DC上的動(dòng)點(diǎn)，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．變式2．（2023·黑龍江牡丹江·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運(yùn)動(dòng)，且．連接，．則周長(zhǎng)的最小值是______．變式3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是________．

模型4.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·江蘇連云港·校考三模）如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則的最小值為_(kāi)_____公里．例2．（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，在中，．如果在三角形內(nèi)部有一條動(dòng)線段，且，則的最小值為_(kāi)_______．

變式1．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．

變式2．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5模型5.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為_(kāi)_______．

例2．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為_(kāi)___________，的最小值為_(kāi)_________．例2．（2022·河南南陽(yáng)·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為_(kāi)___．變式1．（2023·湖北黃岡·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且，點(diǎn)G為直線上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值是___________．

變式2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為，則的最大值為_(kāi)_____．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)P是菱形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．2．（2023春·福建廈門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．43．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．4．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．25．（2022·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．56．（2022·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．則EC+GC的最小值為（）A．2 B．4 C．2 D．47．（2022·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線AC和邊AD上，連接DE，EF，若AC=4，BD=2，則DE，EF之和的最小值為_(kāi)_____．8．（2022·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，線段EF在AB邊上，以EF為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形EFGH，連接AH，CG．若，，，則的最小值為_(kāi)_____．9．（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)，在上，且，連接，，則的最小值為_(kāi)_______．9．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在邊上，且，連接和，則的最小值是_______．10．（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)________．11．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知長(zhǎng)方體，是棱上任意一點(diǎn)，是側(cè)面對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是________．

12．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，則的最小值是___．13．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為_(kāi)_______．14．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，在邊上有一線段由B向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，E在F的左側(cè)，，連接，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．

15．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)、是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．16.如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60o，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC,P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM－PN的最大值為.17．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，周長(zhǎng)的最小值是______．

18．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，對(duì)角線，P是上任意一點(diǎn)，M是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________________．

19．（2023春·黑龍江牡丹江·八年級(jí)校考期中）問(wèn)題背景：（1）如圖（1），在公路的一側(cè)有，兩個(gè)工廠，，到公路的垂直距離分別為和，，之