專題07 圓中的重要模型-圓中的外接圓和內切圓模型（原卷版）

專題07.圓中的重要模型--圓中的內切圓和外接圓模型模型1、內切圓模型【模型解讀】內切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是該多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。三角形內切圓圓心：在三角形中，三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心，圓心到三角形各個邊的垂線段相等。正多邊形必然有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。【常見模型及結論】1）三角形的內切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。圖1圖2圖32）直角三角形的內切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內切圓（即O為三角形ABC的內心），⊙O的半徑為r。結論：①點O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；3）四邊形的內切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內切圓。結論：。例1．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，在中，，半徑為的是的內切圓，連接，分別交于D，E兩點，則的長為．（結果用含的式子表示）例2．（2022秋·安徽·九年級統考期末）如圖，在中，，過點作于點D，P是內一點，且，連接交于點，若點恰好為內心，則的度數為（

）A．36° B．48° C．60° D．72°例3．（2023秋·河南漯河·九年級統考期末）如圖，是的內切圓，切點分別為，且，，，則的半徑是．

例4．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統考期末）如圖，點是的內心，，，，，則的半徑為．

例5．（2023·江蘇南京·九年級校聯考階段練習）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．若，，則的值是．例6．（2023·成都市九年級期中）如圖，是的內切圓，、、為切點，，，，切交于，交于，則的周長為（

）

A． B． C． D．例7．（2023·四川宜賓·九年級專題練習）如圖，在直角坐標系中，一直線l經過點M（，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且MA＝MB，可求得△ABO的內切圓⊙O1的半徑r1＝﹣1；若⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，…，按此規(guī)律，則⊙O2014的半徑r2014＝．例8．（2023·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，在內切圓半徑為1的直角三角形ABC中，，，內切圓與BC邊切于點D，則A到D的距離AD（

）A． B． C． D．模型2、多邊形的外接圓模型【模型解讀】外接圓：與多邊形各頂點都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個凸多邊形來說的，如三角形，若一個圓恰好過三個頂點，這個圓就叫作三角形的外接圓，此時圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點）?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y論】1）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結論：①OA=OB=OC；②。圖1圖2圖32）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。結論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形。結論：①；；②。例1．（2023·黑龍江·校聯考模擬預測）△ABC中，∠A＝80°，點M是△ABC的外心，點N是△ABC的內心，連接BM，CM，BN，CN，則∠BMC與∠BNC的差為（）A．30° B．35° C．40° D．45°例2．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯考期末）如圖，點O，I分別是銳角的外心、內心，若，則的度數為．例3．（2023·湖北武漢·九年級階段練習）如圖，等腰△ABC內接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為.例4．（2022春·江蘇·九年級期末）中，，，點I是的內心，點O是的外心，則．例5．（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，∠C=60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點D，E，已知⊙O的半徑為．（1）求證：△CDE∽△CBA；（2）求DE的長．例6．（2023湖北省荊門市九年級上期中）如圖，、、、是上的四個點，．(1)判斷的形狀，并證明你的結論；(2)探究、、之間的數量關系，并證明你的結論．例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點．（1）求∠BPC的度數；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設PA，BC交于點M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．課后專項訓練1．（2023·湖北恩施·九年級統考期末）如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，則△ABC的周長為（

）A．10 B．10 C．14 D．162．（2023春·湖北九年級課時練習）已知的內切圓的半徑為，且，的周長為16，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕．將再次折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，，交于點．則以下結論一定成立的是（

）A． B．C．點到三邊的距離相等 D．點到三個頂點的距離相等4．（2022春·綿陽市九年級課時練習）如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BD，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的大小為（

）A．64° B．120° C．122° D．128°5．（2023·山西太原·校考模擬預測）如圖，截的三條邊所得的弦長相等，若，則的度數為()A． B． C． D．6．（2023·河北邢臺·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，點為的內心，點在邊上，且⊥，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．7．（2023春·湖北九年級期中）點I是的內心，若，則的度數為（）A． B． C． D．或8．（2023·重慶九年級期中）已知三角形三邊長分別為5cm、5cm、6cm，則這個三角形內切圓的半徑是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm9．（2023·廣東廣州·統考中考真題）如圖，的內切圓與，，分別相切于點D，E，F，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，10．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，點I為的內心，連接并延長交的外接圓于點D，若，點E為弦的中點，連接，若，則的長為（）A．5 B． C．4 D．11．（2022秋·浙江寧波·九年級統考期末）如圖，點為的內心，連接并延長交的外接圓于點，交于點，若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．812．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的內心，則線段OI的值為（）A．1 B． C． D．13．（2022春·浙江·九年級專題練習）如圖，點O是△ABC的內心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，則∠D的度數是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°14．（2023·江蘇九年級課時練習）已知等腰直角三角形外接圓半徑為5，則內切圓半徑為（）A．5+5 B．12﹣5 C．5﹣5 D．10﹣1015．（2023·山東聊城·統考中考真題）如圖，點O是外接圓的圓心，點I是的內心，連接，．若，則的度數為（

）

A． B． C． D．16．（2023·山東九年級月考）如圖，是的內切圓，切點分別為點、、，設的面積、周長分別為、，的半徑為，則下列等式：①；②；③；④，其中成立的是（填序號）17．（2023·四川綿陽·統考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內切圓，其半徑為，則△BIC的外接圓直徑為.18．（2023·廣東·九年級專題練習）已知，點為的外心，點為的內心．（1）若，則；（2）若，則．19．（2023·江蘇南京·統考二模）如圖，正方形的邊長是，是邊的中點．將該正方形沿折疊，點落在點處．分別與，，相切，切點分別為，，，則的半徑為．

20．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，I是的內心，的延長線交的外接圓于點D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點D是的外心．21．（2023浙江年級上期中）我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如圖1，與的三邊分別相切于點則叫做的外切三角形.以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖2，與四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA分別相切于點則四邊形叫做的外切四邊形．（1）如圖2，試探究圓外切四邊形的兩組對邊與之間的數量關系，猜想：(橫線上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用圖2證明你的猜想(寫出已知，求證，證明過程)；（3）用文字敘述上面證明的結論：；（4）若圓外切四邊形的周長為相鄰的三條邊的比為，求此四邊形各邊的長．22．（2023·福建泉州·統考二模）如圖，在中，點I是的內心．(1)求作過點I且平行于的直線，與分別相交于點D，E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，，，求的長．

23．（2023·山東·九年級專題練習）如圖所示，在中，（1）求.（2）求內切圓半徑.24．（2023春·廣東廣州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，以為直徑的半圓O交于點D．(1)尺規(guī)作圖：過點D作半圓O的切線，交于點E；(2)求證：；(3)若，，求半圓O的半徑長．25．（2023.山東九年級期中）探究問題：

(1)閱讀理解：①如圖A，在所在平面上存在一點P，若它到三個頂點的距離之和最小，則稱點P為的費馬點，此時的值為的費馬距離．②如圖B，若四邊形的四個頂點在同一個圓上，則有，此為托勒密定理．知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C，已知點P為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據（2）①的結論，我們有如下探尋（其中均小于）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖D，在的外部以為一邊作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接．易知________；第三步：請你根據（1）①中定義，在圖D中找出的費馬點P，則線段______的長度即為的費馬距離．(2)知識應用：今年以來某市持續(xù)干旱，許多村莊出現了人、畜飲水困難的問題，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到該市某地打井取水．已知三村莊A、B、C構成了如圖E所示的（其中，均小于），現選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．26．（2023江蘇鹽城九年級月考）探究題(1)知識儲備：①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．(2)知