初中數(shù)學(xué)“最值問(wèn)題”中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)，“最值問(wèn)題”中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題一個(gè)可以真正學(xué)習(xí)的平臺(tái)！教學(xué)目的：進(jìn)一步理解從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，對(duì)于軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有一個(gè)比較深入的認(rèn)識(shí)，可以通過(guò)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找到證明的方法。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：猜想驗(yàn)證的過(guò)程，及幾何問(wèn)題的說(shuō)理性。一、點(diǎn)關(guān)于一條直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題問(wèn)題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？問(wèn)題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A處，家在B處，小河為L(zhǎng)，小明要在直線L上找一個(gè)點(diǎn)C（小狗在C處飲水），使得AC+BC最短。（如圖所示）知識(shí)介紹：兩條線段之和最短，往往利用對(duì)稱(chēng)的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來(lái)研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短，可以得出結(jié)果。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的對(duì)稱(chēng)有兩類(lèi)，一類(lèi)是軸對(duì)稱(chēng)，一類(lèi)是中心對(duì)稱(chēng)。軸對(duì)稱(chēng)有兩個(gè)基本特征：垂直與相等。構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的方法是：過(guò)M作MO垂直于PQ于點(diǎn)O，并延長(zhǎng)MO到點(diǎn)N，使NO=MO，則點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。問(wèn)題分析：過(guò)A作AO垂直于直線L于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)A’，使A’O=AO，連接A’B，交直線L于點(diǎn)C，則小明沿著ACB的路徑就可以滿足小狗喝上水，同時(shí)又使回家的路程最短。問(wèn)題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)。問(wèn)題的延伸1：已知直線L外有一個(gè)定點(diǎn)P，在直線L上找兩點(diǎn)A、B，使AB=m，且PA+PB最短。（其中m為定值）提示：作PC平行于AB，且PC==AB，則問(wèn)題變?yōu)椋涸谥本€L上找一個(gè)點(diǎn)B，使它到P、C兩點(diǎn)的距離之和最短。問(wèn)題的延伸2：在兩條相交線之外有一個(gè)定點(diǎn)P，分別在兩條直線上找點(diǎn)B、C使得PB+BC+CP最短，如何確定B、C的位置？提示：分別作點(diǎn)P關(guān)于直線L1和直線L2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1和P2，連接P1P2分別與兩直線交于B、C點(diǎn)，則PB+BC+PC最短。證明方法同上。二、橋該建在哪里：?jiǎn)栴}超市：農(nóng)場(chǎng)里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚(yú)。在河的兩岸有兩個(gè)加工廠，農(nóng)場(chǎng)主經(jīng)常要在這兩個(gè)工廠之間來(lái)回奔波。農(nóng)場(chǎng)新買(mǎi)了一輛汽車(chē)，想在農(nóng)場(chǎng)內(nèi)建造一條馬路，同時(shí)在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，可是橋應(yīng)該建在何處，才能使兩個(gè)加工廠之間的路程最短？問(wèn)題數(shù)學(xué)化：在直線L1和直線L2之間作一條垂線段CD，使得BC+CD+DA最短。知識(shí)介紹：關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。一般說(shuō)來(lái)，線段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來(lái)加以證明。另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。）問(wèn)題分析：由于CD的長(zhǎng)度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我們想辦法把線段AD平移到和線段BC共線的位置，于是變化為下面兩圖。問(wèn)題的總結(jié)與結(jié)論：一般來(lái)說(shuō)，我們利用圖形的對(duì)稱(chēng)性尋找到最近的位置，然后利用三角形和對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)去證明你所選取的位置是題目中所要求的位置即可。問(wèn)題的延伸：如果有兩條河，需要建造兩座橋，又該如何呢？如圖，把A向下平移到A’的位置，使線段AA’等于河L1－L2的寬度；把B向上平移到B’的位置，使線段BB’等于河L3－L4的寬度。連接線段B’A’，交L2于點(diǎn)C，交L3于點(diǎn)F。過(guò)C、F分別作垂線段CD、FE，就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河流建更多的橋又如何呢？三、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的進(jìn)一步延伸。我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)找到一些特殊位置使得線段和最小，那么對(duì)于線段差最小的問(wèn)題，是否可以得出一些相關(guān)的結(jié)論呢？1、直線L的異側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上求一個(gè)點(diǎn)C，使得：A、B到C的距離的差的絕對(duì)值最小。2、你認(rèn)識(shí)一些什么樣的軸對(duì)稱(chēng)圖形，它們各自有什么樣的幾何性質(zhì)？等腰三角形、矩形、正多邊形等。四、如何平分土地：?jiǎn)栴}超市：水渠旁有一大塊耕地，要畫(huà)一條直線為分界線，把耕地平均分成兩塊，分別承包給兩個(gè)人，BC邊是灌溉用的水渠的一岸。兩個(gè)人不知道怎么平分土地最能滿足個(gè)人的需要，你看這個(gè)土地的形狀（比較規(guī)則的L形）（如右圖所示），應(yīng)該怎樣平分呢？問(wèn)題數(shù)學(xué)化：如何在由兩個(gè)矩形所組成（割、補(bǔ)）的圖形中尋找一條直線，使得圖形被分成兩部分，且兩部分的面積相等，而且，均含有BC邊的一部分。問(wèn)題分析：1、如何才能把一個(gè)矩形的面積等分。如圖，可以應(yīng)用矩形的兩條對(duì)角線所在的直線AC、BD，每組對(duì)邊的中點(diǎn)所在直線MP、NQ，且這四條直線都交于同一點(diǎn)O，對(duì)矩形的對(duì)稱(chēng)中心。即經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心O的任意一條直線都可以平分矩形的面積。2、利用這個(gè)結(jié)論，土地可以看成是兩個(gè)矩形進(jìn)行割、補(bǔ)得到的，分別在每個(gè)圖中作兩個(gè)矩形的對(duì)稱(chēng)中心，經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)作一條直線，這條直線就可以把這兩個(gè)矩形的面積進(jìn)行平分，分別如上面三個(gè)圖形所示：?jiǎn)栴}的延伸：三個(gè)方案確定之后，兩個(gè)農(nóng)民并不滿意，他們認(rèn)為：“這三種方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC邊并沒(méi)有被平分?！眱扇藶榱斯喔确绞?，都想把靠近水源的BC邊也平分了，誰(shuí)會(huì)愿意要水源少的那塊地呢？這三種分地的方法并不公平。那為了既平分土地，也平分水源，有什么辦法呢？問(wèn)題的分析：（如下圖所示）直線QR就是原來(lái)的分界線l，取線段QR的中點(diǎn)為S，取線段BC的中點(diǎn)為P，則直線PS就是滿足兩個(gè)農(nóng)民要求的分界線。問(wèn)題的證明：與中，三組內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且RS=PS，則兩個(gè)三角形全等，所以兩個(gè)三角形的面積相等，于是經(jīng)過(guò)直線TP的分界仍保證了土地的平分，且過(guò)點(diǎn)P也使得水源得到了平分。思考：如果用后兩種方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？五、臺(tái)球桌上的數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題超市：臺(tái)球被打到臺(tái)球桌邊上，反彈回來(lái)，就是我們常用的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。臺(tái)球從球桌的一個(gè)角出發(fā)，若沿著角將球打到對(duì)邊，然后，球經(jīng)過(guò)幾次碰撞，最后到另外的三個(gè)角落之一。如果臺(tái)球桌的長(zhǎng)和寬之比為2:1，需要碰撞幾次？如果臺(tái)球桌的長(zhǎng)和寬之比為3:2、4:3、5:2、5:3……情況又會(huì)怎樣？知識(shí)介紹：此題類(lèi)似于物理中光線的反射，當(dāng)光線入射到平面鏡上的時(shí)候，光線會(huì)被鏡子反射。把反射光線和入射光線看成兩條直線的話，那么入射角等于反射角。這在數(shù)學(xué)上就是軸對(duì)稱(chēng)。在臺(tái)球桌（長(zhǎng)方形），由于入射角是，所以反射角也是，這樣入射線和反射線形成一個(gè)直角，相應(yīng)的，在臺(tái)球桌上就構(gòu)成了一個(gè)等腰直角三角形，利用這一性質(zhì)我們可以得到一些有趣的結(jié)論。問(wèn)題分析：我們分下面幾種情況進(jìn)行分析：（1）如果長(zhǎng)寬比為2:1，如圖，則1次就夠了；（2）如果長(zhǎng)寬比為3:2，如圖，則要碰撞