實(shí)際問題與一元二次方程（傳播問題和變化率問題）（教學(xué)設(shè)計(jì)）-九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課系列

21.3實(shí)際問題與一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.3實(shí)際問題與一元二次方程第1課時(shí)，內(nèi)容包括：利用一元二次方程解決傳播問題和變化率問題。2.內(nèi)容解析本節(jié)課學(xué)習(xí)如何利用一元二次方程解決傳播問題和變化率問題。想要解決傳播問題，就要分析兩輪傳播中每個(gè)周期內(nèi)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再次體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生分析問題和運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的能力。探究2以成本下降為問題背景，討論平均變化率的問題，這類問題在現(xiàn)實(shí)世界中有許多原型，例如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、人口增長(zhǎng)率等，教材中討論兩輪（即兩個(gè)時(shí)間段）的平均變化率，它可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型，涉及成本下降額和成本下降率，這兩個(gè)接近而不同的概念，前者表示絕對(duì)變化量，單位是元；后者表示相對(duì)變化量，是表示比率的數(shù)字，通過這個(gè)問題，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到分析問題時(shí)應(yīng)對(duì)變化額與變化率兩者兼顧，這樣才能全面比較對(duì)象的變化狀況。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系，正確列出一元二次方程。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)1）根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程。2)通過列方程解應(yīng)用題體會(huì)一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)1)的標(biāo)志是：通過審題，分析出“傳播問題”中每個(gè)周期的傳播源和傳播后的總數(shù)各是什么，分析出“變化率問題”中“第一個(gè)時(shí)間段”,“第二個(gè)時(shí)間段”變化前、后的量與平均變化率的關(guān)系，從而選擇合適的未知數(shù)，列出相應(yīng)的代數(shù)式。找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實(shí)際問題。達(dá)成目標(biāo)2）的標(biāo)志是：對(duì)用方程解決實(shí)際問題的步驟（審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答）進(jìn)行回顧、總結(jié)和深化，體會(huì)一元二次方程是解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)模型。三、教學(xué)問題診斷分析九年級(jí)學(xué)生已具備一定的建模思想，也接觸了一些實(shí)際問題，了解將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的一般步驟，積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)和方法。學(xué)生解決“傳播問題”的困難是：“第一輪”，“第二輪”中的傳染源及被傳染總?cè)藬?shù)是多少，在弄清問題背景，明確數(shù)量關(guān)系后，還要解決第二輪被傳染總?cè)藬?shù)的代數(shù)式如何表示的問題。學(xué)生解決“變化率問題”的困難是：“第一個(gè)時(shí)間段”，“第二個(gè)時(shí)間段”變化前、后的數(shù)量和平均變化率的關(guān)系，在弄清問題背景，分析數(shù)量關(guān)系后，還要解決第二個(gè)時(shí)間段的代數(shù)式如何表示問題?；谝陨戏治觯_定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題的等量關(guān)系。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新課【提問】已經(jīng)學(xué)過了哪些解一元二次方程的方法?師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生回答?！咎釂枴炕仡櫫蟹匠探鉀Q實(shí)際問題的基本步驟?師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生回答。【設(shè)計(jì)意圖】先回顧解一元二次方程及列方程解決實(shí)際問題的相關(guān)知識(shí)，為本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)利用一元二次方程解決傳播問題和變化率問題做好鋪墊。（二）探究新知【問題】有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動(dòng)過程中可提出如下提示性問題：【提問1】本題要解決什么問題？（傳播問題）【提問2】第一輪、第二輪中傳染源人數(shù)和被傳染人數(shù)各是多少？如何表示？（設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則第一輪傳染源人數(shù)為1人，被傳染人數(shù)為x人，第二輪傳染源人數(shù)為（x+1）人，被傳染人數(shù)為x（x+1）人）【設(shè)計(jì)意圖】將學(xué)生放置在實(shí)際問題的背景下，針對(duì)具體情景分析其中的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生理解的難點(diǎn)就是如何表示每一輪的傳染源人數(shù)和被傳染人數(shù)。因此在此設(shè)問，以幫助學(xué)生理解?！咎釂?】本題中的等量關(guān)系是什么？你能解決這個(gè)問題嗎?師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，給出答案。等量關(guān)系:初始傳染源人數(shù)+第一輪被傳染人數(shù)+第二輪被傳染人數(shù)=兩輪后傳染總?cè)藬?shù)解設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人列方程1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10，x2=-12（不合題意，舍去）答：平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人【設(shè)計(jì)意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。【問題】如果按照這樣的傳播速度，第三輪傳染過后，總共有多少人得流感？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動(dòng)過程中可提出如下提示性問題：【提問4】前兩輪總共有多少人患流感？每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？（121人、10人）【提問5】第三輪中傳染源人數(shù)和被傳染人數(shù)各是多少？（121人、1210人）【提問6】你能解決這個(gè)問題嗎?師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，回答，得出121+121×10=1331（人）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步理解傳播問題的特征?！締栴}】若某人感染流感，假設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，填空：師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，回答，教師引導(dǎo)與糾正，最后得出解決“傳播問題”的關(guān)鍵步驟是：明確每輪傳播中的傳染源個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的總數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過歸納，明確“傳播問題”的基本特征，以及解決此類問題的一般過程和方法。（三）典例分析例1某種電腦病毒傳播速度非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有144臺(tái)電腦被感染．請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過1700臺(tái)？【詳解】解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，由題可知1+x+1+x整理得(x+1)解得x1=11，則（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+11）3=1728＞1700．答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染11臺(tái)電腦.若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過1700臺(tái)；例2某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．(1)現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在進(jìn)入第二輪傳染前，有兩位患者被及時(shí)隔離并治愈，問第二輪傳染后患病的人數(shù)會(huì)有21人嗎？【解析】(1)解：由題意可知：第一輪傳染后患病的人數(shù)(1+x)人，(2)解：設(shè)在每輪傳染中一人將平均傳給x人，根據(jù)題意得：x?1+x(x?1)=21，整理得：x2解得：x1=22∵x1，x∴第二輪傳染后共會(huì)有21人患病的情況不會(huì)發(fā)生．師生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生板演，然后師生共同糾錯(cuò)，使學(xué)生明確自己的錯(cuò)誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對(duì)癥下藥。[針對(duì)訓(xùn)練]1．有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后有若干人被傳染上流感．假設(shè)在每輪的傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人．(1)第二輪被傳染上流感人數(shù)是______；（用含x的代數(shù)式表示）(2)在進(jìn)入第二輪傳染之前，如果有4名患者被及時(shí)隔離（未治愈），經(jīng)過兩輪傳染后是否會(huì)有63人患病的情況發(fā)生，并說明理由．【詳解】（1）解：第一輪被感染的人數(shù)為x，第二輪被傳染上流感人數(shù)是xx+1（2）解：經(jīng)過兩輪傳染后不會(huì)有63人患病的情況發(fā)生，理由如下：依題意得：1+x+xx+1?4整理得：x2解得：x1=1+37∵x1∴第二輪傳染后不會(huì)有63人患病的情況發(fā)生．2.學(xué)生會(huì)要組織“西實(shí)杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)）．（1）如果有4支球隊(duì)參加比賽，那么共進(jìn)行______場(chǎng)比賽；（2）如果全校一共進(jìn)行36場(chǎng)比賽，那么有多少支球隊(duì)參加比賽？【詳解】解：（1）12×4×3=6（場(chǎng)），答：共進(jìn)行（2）設(shè)有x支球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得：12x解得：x1=9,答：有9支球隊(duì)參加比賽．3某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個(gè)支干長(zhǎng)出多少個(gè)小分支？解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則1+x+x2=91解方程，得x1=9，x2=-10（不合題意，舍去）答：每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支師生活動(dòng)：學(xué)生積極回答問題，教師負(fù)責(zé)引導(dǎo)與提示，最后由多媒體展示具體求解過程?！驹O(shè)計(jì)意圖】檢測(cè)“傳播問題”的掌握情況。（四）新知講解【問題】1．某農(nóng)戶的小麥產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為x，第一年的產(chǎn)量為50000kg，第二年的產(chǎn)量為____________kg，第三年的產(chǎn)量為______________kg．2．某糧食廠2021年面粉產(chǎn)量為a噸，如果在以后兩年平均減產(chǎn)的百分率為x，那么預(yù)計(jì)2022年的產(chǎn)量將是_________噸．2023年的產(chǎn)量將是__________噸．師生活動(dòng)：學(xué)生積極思考，討論交流答案。師生一起總結(jié)得出，與變化率相關(guān)問題的等量關(guān)系是：設(shè)平均變化率為x，則變化前的數(shù)量×(1+x)2【設(shè)計(jì)意圖】明確與變化率有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，為建立一元二次方程模型解決變化率問題打好基礎(chǔ)?！締栴}】?jī)赡昵吧a(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動(dòng)過程中可提出如下提示性問題：【提問1】什么是下降額？下降率如何計(jì)算？下降額=下降前的量-下降后的量下降率=下降額

下降前的量

【提問2】什么是增長(zhǎng)額？增長(zhǎng)率如何計(jì)算？增長(zhǎng)額=增長(zhǎng)后的量-增長(zhǎng)前的量增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)額

增長(zhǎng)前的量

【提問3】計(jì)算甲、乙兩種藥品成本的年平均下降額？甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000（元），乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3600）÷2=1200（元）．顯然，乙種藥品的年平均下降額較大，但是年平均下降額（元）不等同于年平均下降率（百分率）。【提問4】一年后、兩年后甲、乙兩種藥品成本各是多少元？如何表示？設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，一年后甲種藥品成本為5000（1-x）元，兩年后甲種藥品成本為設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為y，一年后乙種藥品成本為6000（1-y）元，兩年后乙種藥品成本為【設(shè)計(jì)意圖】將學(xué)生放置在實(shí)際問題的背景下，針對(duì)具體情景分析其中的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生理解的難點(diǎn)就是如何表示“第一個(gè)時(shí)間段”,“第二個(gè)時(shí)間段”變化前、后的量與平均變化率的關(guān)系。因此在此設(shè)問，以幫助學(xué)生理解?！咎釂?】本題中的等量關(guān)系是什么？你能解決這個(gè)問題嗎?師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，給出答案。等量關(guān)系:平均變化率為a，變化前的數(shù)量×1+解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x列方程得

50001?x解方程得x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．答：甲種藥品成本的年平均下降率為22.5%解：設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為y列方程得

60001?x解方程得x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．答：乙種藥品成本的年平均下降率為22.5%【問題】經(jīng)過計(jì)算，你能得出什么結(jié)論？（兩種藥品成本的年平均下降率相等）【問題】成本下降額大的藥品，它的成本下降率一定也大嗎？成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大。【問題】應(yīng)怎樣全面地比較幾個(gè)對(duì)象的變化狀況？成本下降額表示絕對(duì)變化量，成本下降率表示相對(duì)變化量，兩者兼顧才能全面比較對(duì)象的變化狀況。師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，給出答案。【設(shè)計(jì)意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。（五）典例分析例3某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設(shè)該公司2、3、4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本．【詳解】（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），答：預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．師生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生板演，然后師生共同糾錯(cuò)，使學(xué)生明確自己的錯(cuò)誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對(duì)癥下藥。[針對(duì)訓(xùn)練]1.2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，全國(guó)各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長(zhǎng)征路”主題教育學(xué)習(xí)活動(dòng)，我市“紅二方面軍長(zhǎng)征出發(fā)地紀(jì)念館”成為重要的活動(dòng)基地．據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；（2）按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)6月份的參觀人數(shù)是多少？【詳解】（1）解：設(shè)這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：10(1+x)解得：x1=10%，答：這兩個(gè)月參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為10%．（2）12.1×(1+10%)=13.31（萬人），答：六月份的參觀人數(shù)為13.31萬人．【設(shè)計(jì)意圖】檢測(cè)“變化率問題”的掌握情況。（六）直擊中考1．（2022·黑龍江真題）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（

）A．8 B．10 C．7 D．9答案：B2．（2023·湖南永州真題）某縣2020年人均可支配收入為2.36萬元，2022年達(dá)到2.7萬元，若2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為x，則下面所列方程正確的是（

）A．2.71+x2=2.36 C．2.71?x2=2.36 答案：B3．（2023·重慶真題）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，請(qǐng)列出方程________．【詳解】∵第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x．∴第二個(gè)月新建了301(1+x)個(gè)充電樁，∴第三個(gè)月新建了301(1+x)∵第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，于是有301(1+x)故答案為301(1+x)4．（2023·湖南郴州真題）隨著旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多