高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)專題9.3橢圓專題練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題9.3橢圓練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（浙江高考真題）橢圓的離心率是（）A． B． C． D．2.（2019·北京高考真題）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則()A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2 C．a(chǎn)=2b D．3a=4b3．（上海高考真題）設(shè)是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于()A.4 B.5 C.8 D.104．（2020·四川資陽?高三其他（理））已知橢圓：經(jīng)過點，且的離心率為，則的方程是（）A． B．C． D．5.（2020·河北棗強中學(xué)高三月考（文））已知橢圓C的方程為，焦距為，直線與橢圓C相交于A，B兩點，若，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．6．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點，在橢圓上是否存在點P，使，，成等差數(shù)列？若存在求出和的值；若不存在，請說明理由．7．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點（，2，…），使，，，…組成公差為d的等差數(shù)列，求a的取值范圍．8．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知定點，點為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動時，求的最大值；9．（2021·云南師大附中高三月考（理））橢圓C:的離心率是，且點A(2，1)在橢圓C上，O是坐標原點.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過原點，且l⊥OA，若l與橢圓C交于B，D兩點，求弦BD的長度.10．（2021·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）已知是橢圓兩個焦點，且.（1）求此橢圓的方程；（2）設(shè)點在橢圓上，且，求的面積.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點，使得過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2020·湖北黃州?黃岡中學(xué)高三其他（文））已知橢圓：（）的左焦點為，經(jīng)過原點的直線與交于，兩點，總有，則橢圓離心率的取值范圍為______.3.（2019·浙江高三月考）已知、分別為橢圓的左、右焦點，點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上，則橢圓的離心率為______；若過且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點，且，則___.4．（2019·浙江溫州中學(xué)高三月考）已知點在圓上，點在橢圓上，且的最大值等于，則橢圓的離心率的最大值等于__________，當橢圓的離心率取到最大值時，記橢圓的右焦點為，則的最大值等于__________．5．（2020·浙江高三月考）已知是橢圓（）和雙曲線（）的一個交點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最小值為________．6．（2020·浙江高三其他）已知當動點P到定點F（焦點）和到定直線的距離之比為離心率時，該直線便是橢圓的準線.過橢圓上任意一點P，做橢圓的右準線的垂線PH（H為垂足），并延長PH到Q，使得HQ=λPH(λ≥1).當點P在橢圓上運動時，點Q的軌跡的離心率的取值范圍是___.7．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的中心在坐標原點.長軸在z軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求橢圓方程，并求橢圓上到點O的距離為的點的坐標.8．（2021·全國高三專題練習(xí)）橢圓的焦點為、，點P為其上動點，當為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍.9．（2021·全國）（1）已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，求的最大值；（2）已知，是橢圓的左焦點，點是橢圓上的動點，求的最大值和最小值．10．（2021·貴州高三月考（文））已知橢圓C：的離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F與上頂點，原點O到直線l的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）斜率不為0的直線n過點F，與橢圓C交于M，N兩點，若橢圓C上一點P滿足，求直線n的斜率.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2.（2018·全國高考真題（理））已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（）A． B． C． D．3.（2019·全國高考真題（文））已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為（）A. B. C. D.4.（2019·全國高考真題（文））設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標為___________.5．（2021·江蘇高考真題）已知橢圓的離心率為.（1）證明：；（2）若點在橢圓的內(nèi)部，過點的直線交橢圓于、兩點，為線段的中點，且.①求直線的方程；②求橢圓的標準方程.6.（2020·天津高考真題）已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．專題9.3橢圓練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（浙江高考真題）橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，選B．2.（2019·北京高考真題）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則()A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2 C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率,化簡得,故選B.3．（上海高考真題）設(shè)是橢圓上的點．若是橢圓的兩個焦點，則等于()A.4 B.5 C.8 D.10【答案】D【解析】因為橢圓的方程為，所以，由橢圓的的定義知，故選D．4．（2020·四川資陽?高三其他（理））已知橢圓：經(jīng)過點，且的離心率為，則的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，可得，解得，故的方程是.故選：A5.（2020·河北棗強中學(xué)高三月考（文））已知橢圓C的方程為，焦距為，直線與橢圓C相交于A，B兩點，若，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點為，則由，可知，即，解得，所以把點代入橢圓方程得到，整理得，即，因，所以可得故選A項.6．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點，在橢圓上是否存在點P，使，，成等差數(shù)列？若存在求出和的值；若不存在，請說明理由．【答案】不存在；理由見解析．【分析】假設(shè)存在點P滿足題設(shè)，解方程組得和的值，再檢驗即得解.【詳解】解：假設(shè)存在點P滿足題設(shè)，則由及題設(shè)條件有，即，解得，或．由，得，．則，．∵，，∴不存在滿足題設(shè)要求的點P．7．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點（，2，…），使，，，…組成公差為d的等差數(shù)列，求a的取值范圍．【答案】【分析】分情況討論等差數(shù)列是遞增，還是遞減，分別列出不等式求解范圍.【詳解】解：注意到橢圓的對稱性及最多只能兩兩相等，可知題中的等差數(shù)列可能是遞增的，也可能是遞減的，但不可能為常數(shù)列，即．先考慮一般情形，由等差數(shù)列的通項公式有，（），因此．對于橢圓（），其焦半徑的最大值是，最小值是（其中）．當?shù)炔顢?shù)列遞增時，有，．從而．再由題設(shè)知，且，故，因此．同理，當?shù)炔顢?shù)列遞減時，可解得，故所求d的取值范圍為．8．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知定點，點為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動時，求的最大值；【答案】【分析】由橢圓定義，轉(zhuǎn)化，即得解【詳解】如圖所示，設(shè)是左焦點，則，，而．∴,當點F1在線段AM上時，等號成立，即的最大值為．9．（2021·云南師大附中高三月考（理））橢圓C:的離心率是，且點A(2，1)在橢圓C上，O是坐標原點.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過原點，且l⊥OA，若l與橢圓C交于B，D兩點，求弦BD的長度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用離心率和點在橢圓上可求出橢圓的標準方程；（2）先利用直線垂直的判定得到直線的斜率和方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元得到關(guān)于的一元二次方程，進而求出交點坐標，再利用兩點間的距離公式進行求解.【詳解】（1）由，得：，又點在橢圓上，所以，得，，所以橢圓的方程是．（2）直線的方程是，因為，且過點，所以直線的方程是，與橢圓聯(lián)立，得：，即，所以，則．10．（2021·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）已知是橢圓兩個焦點，且.（1）求此橢圓的方程；（2）設(shè)點在橢圓上，且，求的面積.【答案】（1）此橢圓的方程為；（2）的面積為.【分析】（1）由已知條件求出橢圓中即可得到橢圓方程；（2）結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理的知識求出的值，運用三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）因為是橢圓兩個焦點，所以，①又因為，②所以由①②可得，所以此橢圓的方程為.（2）設(shè)，由橢圓定義可知，③在中，由余弦定理得，即，④由③④式可得，，所以.即的面積為.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點，使得過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若長軸端點，由橢圓性質(zhì)：過的兩條切線互相垂直可得，結(jié)合求橢圓離心率的范圍.【詳解】在橢圓的長軸端點處向圓引兩條切線，，若橢圓上存在點，使過的兩條切線互相垂直，則只需，即，∴，得，∴，又，∴，即．故選：C2．（2020·湖北黃州?黃岡中學(xué)高三其他（文））已知橢圓：（）的左焦點為，經(jīng)過原點的直線與交于，兩點，總有，則橢圓離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】如圖，設(shè)橢圓右焦點為，由對稱性知是平行四邊形，，∵，∴，設(shè)，，由橢圓定義知，則，當且僅當時等號成立，在中，由余弦定理得，又，，∴，解得．故答案為：．3.（2019·浙江高三月考）已知、分別為橢圓的左、右焦點，點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上，則橢圓的離心率為______；若過且斜率為的直線與橢圓相交于AB兩點，且，則___.【答案】【解析】由于點關(guān)于直線對稱的點Q在橢圓上，由于的傾斜角為,畫出圖像如下圖所示，由于是坐標原點，根據(jù)對稱性和中位線的知識可知為等腰直角三角形，且為短軸的端點，故離心率.不妨設(shè)，則橢圓方程化為，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并化簡得.設(shè)，則①，②.由于，故③.解由①②③組成的方程組得，即.故填：（1）；（2）.4．（2019·浙江溫州中學(xué)高三月考）已知點在圓上，點在橢圓上，且的最大值等于，則橢圓的離心率的最大值等于__________，當橢圓的離心率取到最大值時，記橢圓的右焦點為，則的最大值等于__________．【答案】【解析】化簡為，圓心.的最大值為5等價于的最大值為4設(shè)，即，又化簡得到當時，驗證等號成立對稱軸為滿足故故離心率最大值為當時，離心率有最大值，此時橢圓方程為，設(shè)左焦點為當共線時取等號.故答案為和5．（2020·浙江高三月考）已知是橢圓（）和雙曲線（）的一個交點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最小值為________．【答案】.【解析】根據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，那么，因為橢圓與雙曲線有公共焦點，設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，有：，，解得，，在中，由余弦定理，可得：，即，整理得，所以，又，所以.故答案為6．（2020·浙江高三其他）已知當動點P到定點F（焦點）和到定直線的距離之比為離心率時，該直線便是橢圓的準線.過橢圓上任意一點P，做橢圓的右準線的垂線PH（H為垂足），并延長PH到Q，使得HQ=λPH(λ≥1).當點P在橢圓上運動時，點Q的軌跡的離心率的取值范圍是___.【答案】【解析】由題可知：橢圓的右準線方程為設(shè)，所以點由，所以，又，所以所以由，所以則點的軌跡方程為設(shè)點Q的軌跡的離心率則由，所以所以，則，又所以故答案為：7．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的中心在坐標原點.長軸在z軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求橢圓方程，并求橢圓上到點O的距離為的點的坐標.【答案】;，.【分析】設(shè)以P點為圓心的圓與橢圓相切，結(jié)合判別式等于零，參數(shù)值可確定，符合條件的兩個點的坐標也可求得.【詳解】∵，∴，∴.∵，∴，，∴設(shè)橢圓方程為①又∵到橢圓上的最遠距離為，則可構(gòu)造圓.②此圓必與橢圓相切，如圖所示，由①②整理得.

∵橢圓與圓相切，∴，③∴，則.則所求橢圓方程為.④把代入方程③可得，把代入④得.∴橢圓上到點P的距離等于的點的坐標為，.8．（2021·全國高三專題練習(xí)）橢圓的焦點為、，點P為其上動點，當為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍.【答案】【分析】當為直角時，作以原點為圓心，為半徑的圓，若該圓與已知橢圓相交，則圓內(nèi)的橢圓弧所對應(yīng)的x的取值范圍即為所求點P橫坐標的取值范圍.【詳解】的焦點為、，如圖所示：以原點為圓心，為半徑作圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，此時、、、都為直角，所以當角的頂點P在圓內(nèi)部的橢圓弧上時，為鈍角，由，解得.因為橢圓和圓都關(guān)于坐標軸對稱，所以點P橫坐標的取值范圍是.9．（2021·全國）（1）已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，求的最大值；（2）已知，是橢圓的左焦點，點是橢圓上的動點，求的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）的最大值為，最小值為．【分析】（1）利用橢圓定義和基本不等式求的最值；（2）求的最值時，利用橢圓的定義將其轉(zhuǎn)化為求的最值，顯然當，，三點共線時取得最值．【詳解】（1）∵，，當且僅當時取等號，∴，當且僅當時取等號，∴的最大值為100．（2）設(shè)為橢圓的右焦點，可化為，由已知，得，∴，∴．①當時，有，等號成立時，最大，此時點是射線與橢圓的交點，的最大值是．②當時，有，等號成立時，最小，此時點是射線與橢圓的交點，的最小值是．綜上，可知的最大值為，最小值為．10．（2021·貴州高三月考（文））已知橢圓C：的離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F與上頂點，原點O到直線l的距離為.（1）求橢圓C的方程；（2）斜率不為0的直線n過點F，與橢圓C交于M，N兩點，若橢圓C上一點P滿足，求直線n的斜率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知條件可得再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)直線n的方程為，設(shè)點，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合表示出點的坐標，再將其坐標代入橢圓方程中可求得直線n的斜率【詳解】（1）由題意可得橢圓C的右焦點與上頂點，所以直線為，即，因為橢圓C的離心率為，原點O到直線的距離為，所以且，解得，，所以橢圓C的方程為.（2）因為直線n的斜率不為0，所以可設(shè)直線n的方程為.設(shè)點，聯(lián)立方程得，則.因為，所以，將點P的坐標代入橢圓方程得，即，解得，故直線n的斜率為.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．2.（2018·全國高考真題（理））已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.3.（2019·全國高考真題（文））已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．4.（2019·全國高考真題（文））設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一