第4講數(shù)列選擇題壓軸題(原卷版+解析)

第4講數(shù)列選擇題壓軸題一、單選題：1．（2021浙江名校協(xié)作體開學(xué)考試）已知數(shù)集具有性質(zhì)P：對任意的，或成立，則（）A．若，則成等差數(shù)列B．若，則成等比數(shù)列C．若，則成等差數(shù)列D．若，則成等比數(shù)列2．（2021浙江省寧海中學(xué)高三零模）若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則（）A．若數(shù)列是常數(shù)列，則B．若，則數(shù)列單調(diào)遞減C．若，則D．若，任取中的9項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)列，則不全是單調(diào)數(shù)列3．（2021·江蘇三校聯(lián)考）已知數(shù)列，，，則當(dāng)時(shí)，下列判斷不一定正確的是（）A． B．C． D．存在正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，恒成立4．（2021·安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考（文））已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考）對于，，若正整數(shù)組滿足，，則稱為的一個(gè)拆，設(shè)中全為奇數(shù)，偶數(shù)時(shí)拆的個(gè)數(shù)分別為，，則（）A．存在，使得 B．不存在，使得C．存在，使得 D．不存在，使得6．（2021·湖南常德市一中高三月考）對任一實(shí)數(shù)序列，定義序列，它的第項(xiàng)為．假定序列的所有項(xiàng)都為1，且，則（）A．1000 B．2000 C．2003 D．40067．（2021·浙江臺州期末）已知數(shù)列中，，，記，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．則（）A．①③正確 B．①④正確 C．②③正確 D．②④正確8．（2021長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)(且)，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．9．（2021安徽皖南八校聯(lián)考（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，如果都有，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．設(shè)為的前n項(xiàng)和，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n的值等于（）A．17 B．18 C．19 D．2010．（2021浙江紹興月考）已知數(shù)列是公差不為零且各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為．若且，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．11．（2021中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試（理））已知，，，成等比數(shù)列，且，若，則（）A．， B．，C．， D．，12．（2021通榆縣第一中學(xué)校高三期中（理））已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．13．（2021浙江數(shù)海漫游聯(lián)考）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足，，，則下列說法正確的是（）A．存在有理數(shù)a，對任意正整數(shù)m，都有B．對于任意有理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得C．存在無理數(shù)a與正整數(shù)m，使得D．對于任意無理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得14．（2021河南南陽期中（理））已知數(shù)列，滿足，，，，則使成立的最小正整數(shù)為（）A．5 B．7 C．9 D．1115．（2021上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三月考）已知數(shù)列滿足，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增B．不存在正數(shù)，使得恒成立C．D．16．（2021湖南長沙市·長郡中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A． B． C． D．17．（2021張家口市宣化第一中學(xué)高三月考）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，設(shè)bn＝log3an，數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn的范圍（）A． B． C． D．18．（2021福建廈門市·廈門外國語學(xué)校高三期中）數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排列成如圖的形式，第一行1項(xiàng)，排；第二行2項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行3項(xiàng)……以此類推，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）A．22 B．21 C．20 D．1919．（2021浙江新高考聯(lián)盟）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并滿足：對任意，都有，則下列命題不一定成立的是（）A． B．C． D．20．（2021·安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，函數(shù)，則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件21．（2021·江西八校聯(lián)考（理））十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和小于，則操作的次數(shù)的最大值為（）(參考數(shù)據(jù)：，，，)A．4 B．5 C．6 D．722．（2021·吉林吉林三模（理））《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，今年月日時(shí)分為春分時(shí)節(jié)，其日影長為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺23．（2021·江西八校4月聯(lián)考（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，是的前項(xiàng)和，且，則（）A． B．C． D．24．（2021·四川成都二模（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，．則使得的值為（）A． B． C． D．25．（2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考）已知公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B．C． D．26．（2021·浙江新高考測評）已知是遞增數(shù)列，且，則關(guān)于數(shù)列，對任意的正整數(shù)，，下列結(jié)論不可能成立的是（）A． B．C． D．27．（2021·遼寧鐵嶺一模）已知是上的奇函數(shù)，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．28．（2021·浙江溫州二模）已知遞增等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列，則（）A．B．C．D．29．（2021·浙江新高考測評）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（）A．對任意的，都有 B．對任意的，都有C．存在，使得 D．對任意的，都有30．（2021·河南平頂山二模（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，若中存在兩項(xiàng)，，使得為其等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．4 B．9 C． D．31．（2021·河南平頂山二模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A． B． C． D．32．（2021·山西高三一模（理））已知數(shù)列中，對于，且，有，若（，且互質(zhì)），則等于（）A．8089 B．8088 C．8087 D．808633．（2021·湘豫名校聯(lián)考（文））數(shù)列各項(xiàng)均是正數(shù)，，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列；④．A．1 B．2 C．3 D．434．（2021·山東德州一模）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．35．（2021·河南非凡3月調(diào)研（理））自然奇數(shù)列：1，3，5，…，按如下方式排成三角數(shù)陣，第行最后一個(gè)數(shù)為，則的最小值為（）A． B． C．91 D．36．（2021·河南新鄉(xiāng)一模（理））已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．37．（2021·新疆二模（理））若是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，，設(shè)，記表示不超過的最大整數(shù)．設(shè)，若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．38．（2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“為有理數(shù)”是“數(shù)列中存在有理數(shù)”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件39．（2021·安徽六校2月聯(lián)考（理））已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，且首項(xiàng)，給出下列命題：：若，則；：若，則．則下列說法正確的是（）A．為真命題，為假命題 B．，都為真命題C．為假命題，為真命題 D．，都為假命題40．（2021·湖南長沙市·長沙一中高三月考）記無窮數(shù)列的前項(xiàng)的最大項(xiàng)為，第項(xiàng)之后的各項(xiàng)，···的最小項(xiàng)為，令，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．二、多選題：41．（2021江蘇省天一中學(xué)高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和，設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，則下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則42．（2021·遼寧鐵嶺一模）設(shè)數(shù)列滿足，對恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．43．（2021·廣東廣州一模）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．44．（2021·湖北B4聯(lián)考）已知數(shù)列的首項(xiàng)且滿足，其中，則下列說法中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有恒成立B．當(dāng)時(shí)，有恒成立C．當(dāng)時(shí)，有恒成立D．當(dāng)時(shí)，有恒成立45．（2021·湖南長沙市·雅禮中學(xué)高三月考）已知等比數(shù)列首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，函數(shù)，若，則（）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列 D．使得成立的的最大值為646．（2021百校聯(lián)盟12月質(zhì)檢）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則數(shù)列為等比數(shù)列 B．若，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若，則數(shù)列為等差數(shù)列 D．若，則數(shù)列為等差數(shù)列47．（2021長沙市·湖南師大附中高三月考）已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為C．當(dāng)時(shí)，D．48．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三期中）在（）中，內(nèi)角的對邊分別為，的面積為，若，，，且，，則（）A．一定是直角三角形 B．為遞增數(shù)列C．有最大值 D．有最小值49．（2021八省市適應(yīng)性考試）已知數(shù)列均為遞增數(shù)列，的前n項(xiàng)和為的前n項(xiàng)和為且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．50．（2021·浙江省杭州第二中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列滿足，對任意的恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．51．（2021揚(yáng)州市新華中學(xué)高三月考）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．時(shí)，取得最大值52．（2021江蘇南通市·海門中學(xué)高三月考）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．53．（2021福建省永泰縣第一中學(xué)高三月考）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列．斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．54．（2021廣東六校聯(lián)盟）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列．并將數(shù)列中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．55．（2021沙坪壩區(qū)·重慶八中高三月考）已知數(shù)列滿足給出下列四個(gè)命題，其中的真命題是（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增； B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增；C．?dāng)?shù)從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增； D．?dāng)?shù)列從某項(xiàng)以后單調(diào)遞增．56．（2021江蘇南京市·金陵中學(xué)高三月考）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…．，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．第4講數(shù)列選擇題壓軸題一、單選題：1．（2021浙江名校協(xié)作體開學(xué)考試）已知數(shù)集具有性質(zhì)P：對任意的，或成立，則（）A．若，則成等差數(shù)列B．若，則成等比數(shù)列C．若，則成等差數(shù)列D．若，則成等比數(shù)列【答案】D【解析】∵具有性質(zhì)P，∴或中至少有一個(gè)屬于，

由于，∴，故，從而，故；

∵，∴，故由具有性質(zhì)可知，

又∵，∴，當(dāng)時(shí)，有，即，

∵，∴，故，由具有性質(zhì)可知，

由，得，且，∴，

∴：，即是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用條件進(jìn)行等比數(shù)列的判斷，根據(jù)大小確定順序及判斷是否符合條件是解題關(guān)鍵，需要較強(qiáng)的邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于難題．2．（2021浙江省寧海中學(xué)高三零模）若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則（）A．若數(shù)列是常數(shù)列，則B．若，則數(shù)列單調(diào)遞減C．若，則D．若，任取中的9項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)列，則不全是單調(diào)數(shù)列【答案】C【分析】對于A：由數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解方程可得的值；對于B：由函數(shù)，，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性和極值，即可進(jìn)行判斷；對于D：由，判斷的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得數(shù)列都是單調(diào)數(shù)列，即可進(jìn)行判斷．【解析】對于A：若數(shù)列為常數(shù)列，則，或，故A錯(cuò)誤；對于B：若，，，設(shè)函數(shù)，，由，可得極值點(diǎn)唯一且為，極值點(diǎn)為，由，可得，則，即有由于，，由正弦函數(shù)單調(diào)性可得，∴數(shù)列是單調(diào)遞增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于D：若，任取中的9項(xiàng)，，，，，構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)列，，2，，9，是單調(diào)遞增數(shù)列；由，可得，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得或時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；或時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，∴數(shù)列都是單調(diào)數(shù)列，故D錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．3．（2021·江蘇三校聯(lián)考）已知數(shù)列，，，則當(dāng)時(shí)，下列判斷不一定正確的是（）A． B．C． D．存在正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式利用數(shù)學(xué)歸納法證明A正確，利用分析法證明B正確，取特值可說明C不正確，兩邊平方后利用放縮法可得，即可得到，分析恒成立的條件即可．【解析】，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號，假設(shè)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，由以上可知，對成立，故A正確．若成立，則需成立，即成立，而成立，故原命題，B正確；取，則，，此時(shí)，，∴可知C不正確；，，故，故，取的正整數(shù)，則有時(shí)，恒成立，故D正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法，分析法證明，特值法排除，放縮法等不等式的性質(zhì)，考查推理能力，運(yùn)算能力，屬于難題．4．（2021·安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考（文））已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用與關(guān)系可證得為等差數(shù)列，由此可求得，將進(jìn)行裂項(xiàng)后，前后相消可求得，將問題轉(zhuǎn)化為；令，可證得為遞增數(shù)列，由此得到．【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：或，又，；當(dāng)時(shí)，由得：，，整理可得：，，，即，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；綜上所述：，，，由得：，令，則，為遞增數(shù)列，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠采用裂項(xiàng)相消的方法求得，對于通項(xiàng)公式中含有類型的數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)求和時(shí)，需注意將通項(xiàng)裂成兩項(xiàng)之和的形式，進(jìn)而利用的波動(dòng)性前后相消得到結(jié)果．5．（2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考）對于，，若正整數(shù)組滿足，，則稱為的一個(gè)拆，設(shè)中全為奇數(shù)，偶數(shù)時(shí)拆的個(gè)數(shù)分別為，，則（）A．存在，使得 B．不存在，使得C．存在，使得 D．不存在，使得【答案】D【分析】任意的，至少存在一個(gè)全為1的拆分，判斷選項(xiàng)A；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，判斷能否是全偶拆分，判斷選項(xiàng)B；選項(xiàng)，可以舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，判斷選項(xiàng)．【解析】對于任意的，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故A錯(cuò)誤；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的分拆，則它至少對應(yīng)了和的均為奇數(shù)的拆，當(dāng)時(shí)，偶數(shù)拆為，奇數(shù)拆為，；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)拆為，，奇數(shù)拆為，；故當(dāng)時(shí)，對于偶數(shù)的拆，除了各項(xiàng)不全為1的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為1的拆，故，故C錯(cuò)誤，D正確．故選D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，關(guān)鍵是讀懂題意，理解定義，并能根據(jù)選項(xiàng)舉例解決問題．6．（2021·湖南常德市一中高三月考）對任一實(shí)數(shù)序列，定義序列，它的第項(xiàng)為．假定序列的所有項(xiàng)都為1，且，則（）A．1000 B．2000 C．2003 D．4006【答案】D【分析】是公差為的等差數(shù)列，可先設(shè)出的首項(xiàng)，然后表示出的通項(xiàng)，再用累加法表示出序列的通項(xiàng)，再結(jié)合求出的首項(xiàng)和的首項(xiàng)，從而求出序列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而獲解．【解析】依題意知是公差為的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，通項(xiàng)為，則，于是由于，即，解得．故．故選D【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式．題目定義的數(shù)列為二階等差數(shù)列．高階等差數(shù)列的定義是這樣的：對于對于一個(gè)給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個(gè)新數(shù)列，把數(shù)列稱為原數(shù)列的一階差數(shù)列，如果常數(shù)，則為二階等差數(shù)列，可用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．7．（2021·浙江臺州期末）已知數(shù)列中，，，記，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．則（）A．①③正確 B．①④正確 C．②③正確 D．②④正確【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列遞推公式與數(shù)列的前項(xiàng)和，判斷數(shù)列的單調(diào)性與臨界值，對每個(gè)序號逐一判斷．【解析】①，∴數(shù)列是遞增數(shù)列，又，∴與同號，又∵，∴，即，故①錯(cuò)；，由①知，數(shù)列是遞增數(shù)列且恒小于，∴，∴即恒成立，故②正確；∵，，等價(jià)于，∵數(shù)列是遞增數(shù)列且恒小于，∴存在，當(dāng)時(shí)，有，∵為固定的值，記為，趨向于，，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∵，，，∴等價(jià)于，∵恒成立，∴恒成立，故④正確；故選D．【點(diǎn)睛】解答該題的關(guān)鍵在于判斷數(shù)列的單調(diào)性與臨界值，根據(jù)數(shù)列的遞推公式判斷數(shù)列的正負(fù)，從而得數(shù)列的單調(diào)性，同時(shí)需要利用數(shù)列相關(guān)不等式的推斷數(shù)列的臨界值．8．（2021長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)(且)，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用判斷是等比數(shù)列，進(jìn)而求出和的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，解不等式即可．【解析】當(dāng)時(shí)，，兩式作差有，又由，有，得，∴也成立，可得，故數(shù)列是等比數(shù)列，∴，而，∴數(shù)列為等差數(shù)列，且，，若僅有兩個(gè)整數(shù)解，又若滿足，必有滿足，不滿足，有解得或，又當(dāng)時(shí)，，令，，可得函數(shù)單調(diào)遞減，不存在這樣的m符合題意．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C．【點(diǎn)睛】(1)利用求通項(xiàng)公式是求通項(xiàng)公式的一種常見方法；(2)若是等比數(shù)列，且，記，則為等差數(shù)列．9．（2021安徽皖南八校聯(lián)考（理））已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，如果都有，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．設(shè)為的前n項(xiàng)和，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n的值等于（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【分析】由數(shù)列的遞推式可得，再得出數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求得，討論數(shù)列中各項(xiàng)的符號，即可得所求最大值時(shí)的值．【解析】當(dāng)時(shí)，，整理可得，，，當(dāng)時(shí)，，整理可得，則，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，則，，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，故當(dāng)時(shí)，取得最大值．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，數(shù)列中項(xiàng)的符號，考查運(yùn)算能力和推理能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系得出數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而求出，判斷的符號．10．（2021浙江紹興月考）已知數(shù)列是公差不為零且各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為．若且，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)的正誤．【解析】對于A選項(xiàng)，由于，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由于，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由于，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，設(shè)，則，從而，由于，故．，故．，由此，故選項(xiàng)D正確．故選D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列中不等式關(guān)系的判斷，在解題過程中充分利用基本量來表示、，并結(jié)合作差法、不等式的基本性質(zhì)來進(jìn)行判斷．11．（2021中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試（理））已知，，，成等比數(shù)列，且，若，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由可得出，進(jìn)而得出，再由得出，即可根據(jù)的范圍判斷大?。窘馕觥吭O(shè)等比數(shù)列的公比為，則，可得，當(dāng)時(shí)，，，，，即，，整理得，顯然，，，，即，，即．故選B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過已知條件判斷出，從而可判斷大小．12．（2021通榆縣第一中學(xué)校高三期中（理））已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由利用，得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到，，將恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，再分為偶數(shù)和為奇數(shù)討論求解．【解析】當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．∵，∴．又，∴是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，，由，得，∴，∴．又，∴，∴，即對恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴，令，則數(shù)列是遞增數(shù)列，∴；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，∴，∴，∴．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列與不等式知識相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明．在解決這些問題時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．13．（2021浙江數(shù)海漫游聯(lián)考）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足，，，則下列說法正確的是（）A．存在有理數(shù)a，對任意正整數(shù)m，都有B．對于任意有理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得C．存在無理數(shù)a與正整數(shù)m，使得D．對于任意無理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得【答案】B【解析】首先若，則，否則，于是，（舍去），（1）若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，也是無理數(shù)，不論還是，仍然是無理數(shù)，這樣數(shù)列中各項(xiàng)均為無理數(shù)，∴不可能有，C、D均錯(cuò)誤．（2）①若是正整數(shù)，則或，如果某一項(xiàng)大于1就減去1，得數(shù)列的下一項(xiàng)，經(jīng)過這種操作都可以減小到1，∴存在正整數(shù)，使得，從而，②若不是正整數(shù)，設(shè)，互質(zhì)的正整數(shù)，），若，則為正整數(shù)，回到①的情形；③若不是正整數(shù)，設(shè)，互質(zhì)的正整數(shù)，），若，若，則，若，則，不妨記，則，由得到稱為一次操作，經(jīng)過有限次減1操作后，一定有，在時(shí)，這樣再繼續(xù)剛才的操作，，…，由此可得到一列數(shù)：，首先分子逐漸減小，然后分母減小，再分子逐漸減小，再分母減?。谴_定的正整數(shù)，此操作步驟一定是有限的，最后都會變成（是大于1的正整數(shù)），那么數(shù)列的下一項(xiàng)為，又回到①的情形，∴一定存在正整數(shù)，使得，從而．由此A錯(cuò)誤，B正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題方法是對正實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，無理數(shù)，有理數(shù)，有理數(shù)又分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，分別利用遞推公式得出數(shù)列的下一項(xiàng)，這稱為一次操作，對所有的有理數(shù)經(jīng)過有限次操作后都會得到1，即數(shù)列中總會出現(xiàn)1，而以后每一項(xiàng)都是1．這是一種無限與有限的結(jié)合．有理數(shù)是有無限個(gè)，但對每一個(gè)有理數(shù)又是有限的操作，從而完成證明．14．（2021河南南陽期中（理））已知數(shù)列，滿足，，，，則使成立的最小正整數(shù)為（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】令，由，可知數(shù)列是首項(xiàng)為1．8，公比為的等比數(shù)列，即，則，解不等式可得n的最小值．【解析】令，則，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1．8，公比為的等比數(shù)列，∴，由，即，整理得，由，，∴，即，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的數(shù)列遞推關(guān)系式，利用等比數(shù)列的定義，得到數(shù)列為等比數(shù)列，考查了學(xué)生的分析問題能力能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．（2021上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三月考）已知數(shù)列滿足，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增B．不存在正數(shù)，使得恒成立C．D．【答案】D【分析】利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤；推導(dǎo)出，利用數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出數(shù)列前項(xiàng)，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤．【解析】對于A選項(xiàng)，，，則，即，，則，以此類推可得知，對任意的，，∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，數(shù)列單調(diào)遞增，且對任意的，，可知當(dāng)，，∴不存在正數(shù)，使得恒成立，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，，則，，∴，∴，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，數(shù)列滿足，，則，，，，由于數(shù)列單調(diào)遞增，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查數(shù)列的單調(diào)性、極限的求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題．16．（2021湖南長沙市·長郡中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，成等差數(shù)列，可得，，則，，，，可得數(shù)列中，每隔兩項(xiàng)求和是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．則，，則的最大值可能為．由，，可得．，∵，，，即，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合題意，故的最大值為．故選A．17．（2021張家口市宣化第一中學(xué)高三月考）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，an+1＝2Sn+3，n∈N*，設(shè)bn＝log3an，數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn的范圍（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得，求得，再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得，判斷為遞增數(shù)列，可得所求范圍．【解析】首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，，可得，時(shí)，，又，兩式相減可得，則，可得，上式對也成立，則，，，，則前項(xiàng)和，，相減可得，化簡可得，由，可得為遞增數(shù)列，可得，而，可得，綜上可得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及化簡運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．18．（2021福建廈門市·廈門外國語學(xué)校高三期中）數(shù)列中的項(xiàng)按順序可以排列成如圖的形式，第一行1項(xiàng)，排；第二行2項(xiàng)，從左到右分別排，；第三行3項(xiàng)……以此類推，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（）A．22 B．21 C．20 D．19【答案】C【分析】根據(jù)題意由等比數(shù)列求和公式得各行的和，再利用分組求和法得，最后解不等式得結(jié)果．【解析】第行的和為，設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，項(xiàng)在圖中排在第行第列（且），∴有，則，，即圖中從第行第列開始，和大于．∵第行第5列之前共有項(xiàng)，∴最小正整數(shù)的值為．故選C．19．（2021浙江新高考聯(lián)盟）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并滿足：對任意，都有，則下列命題不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，對分、、三種情況討論，在時(shí)驗(yàn)證即可；在時(shí)，取，可設(shè)，根據(jù)恒成立求得實(shí)數(shù)的取值范圍，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可；同理可判斷出時(shí)各選項(xiàng)的正誤．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．①當(dāng)時(shí)，則，，則對任意的恒成立，A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)都成立；②當(dāng)時(shí)，不妨取，記，則，由可得，即，則，令，可得；令，可得．，則，解關(guān)于的不等式，可得或，∴或．由于數(shù)列單調(diào)遞減，該數(shù)列沒有最小項(xiàng)；由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴數(shù)列單調(diào)遞減，該數(shù)列的最大項(xiàng)為，．對于A選項(xiàng)，，，則，，，則，∴，A選項(xiàng)成立；對于B選項(xiàng)，，則，，，則，∴，B選項(xiàng)成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．滿足，．對于C選項(xiàng)，，，，，當(dāng)時(shí)，，∴C選項(xiàng)不一定成立；對于D選項(xiàng)，，，∴，D選項(xiàng)成立；③當(dāng)時(shí)，由②同理可知，C選項(xiàng)不一定成立．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列不等式的驗(yàn)證，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20．（2021·安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，函數(shù)，則“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先根據(jù)，求得，得到，然后由數(shù)列為遞減數(shù)列等價(jià)于恒成立求解．【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵適合上式，∴，∴，∵數(shù)列為遞減數(shù)列等價(jià)于恒成立，即恒成立，整理得對任意恒成立，∵，∴．故選C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；．若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；．21．（2021·江西八校聯(lián)考（理））十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和小于，則操作的次數(shù)的最大值為（）(參考數(shù)據(jù)：，，，)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】記表示第次去掉的長度，然后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算，最后根據(jù)，可得結(jié)果．【解析】記表示第次去掉的長度，∴，第2次操作，去掉的線段長為，，第次操作，去掉的線段長度為，∴，則，由，，∴的最大值為5，故選B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于掌握第次操作，去掉的線段長度為，建立等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型求解．22．（2021·吉林吉林三模（理））《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，今年月日時(shí)分為春分時(shí)節(jié)，其日影長為（）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【解析】小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由題意得：，解得：，∴，∴，即春分時(shí)節(jié)的日影長為．故選A．【點(diǎn)睛】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：求解應(yīng)用性問題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．23．（2021·江西八校4月聯(lián)考（文））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，是的前項(xiàng)和，且，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題得，，兩式作差化簡得數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，求出即得解．【解析】由題得，，兩式相減得，∴，∴，∴，∵數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，∴，∴，∴，∴數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．令得，解之得，∴．故選A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的通項(xiàng)常用的方法有：（1）歸納法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）構(gòu)造法．要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解．24．（2021·四川成都二模（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，．則使得的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求通項(xiàng)公式，注意討論、并判斷是否可合并，再應(yīng)用裂項(xiàng)法求，可得選項(xiàng)．【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而也符合，∴，．又，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型．25．（2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考）已知公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，可得異號．若，則，∴，則；若，則，∴，則，再由等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式對選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析可得答案．【解析】由，可得異號．若，等差數(shù)列單調(diào)遞增，則，∴，則，若，等差數(shù)列單調(diào)遞減，則，∴，則，∴，故選項(xiàng)A不正確．選項(xiàng)B．當(dāng)時(shí)，則，∴，則，則此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，而且，此時(shí)，故選項(xiàng)B不正確．選項(xiàng)C．，，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，∴選項(xiàng)C不正確．選項(xiàng)D．由，則均不為0．，∴選項(xiàng)D正確．故選D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是先分析出若，則，∴，則；若，則，∴，則，以及等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用．26．（2021·浙江新高考測評）已知是遞增數(shù)列，且，則關(guān)于數(shù)列，對任意的正整數(shù)，，下列結(jié)論不可能成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】選項(xiàng)A：可判斷A；對于選項(xiàng)B，代入特殊值即可判斷是否正確．選項(xiàng)C：可判斷C．選項(xiàng)D：可判斷選項(xiàng)D【解析】對于選項(xiàng)A，，取，則易知數(shù)列滿足條件，故選項(xiàng)A可能成立．對于選項(xiàng)B，，令，則；令，，得；令，得；令，，得．∴，即，∴與是遞增數(shù)列矛盾，故選項(xiàng)B不可能成立．對于選項(xiàng)C，由得，取，則易知數(shù)列滿足條件，故選項(xiàng)C可能成立．對于選項(xiàng)D，由，得，取，則易知數(shù)列滿足條件，故選項(xiàng)D可能成立．故選B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：試題以數(shù)列的增減性和數(shù)列的遞推關(guān)系為主線設(shè)題，考查數(shù)列的有關(guān)知識，設(shè)題巧妙，選拔性強(qiáng)，能有效考查理性思維、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)應(yīng)用學(xué)科素養(yǎng)．本題的關(guān)鍵是對選項(xiàng)進(jìn)行合理變形，舉出例子證明其不成立或成立．27．（2021·遼寧鐵嶺一模）已知是上的奇函數(shù)，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上為奇函數(shù)，知，令，則，得到．由此能夠求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】由題已知是上的奇函數(shù)，故，代入得：，∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，令，則，得到，∵，，倒序相加可得，即，故選A．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用函數(shù)的性質(zhì)以及倒序相加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題．先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對稱中心，再用換元法得到，最后利用倒序相加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．28．（2021·浙江溫州二模）已知遞增等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題中所給的條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式以及三數(shù)成等比數(shù)列的條件，列出等量關(guān)系式，求得其首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求其前10項(xiàng)和，從而得到正確答案．【解析】∵是遞增等差數(shù)列，，∴，即，①由成等比數(shù)列，∴，整理得，即，②①②聯(lián)立求得，或（舍去），∴，故選D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及三數(shù)成等比數(shù)列的條件．29．（2021·浙江新高考測評）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（）A．對任意的，都有 B．對任意的，都有C．存在，使得 D．對任意的，都有【答案】D【分析】特值法可以排除A、B選項(xiàng)，再令，可求出函數(shù)的單調(diào)性，從而可以得出，再根據(jù)累乘法可得，由此得出答案．【解析】∵，∴可取，則由得，∴，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴，即，∴，累乘可得，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列與不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而得到，進(jìn)一步用累乘法可以得到，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．30．（2021·河南平頂山二模（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，若中存在兩項(xiàng)，，使得為其等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．4 B．9 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得，即可求得q值，根據(jù)為，的等比中項(xiàng)，可求得，利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案．【解析】∵，，成等差數(shù)列，∴，又為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為q，∴，∴，解得或（舍），又為，的等比中項(xiàng)，∴，∴，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，∴的最小值為．故選D．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、基本不等式等知識，并靈活應(yīng)用，數(shù)列中應(yīng)用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意取等條件，即角標(biāo)m，n必須為正整數(shù)，屬中檔題．31．（2021·河南平頂山二模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系可得，再利用累乘法即可得，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求和即可．【解析】當(dāng)時(shí)，，則，且，即，∴．兩式作差得，即，即，∴，即．則．∴．故選A．32．（2021·山西高三一模（理））已知數(shù)列中，對于，且，有，若（，且互質(zhì)），則等于（）A．8089 B．8088 C．8087 D．8086【答案】D【分析】對的兩邊取倒數(shù)，利用等差中項(xiàng)的結(jié)論可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用已知條件求出首項(xiàng)和公差，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出，即可得出結(jié)果．【解析】對的兩邊取倒數(shù)，得，即，故數(shù)列為等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差為，故，于是，∴．故選D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對的兩邊取倒數(shù)，利用等差中項(xiàng)的結(jié)論得到數(shù)列為等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．33．（2021·湘豫名校聯(lián)考（文））數(shù)列各項(xiàng)均是正數(shù)，，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，整理得到，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可判斷；【解析】由得，∴，∴（*），①，，，，∴，正確；②由（*）知，∴首項(xiàng)，，∴是等比數(shù)列，正確；③，首項(xiàng)，不符合等比數(shù)列的定義，錯(cuò)誤；④由②對可知：，兩邊同除得，令，∴，．∴，，即數(shù)列是恒為0的常數(shù)列．∴，故錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)．34．（2021·山東德州一模）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】得到，計(jì)算，然后計(jì)算，最后可得數(shù)列為等比數(shù)列，最后根據(jù)公式計(jì)算即可．【解析】由題可知：，，∴，則兩邊取對數(shù)可得，即，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，∴，故選A．35．（2021·河南非凡3月調(diào)研（理））自然奇數(shù)列：1，3，5，…，按如下方式排成三角數(shù)陣，第行最后一個(gè)數(shù)為，則的最小值為（）A． B． C．91 D．【答案】D【分析】先求出，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值得解．【解析】由題意知：，，，…………，，累加得，則，∴，函數(shù)在上遞減，在上遞增，且．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，比較可得：當(dāng)時(shí)，取最小值為．故選D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)的最值常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式法．要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解．36．（2021·河南新鄉(xiāng)一模（理））已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，兩式相減得：，，兩式相加得：，故．故選A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將兩式相減得相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和，將第一個(gè)式子中的換成，再與第二個(gè)式子相加，得相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和，最后再計(jì)算前40項(xiàng)的和．37．（2021·新疆二模（理））若是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，，設(shè)，記表示不超過的最大整數(shù)．設(shè)，若不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由極值點(diǎn)得數(shù)列的遞推關(guān)系，由遞推關(guān)系變形得數(shù)列是等比數(shù)列，求得，由累加法求得，計(jì)算出，然后求和，利用增函數(shù)定義得此式的最小值，從而得出的最小值，再由不等式恒成立可得的最大值．【解析】，∴，即有，∴是以2為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴，又為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，若恒成立，則的最大值為1010．故選D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的極值，等比數(shù)列的判斷與通項(xiàng)公式，累加法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，函數(shù)新定義，不等式恒成立問題的綜合應(yīng)用．涉及知識點(diǎn)較多，屬于中檔題．解題方法是按部就班，按照題目提供的知識點(diǎn)順序求解．由函數(shù)極值點(diǎn)得數(shù)列的遞推公式，由遞推公式引入新數(shù)列是等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式后用累加法求得，由對數(shù)的概念求得，用裂項(xiàng)相消法求和新數(shù)列的前項(xiàng)和，并利用函數(shù)單調(diào)性得出最小值，然后由新定義得的最小值，從而根據(jù)不等式恒成立得結(jié)論．38．（2021·浙江省寧海中學(xué)高三月考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“為有理數(shù)”是“數(shù)列中存在有理數(shù)”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí)得，若為有理數(shù)時(shí)，則是有理數(shù)，故有數(shù)列中存在有理數(shù)成立；若“數(shù)列中存在有理數(shù)”不妨設(shè)，則不是有理數(shù)，即可判斷結(jié)果．【解析】設(shè)，，當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí)，，若為有理數(shù)時(shí)，則是有理數(shù)，故有數(shù)列中存在有理數(shù)成立，∵，則，∴“為有理數(shù)”能使得“數(shù)列中存在有理數(shù)”成立；若“數(shù)列中存在有理數(shù)”不妨設(shè)則為有理數(shù)，那么是無理數(shù)，故“為有理數(shù)”是“數(shù)列中存在有理數(shù)”充分不必要條件，故選A．39．（2021·安徽六校2月聯(lián)考（理））已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，且首項(xiàng)，給出下列命題：：若，則；：若，則．則下列說法正確的是（）A．為真命題，為假命題 B．，都為真命題C．為假命題，為真命題 D．，都為假命題【答案】A【解析】：若，則，由得，，，，令，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，∴，時(shí)取等號．∴，命題為真．：若，設(shè)，，則，，，，但，即不成立，是假命題，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，考查等比數(shù)列的定義，在判斷命題時(shí)，解題關(guān)鍵是利用取對數(shù)把用表示，從而把化為一元函數(shù)，利用函數(shù)的知識確定結(jié)論．而命題中是加法運(yùn)算，對等比數(shù)列來講無法計(jì)算，舉反例判斷（題中結(jié)論只有，因此數(shù)列的首項(xiàng)可取任意值）40．（2021·湖南長沙市·長沙一中高三月考）記無窮數(shù)列的前項(xiàng)的最大項(xiàng)為，第項(xiàng)之后的各項(xiàng)，···的最小項(xiàng)為，令，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故從起單調(diào)遞增，且，∴，，，，…，，又，∴數(shù)列的前項(xiàng)和為．故選A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)數(shù)列從起單調(diào)遞增，才能依次確定的項(xiàng)，找到規(guī)律，突破難點(diǎn)．二、多選題：41．（2021江蘇省天一中學(xué)高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和，設(shè)，記的前n項(xiàng)和為，則下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】先求得的取值范圍，根據(jù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用差比較法比較出和的大小關(guān)系．【解析】由于是等比數(shù)列，，∴，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，上式等價(jià)于①或②．解②得．解①，由于可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，∴．綜上所述，的取值范圍是．，∴，∴，而，且．∴當(dāng)，或時(shí)，，即，故BD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，即．當(dāng)或時(shí)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述，正確的選項(xiàng)為BD．故選BD．【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查差比較法比較大小，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．42．（2021·遼寧鐵嶺一模）設(shè)數(shù)列滿足，對恒成立，則下列說法正確的是（）A． B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，可得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，得出，即，由此可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)．【解析】由，，設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，即，即，∴，即，則，故A正確；由在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，∴是遞增數(shù)列，故B正確；∵，∴，故C錯(cuò)誤；因此，，故D正確，故選ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性得出．43．（2021·廣東廣州一模）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由題意可知，第1次得到數(shù)列1，3，2，此時(shí)，第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時(shí)，第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時(shí)，第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時(shí)，第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)，∴，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：，用等比數(shù)列求和可得，則，又，∴，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知，即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤．，故D項(xiàng)正確．故選ABD．【點(diǎn)睛】本題需要根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，對于復(fù)雜問題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅．∴對于復(fù)雜問題我們應(yīng)該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想．44．（2021·湖北B4聯(lián)考）已知數(shù)列的首項(xiàng)且滿足，其中，則下列說法中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，有恒成立B．當(dāng)時(shí)，有恒成立C．當(dāng)時(shí)，有恒成立D．當(dāng)時(shí)，有恒成立【答案】AC【分析】題設(shè)中的遞推關(guān)系等價(jià)為，根據(jù)首項(xiàng)可找到的局部周期性，從而可得正確的選項(xiàng)．【解析】∵，故，當(dāng)即時(shí)，，，，故為周期數(shù)列且，故A正確．當(dāng)即時(shí)，，同理，，，，，故，故B錯(cuò)誤．當(dāng)即時(shí)，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可有，，，，故D錯(cuò)誤．對于C，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前108項(xiàng)依次為：，，，，，，故，，，，，∴對任意總成立．（備注：∵本題為多選題，因此根據(jù)A正確，BD錯(cuò)誤可判斷出C必定正確，可無需羅列出前108項(xiàng)），故選AC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于復(fù)雜的遞推關(guān)系，我們應(yīng)該將其化簡為相對簡單的遞推關(guān)系，對于數(shù)列局部周期性的研究，應(yīng)該從特殊情況中總結(jié)出一般規(guī)律，另外，對于多選題，可以用排除法來確定可選項(xiàng)．45．（2021·湖南長沙市·雅禮中學(xué)高三月考）已知等比數(shù)列首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，函數(shù)，若，則（）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列 D．使得成立的的最大值為6【答案】BCD【分析】令，利用可得，，B正確；由可得A錯(cuò)誤；由可得C正確；由，，可推出，可得D正確．【解析】令，則，，，∵是等比數(shù)列，∴，即，，，B正確；，是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；，是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；，，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，，又，，∴使得成立的的最大值為6，D正確．故選BCD．46．（2021百校聯(lián)盟12月質(zhì)檢）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則數(shù)列為等比數(shù)列 B．若，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若，則數(shù)列為等差數(shù)列 D．若，則數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ACD【分析】由與的關(guān)系可推出，若則，由可證明為等比數(shù)列；由A求出數(shù)列的通項(xiàng)公式從而可由求得的通項(xiàng)公式；若則，可推出判斷C選項(xiàng)；此時(shí)由可推出，即可判斷D選項(xiàng)．【解析】∵即，∴．若，則，∴．故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；由A知，則，當(dāng)時(shí)，，由，，可得，，，即，故B錯(cuò)誤；若，則，∴由，得，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，故C正確；由C知，則當(dāng)時(shí)，，∴，，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確，故選ACD．47．（2021長沙市·湖南師大附中高三月考）已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)為C．當(dāng)時(shí)，D．【答案】ABD【分析】設(shè)直線，方程聯(lián)立由，可得，，從而可判斷A，B，由，可判斷C，令，．可得在上遞減，可知在上恒成立，可判斷D．【解析】設(shè)直線，聯(lián)立，得，則由，即，得（負(fù)值舍去），∴可得，，∴AB對；∵，∵，則，即，∴，，故C錯(cuò)；∵，令，．可得在上遞減，可知在上恒成立．又．∴成立．故D正確．故選ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓的切線問題和數(shù)列不等式的證明問題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出切線方程，方程聯(lián)立由，得出，，證明得到，從而可比較與的大小，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得出在上恒成立，來判斷與的大小，屬于中檔題．48．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三期中）在（）中，內(nèi)角的對邊分別為，的面積為，若，，，且，，則（）A．一定是直角三角形 B．為遞增數(shù)列C．有最大值 D．有最小值【答案】ABD【分析】先結(jié)合已知條件得到，進(jìn)而得到，得A正確，再利用面積公式得到遞推關(guān)系，通過作差法判定數(shù)列單調(diào)性和最值即可．【解析】由，得，，故，又，，，故一定是直角三角形，A正確；的面積為，而，故，故，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），，又由，知不是恒成立，即，故，故為遞增數(shù)列，有最小值，無最大值，故BD正確，C錯(cuò)誤．故選ABD．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系得到，進(jìn)而得到，再逐步突破．?dāng)?shù)列單調(diào)性常用作差法判定，也可以借助于函數(shù)單調(diào)性判斷．49．（2021八省市適應(yīng)性考試）已知數(shù)列均為遞增數(shù)列，的前n項(xiàng)和為的前n項(xiàng)和為且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用數(shù)列單調(diào)性及題干條件，可求出范圍；求出數(shù)列的前2n項(xiàng)和的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明其大小關(guān)系，即可得答案．【解析】∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，∴，即，又，即，∴，即，故A正確；∵為遞增數(shù)列，∴，∴，即，又，即，∴，即，故B正確；的前2n項(xiàng)和為=，∵，則，∴，則的2n項(xiàng)和為=，當(dāng)n=1時(shí)，，∴，故D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，∴對于任意，都有，即，故C