第4章 新高考新題型微課堂　5　多選題命題熱點之解三角形-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）

五多選題命題熱點之解三角形以三角形為載體，以正弦定理、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來考查解三角形問題是多選題中的一類熱點題型，主要考查內(nèi)容有正弦定理、余弦定理、三角形面積的計算、三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)．解題時通常交替使用正弦定理、余弦定理，利用函數(shù)與方程思想等進行求解．三角形邊、角、周長和面積的計算(多選題)(2020·煙臺模擬)在△ABC中，D在線段AB上，且AD＝5，BD＝3.若BC＝2CD，cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，則()A．sin∠CDB＝eq\f(3,10)B．△ABC的面積為8C．△ABC的周長為8＋4eq\r(5)D．△ABC為鈍角三角形BCD解析：由cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)得sin∠CDB＝eq\r(1－\f(1,5))＝eq\f(2\r(5),5)，故A錯誤；設(shè)CD＝x，CB＝2x，在△CBD中，由余弦定理得，cos∠CDB＝eq\f(9＋x2－4x2,6x)＝－eq\f(\r(5),5)，整理得，5x2－2eq\r(5)x－15＝0，解得x＝eq\r(5)或x＝－eq\f(3\r(5),5)(舍)，即CD＝eq\r(5)，BC＝2eq\r(5)，所以S△ABC＝S△BCD＋S△ADC＝eq\f(1,2)×3×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(1,2)×5×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝8，故B正確；由余弦定理得，cosB＝eq\f(BC2＋BD2－CD2,2BC·BD)＝eq\f(BC2＋AB2－AC2,2BC·AB)，即eq\f(20＋9－5,2×3×2\r(5))＝eq\f(20＋64－AC2,2×8×2\r(5))，解得AC＝2eq\r(5)，故△ABC的周長為AB＋AC＋BC＝8＋2eq\r(5)＋2eq\r(5)＝8＋4eq\r(5)，故C正確；由余弦定理得，cos∠ACB＝eq\f(20＋20－64,2×2\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(3,5)<0，故∠ACB為鈍角，D正確．故選BCD.解答三角形面積周長問題要注意的問題(1)利用正弦、余弦定理建立三角形中的邊和角的關(guān)系，并能恰當?shù)剡M行邊角互化；(2)根據(jù)題目條件和所求結(jié)論選擇正弦定理、余弦定理或三角形的面積公式；(3)注意三角形內(nèi)角的特點．在△ABC中，因為A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(多選題)(2020·山東全真模擬)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，則()A．四邊形ABCD為梯形B．圓O的直徑為7C．四邊形ABCD的面積為eq\f(55\r(3),4)D．△ABD的三邊長度可以構(gòu)成一個等差數(shù)列ACD解析：如圖．因為AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，所以∠BAD＝120°，連接BD，AC.易得△BAD≌△CDA，所以∠BAD＝∠CDA＝120°，所以∠BCD＋∠CDA＝180°，所以BC∥AD.顯然AB不平行于CD，即四邊形ABCD為梯形，故A正確．在△BAD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，所以BD2＝52＋32－2×5×3cos120°＝49，所以BD＝7，所以圓的直徑不可能是7，故B錯誤．在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos∠BCD，所以72＝CB2＋52－2×5×CBcos60°，解得CB＝8或CB＝－3(舍去)．因為S△BAD＝eq\f(1,2)AB·ADsin120°＝eq\f(1,2)×5×3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，S△BCD＝eq\f(1,2)CB·CDsin60°＝eq\f(1,2)×5×8×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(40\r(3),4)，所以S四邊形ABCD＝S△BAD＋S△BCD＝eq\f(15\r(3),4)＋eq\f(40\r(3),4)＝eq\f(55\r(3),4)，故C正確．在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，滿足AD＋BD＝2AB，所以△ABD的三邊長度可以構(gòu)成一個等差數(shù)列，故D正確．故選ACD.解三角形與三角函數(shù)的綜合(多選題)(2020·山東模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.()A．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，則C＝eq\f(π,3)B．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，則C＝eq\f(π,6)C．若邊BC上的高為eq\f(\r(3),6)a，則當eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值時，A＝eq\f(π,3)D．若邊BC上的高為eq\f(\r(3),6)a，則當eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值時，A＝eq\f(π,6)AC解析：因為2cosC(acosB＋bcosA)＝c，所以由正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，所以2cosCsin(A＋B)＝2cosCsinC＝sinC.因為sinC≠0，所以cosC＝eq\f(1,2).因為C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3)，所以A正確，B錯誤．因為邊BC上的高為eq\f(\r(3),6)a，所以eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(3)a,6)，所以a2＝2eq\r(3)bcsinA.因為cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以b2＋c2＝a2＋2bccosA＝2eq\r(3)bc·sinA＋2bccosA，所以eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2,bc)＝2eq\r(3)sinA＋2cosA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤4，當A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)時等號成立，此時A＝eq\f(π,3)，故C正確，D錯誤．故選AC.解答三角形邊、角問題的關(guān)注點(1)正確應(yīng)用所學(xué)知識“翻譯”題目條件，根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解；(2)注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是解決問題的突破口．(3)重視等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程思想的應(yīng)用．(多選題)在△ABC中，下列命題正確的有()A．若A＝30°，b＝4，a＝5，則△ABC有兩個解B．若0<tanAtanB<1，則△ABC一定是鈍角三角形C．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，則△ABC一定是等邊三角形D．若a－b＝ccosB－ccosA，則△ABC是等腰或直角三角形BCD解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(5,\f(1,2))＝eq\f(4,sinB)，得sinB＝eq\f(2,5).因為b<a，所以B<A，所以B為銳角，所以△ABC有一個解，故選項A錯誤．若0<tanAtanB<1，則tanA>0且tanB>0，所以A，B為銳角，tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)>0，所以tanC＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＜0，C為鈍角，△ABC一定是鈍角三角形，故選項B正確．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，則cos(A－B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1，即A－B＝B－C＝C－A＝0，所以A＝B＝C，所以△ABC一定是等邊三角形，故選項C正確．若a－b＝ccosB－ccosA，