新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線(xiàn)綜合講義第17講斜率定值問(wèn)題(原卷版+解析)

第16講斜率定值問(wèn)題一、解答題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率為22．分別過(guò)O，F(xiàn)的兩條弦AB，（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線(xiàn)AC，BD的斜率之和為定值．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：＋＝1的離心率為，直線(xiàn)l：y=x與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，AB=，C，D是橢圓E上異于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AD，BC相交于點(diǎn)N．（1）求a，b的值；（2）求證：直線(xiàn)MN的斜率為定值．3．已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．Ⅰ

求橢圓C的方程；Ⅱ

若是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使的角平分線(xiàn)總垂直于x軸，試判斷直線(xiàn)PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由.4．已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為.（1）求橢圓C的離心率；（2）若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的角平分線(xiàn)總是垂直于y軸，試問(wèn)：直線(xiàn)的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．已知橢圓（）的離心率為，、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）若Q是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N在橢圓上，O為原點(diǎn)，點(diǎn)Q，M，N滿(mǎn)足，則直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿(mǎn)足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線(xiàn)，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．已知圓F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2=(4-r)2．（1）證明：圓F1與圓F2有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程；（2）已知點(diǎn)Q(m，0)(m<0)，過(guò)點(diǎn)E斜率為k(k≠0）的直線(xiàn)與（Ⅰ）中軌跡E相交于M，N兩點(diǎn)，記直線(xiàn)QM的斜率為k1，直線(xiàn)QN的斜率為k2，是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．8．已知△ABC中,B（-1，0）,C（1，0）,AB=6,點(diǎn)P在AB上,且∠BAC=∠PCA．(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與E交于M，N兩點(diǎn),與直線(xiàn)x=9交于點(diǎn)K,記QM,QN,QK的斜率分別為k1,k2,k3,試探究k1,k2,k3的關(guān)系,并證明．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn).①設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值；②設(shè)過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)為，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).10．已知橢圓的方程為，斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)的左上方．（1）若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，求此時(shí)直線(xiàn)的方程；（2）求證：的內(nèi)切圓的圓心在定直線(xiàn)上．11．如圖已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過(guò)橢圓的中心，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于且不重合的兩點(diǎn)，且的平分線(xiàn)總是垂直于軸，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，請(qǐng)求出的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.12．已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.13．已知橢圓，，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)的斜率的乘積為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若，判斷直線(xiàn)的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.14．已知橢圓（）的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)（）與橢圓交于兩點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率分別為，試探究是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.15．橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為，過(guò)F1且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為l．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1、PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線(xiàn)PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍．（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．第16講斜率定值問(wèn)題一、解答題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率為22．分別過(guò)O，F(xiàn)的兩條弦AB，（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線(xiàn)AC，BD的斜率之和為定值．【答案】(1)x2【解析】試題分析：（1）解：由題意，得c=1，e=ca=從而b2所以橢圓的方程為x22+（2）證明：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx，②直線(xiàn)CD的方程為y=?k(x?1)，③7分由①②得，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)為±2由①③得，點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)為2k記A(x1，kx1)，則直線(xiàn)AC，BD的斜率之和為k=k?=k?2(=k?=0．16分考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線(xiàn)橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：＋＝1的離心率為，直線(xiàn)l：y=x與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，AB=，C，D是橢圓E上異于A，B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AD，BC相交于點(diǎn)N．（1）求a，b的值；（2）求證：直線(xiàn)MN的斜率為定值．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】試題分析：（1）由已知條件可得的值，進(jìn)而得的關(guān)系，再利用與橢圓相交于，兩點(diǎn)，，可得；（2）斜率存在時(shí)設(shè)出直線(xiàn)，的斜率分別為，，，利用，表示的斜率，利用直線(xiàn)相交分別求的坐標(biāo)，再利用斜率公式求，運(yùn)算化簡(jiǎn)含式子，得出結(jié)果，最后再考慮斜率不存在情況亦成立．試題解析：（1）因?yàn)閑==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；故橢圓方程為+=1；由題意，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限，由解得A（b，b）；又AB=4，所以O(shè)A=2，即b2+b2=20，解得b2=12；故=2，=2；（2）由（1）知，橢圓E的方程為，從而A（4，2），B（﹣4，﹣2）；①當(dāng)CA，CB，DA，DB斜率都存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)CA，DA的斜率分別為k1，k2，C（x0，y0），顯然k1≠k2；所以kCB=﹣；同理kDB=﹣，于是直線(xiàn)AD的方程為y﹣2=k2（x﹣4），直線(xiàn)BC的方程為y+2=﹣（x+4）；從而點(diǎn)N的坐標(biāo)為；用k2代k1，k1代k2得點(diǎn)M的坐標(biāo)為；即直線(xiàn)MN的斜率為定值﹣1；②當(dāng)CA，CB，DA，DB中，有直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，根據(jù)題設(shè)要求，至多有一條直線(xiàn)斜率不存在，故不妨設(shè)直線(xiàn)CA的斜率不存在，從而C（4，﹣2）；仍然設(shè)DA的斜率為k2，由①知kDB=﹣；此時(shí)CA：x=4，DB：y+2=﹣（x+4），它們交點(diǎn)M（4，）；BC：y=﹣2，AD：y﹣2=k2（x﹣4），它們交點(diǎn)N，從而kMN=﹣1也成立；由①②可知，直線(xiàn)MN的斜率為定值﹣1；考點(diǎn)：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系；3、分類(lèi)討論；4、直線(xiàn)的斜率．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系及直線(xiàn)斜率，直線(xiàn)相交的問(wèn)題，屬于難題．解決第二問(wèn)時(shí)，涉及直線(xiàn)較多，采用設(shè)兩條直線(xiàn)斜率，表示另外兩條的方法，控制引入未知數(shù)個(gè)數(shù)，然后利用直線(xiàn)相交，表示交點(diǎn)坐標(biāo)，需要較強(qiáng)的類(lèi)比推理能力及運(yùn)算能力，還要注意斜率是否存在，要有較強(qiáng)的分類(lèi)討論意識(shí)．3．已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．Ⅰ

求橢圓C的方程；Ⅱ

若是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使的角平分線(xiàn)總垂直于x軸，試判斷直線(xiàn)PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】Ⅰ；（Ⅱ）【分析】（I）由離心率可得關(guān)系，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得間關(guān)系，又，解方程可得的值；（II）由的角平分線(xiàn)總垂直于軸，可判斷直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)，由兩直線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)，由點(diǎn)斜式可寫(xiě)出直線(xiàn)方程．一一與橢圓方程聯(lián)立，消去或的值，可得一元二次方程，又點(diǎn)滿(mǎn)足條件，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示．再由斜率公式可得直線(xiàn)的斜率為定值．【詳解】(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn),所以,.因?yàn)?解得,,所以橢圓的方程為.(Ⅱ)法1：因?yàn)榈慕瞧椒志€(xiàn)總垂直于軸,所以與所在直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).設(shè)直線(xiàn)的斜率為,則直線(xiàn)的斜率為.所以直線(xiàn)的方程為,直線(xiàn)的方程為.設(shè)點(diǎn),,由消去,得.①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以是方程①的一個(gè)根,則,所以.同理.所以.又.所以直線(xiàn)的斜率為.所以直線(xiàn)的斜率為定值，該值為.法2：設(shè)點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率,直線(xiàn)的斜率.因?yàn)榈慕瞧椒志€(xiàn)總垂直于軸,所以與所在直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).所以,即,①因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以，②.③由②得,得,④同理由③得,⑤由①④⑤得,化簡(jiǎn)得,⑥由①得,⑦⑥⑦得.②③得,得.所以直線(xiàn)的斜率為為定值.法3：設(shè)直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，則,直線(xiàn)的斜率,直線(xiàn)的斜率.因?yàn)榈慕瞧椒志€(xiàn)總垂直于軸,所以與所在直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).所以,即,化簡(jiǎn)得.把代入上式,并化簡(jiǎn)得.(*)由消去得,(**)則,代入(*)得,整理得,所以或.若,可得方程(**)的一個(gè)根為，不合題意.若時(shí),合題意.所以直線(xiàn)的斜率為定值，該值為.4．已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和下頂點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為.（1）求橢圓C的離心率；（2）若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的角平分線(xiàn)總是垂直于y軸，試問(wèn)：直線(xiàn)的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值為.【分析】（1）先求出直線(xiàn)的方程，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，從而可得出答案.

(2)由條件結(jié)合（1）先求出橢圓方程，根據(jù)條件可得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求解出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可得直線(xiàn)的斜率，得出答案.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)的方程為則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為可得.（2）由（1）易知，則橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得，則橢圓：.因?yàn)榈慕瞧椒志€(xiàn)總垂直于軸，所以與所在直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).則，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為設(shè)點(diǎn)，.由，消去，得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則有，即.同理可得.所以，又.所以直線(xiàn)的斜率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率和橢圓中的定值問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是由條件得出，設(shè)直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求解出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，屬于中檔題.5．已知橢圓（）的離心率為，、是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）若Q是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N在橢圓上，O為原點(diǎn)，點(diǎn)Q，M，N滿(mǎn)足，則直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）是定值，且定值為．【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)，，，，，，所以，，，由得，代入得，所以，即，從而得到直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率之積為定值，且定值為．【詳解】解：（1）由題意可知：，解得，∴橢圓C的方程為：；（2）設(shè)，，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴直線(xiàn)OM與直線(xiàn)ON的斜率之積為定值，且定值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．6．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿(mǎn)足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線(xiàn)，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），（2）存在符合條件的圓，且此圓的方程為，定值為【分析】（1）利用離心率和點(diǎn)在橢圓上列出方程，解出即可（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，先將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，推出，然后通過(guò)直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理，求解直線(xiàn)的斜率乘積，推出為定值，然后再驗(yàn)證直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)也滿(mǎn)足即可【詳解】（1）由題意得：，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，且設(shè)此圓的方程為：當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為由方程組得因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)所以即由方程組得則設(shè)，，則設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，所以將代入上式得要使得為定值，則，即所以當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)，滿(mǎn)足為定值當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為此時(shí)圓與的交點(diǎn)，也滿(mǎn)足為定值綜上：當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)，滿(mǎn)足為定值【點(diǎn)睛】涉及圓、橢圓的弦長(zhǎng)、交點(diǎn)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.7．已知圓F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3)，圓F2：(x-1)2+y2=(4-r)2．（1）證明：圓F1與圓F2有公共點(diǎn)，并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程；（2）已知點(diǎn)Q(m，0)(m<0)，過(guò)點(diǎn)E斜率為k(k≠0）的直線(xiàn)與（Ⅰ）中軌跡E相交于M，N兩點(diǎn)，記直線(xiàn)QM的斜率為k1，直線(xiàn)QN的斜率為k2，是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）存在，【分析】（1）求出圓和圓的圓心和半徑，通過(guò)圓F1與圓F2有公共點(diǎn)求出的范圍，從而根據(jù)可得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求出方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及，，可得，根據(jù)其為定值，則有，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)閳A的半徑為，圓的半徑為，又因?yàn)?，所以，即，所以圓與圓有公共點(diǎn)，設(shè)公共點(diǎn)為，因此，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，所以，，，即軌跡的方程為；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)方程為，設(shè)，由消去得到，則，，①因?yàn)?，，所以，將①式代入整理得因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，即時(shí)，.即存在實(shí)數(shù)使得.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓定理求橢圓方程，考查橢圓中的定值問(wèn)題，靈活應(yīng)用韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算是關(guān)鍵，并且觀察出取定值的條件也很重要，考查了學(xué)生分析能力和計(jì)算能力，是中檔題.8．已知△ABC中,B（-1，0）,C（1，0）,AB=6,點(diǎn)P在AB上,且∠BAC=∠PCA．(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)若,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與E交于M，N兩點(diǎn),與直線(xiàn)x=9交于點(diǎn)K,記QM,QN,QK的斜率分別為k1,k2,k3,試探究k1,k2,k3的關(guān)系,并證明．【答案】(1)．(2)k1+k2=2k3證明見(jiàn)解析；【分析】(1)利用已知條件判斷P的軌跡為橢圓,轉(zhuǎn)化求解即可．(2)如圖,設(shè)M（x1，y1）,N（x2，y2）,可設(shè)直線(xiàn)MN方程為y=k（x-1）,則K（4，3k）,聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,通過(guò)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解斜率關(guān)系,證明k1+k2=2k3．【詳解】解：(1)如圖三角形ACP中,∠BAC=∠PCA,所以PA=PC,所以PB+PC=PB+PA=AB=6,所以點(diǎn)P的軌跡是以B,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸為4的橢圓（不包含實(shí)軸的端點(diǎn)），所以點(diǎn)P的軌跡E的方程為．(2)k1,k2,k3的關(guān)系：k1+k2=2k3．證明：如圖,設(shè)M（x1，y1）,N（x2，y2），可設(shè)直線(xiàn)MN方程為y=k（x-1）,則K（4，3k）,由可得（9k2+8）x2-18k2x+（9k2-72）=0,,,,,,因?yàn)?所以：k1+k2=2k3．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,橢圓的定義的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是難題．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn).①設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值；②設(shè)過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)為，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件列方程組，解得，（2）①設(shè)，則可由直線(xiàn)交點(diǎn)得，再根據(jù)斜率公式化簡(jiǎn)，最后利用點(diǎn)P在橢圓上得定值；②先探求定點(diǎn)為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，最后令y=0解得x=-1.試題解析：（1）由題意橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，令得，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以為定值，②直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).點(diǎn)睛：1.求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．2．定點(diǎn)的探索與證明問(wèn)題(1)探索直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線(xiàn)方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線(xiàn)系的思想找出定點(diǎn)．(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān)．10．已知橢圓的方程為，斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)的左上方．（1）若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，求此時(shí)直線(xiàn)的方程；（2）求證：的內(nèi)切圓的圓心在定直線(xiàn)上．【答案】（1）．（2）見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為．設(shè)，．由直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由判別式大于0得的一個(gè)范圍，由點(diǎn)在直線(xiàn)的左上方再一個(gè)的范圍，兩者結(jié)合得的取值范圍，以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，說(shuō)明，用坐標(biāo)表示并代入可求得，注意的取值范圍，即得直線(xiàn)方程；（2）由（1）計(jì)算，即得直線(xiàn)是的內(nèi)角平分線(xiàn)，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為．設(shè)，．由得，則，．由，解得．又∵點(diǎn)在直線(xiàn)的左上方，∴．若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，或（舍）．∴直線(xiàn)的方程為．（2）∵，∴直線(xiàn)平分，即的內(nèi)切圓的圓心在定直線(xiàn)上．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題，考查直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性．直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)方程，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，用參與運(yùn)算求解．11．如圖已知橢圓，是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過(guò)橢圓的中心，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程：（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于且不重合的兩點(diǎn)，且的平分線(xiàn)總是垂直于軸，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，請(qǐng)求出的最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）易知根據(jù)條件確定形狀，即得C坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，（Ⅱ）即先判斷是否成立，設(shè)的直線(xiàn)方程，與橢圓聯(lián)立方程組解得坐標(biāo)，根據(jù)、關(guān)系可得坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式即得斜率，進(jìn)而判斷成立，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算長(zhǎng)度最大值，即可得的最大值.【詳解】（Ⅰ）∵，∴又，即，2∴是等腰直角三角形∵，∴因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，∴∴∴所求橢圓方程為（Ⅱ）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)、，∵的平分線(xiàn)總是垂直于軸∴與所在直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，設(shè)且，則，則的直線(xiàn)方程①的直線(xiàn)方②將①代入得③∵在橢圓上，∴是方程③的一個(gè)根，∴以替換，得到.因?yàn)?所以∴∴，∴存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)即時(shí)取等號(hào)，又，【點(diǎn)睛】解析幾何存在性問(wèn)題，一般解決方法先假設(shè)存在，即設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，然后直接推理、計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果確定是否存在．其中直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程組成的方程組，利用韋達(dá)定理或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.12．已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，試問(wèn)直線(xiàn)與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）為定值，【分析】（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，建立的方程組，即可求出結(jié)論；（2）先求出直線(xiàn)斜率不存在時(shí)的值，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)已知求出關(guān)系，再將直線(xiàn)與圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系將坐標(biāo)用表示，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意，，解得，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l的方程為.若直線(xiàn)l的方程為，則M，N的坐標(biāo)為，.若直線(xiàn)l的方程為，則M，N的坐標(biāo)為，.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)，與橢圓方程聯(lián)立可得，由相切可得，.又，消去得，設(shè)，，則∴，.故為定值且定值為.綜上，為定值且定值為.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系以及圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求的方法求相交弦問(wèn)題，屬于中檔題.13．已知橢圓，，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)的斜率的乘積為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若，判斷直線(xiàn)的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）直線(xiàn)的斜率為定值【分析】（1）利用斜率乘積為，，可構(gòu)造出方程組，求解得到和，從而可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，可得關(guān)于的一元二次方程；利用判別