專題3極值點偏移六脈神劍之“關(guān)沖劍”(學(xué)生版+解析)

極值點偏移六脈神劍之“關(guān)沖劍”關(guān)沖劍——右手無名指-手少陽三焦經(jīng)。特點：以拙滯古樸取勝。函數(shù)的極值點偏移問題中，有一類問題是難度較低的一個類型，解決方法單一經(jīng)典，循著本源便可解決問題，那就是不含參數(shù)的極值點偏移問題。對點詳析，利器顯鋒芒★已知函數(shù).（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.★已知函數(shù)f(x)=(x?1)e（1）求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；（2）函數(shù)f(x)與函數(shù)的圖像總有兩個交點，設(shè)這兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）求證：x1內(nèi)練精氣神，外練手眼身★已知函數(shù)f(x)=xe?x(xR)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若x(0,1),求證：f(2?x)>f(x)；（Ⅲ）若x1(0,1),x2(1,+∞),且f(x1)=f(x2),求證：x1+x2>2.★已知函數(shù)，如果，且.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達(dá)到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達(dá)到消元的目的.例.已知函數(shù)，證明：當(dāng)時，★已知函數(shù)，正實數(shù)滿足.證明：.★已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程有兩個相異實根，，且，證明：.極值點偏移六脈神劍之“關(guān)沖劍”關(guān)沖劍——右手無名指-手少陽三焦經(jīng)。特點：以拙滯古樸取勝。函數(shù)的極值點偏移問題中，有一類問題是難度較低的一個類型，解決方法單一經(jīng)典，循著本源便可解決問題，那就是不含參數(shù)的極值點偏移問題。對點詳析，利器顯鋒芒★已知函數(shù).（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）解：由對任意恒成立，得對任意恒成立.令，則.令，則.∴在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.∴，則，即的取值范圍為.（2）證明：設(shè)，，則.在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.∵，，當(dāng)時，，且，∴，，要證，即證.∵，，在上單調(diào)遞減，∴只需證明.由，只需證明.令，.∵，∴，，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴.★已知函數(shù)f(x)=(x?1)e（1）求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；（2）函數(shù)f(x)與函數(shù)的圖像總有兩個交點，設(shè)這兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）求證：x1【答案】（1）y=x?1（2）（?。﹎<1【解析】（1）解：由已知得f(x)=e(x?1)∴f'(x)=?e(x?2)ex曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為：y=x?1.（2）（?。┝頶(x)=f(x)?x2+4x?m∴g'由g'(x)<0得，x>2；由g'(x)>0得，x<2易知，g(x)max=g(2)=1e+4?m又時即函數(shù)g(x)在x<2時有負(fù)值存在，在x>2時也有負(fù)值存在.由題意，只需滿足g(x)∴m的取值范圍是：m<（ⅱ）由題意知，x1，x2為函數(shù)gx=fx?x2+4x?m=(x?1)e1?x只需證明g(x1)>g(4?所以只需證明g(x令H(x2∴H'∵x1>2，∴e所以H'(x2)>0所以H(x2)>H(2)=0所以x1內(nèi)練精氣神，外練手眼身★已知函數(shù)f(x)=xe?x(xR)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若x(0,1),求證：f(2?x)>f(x)；（Ⅲ）若x1(0,1),x2(1,+∞),且f(x1)=f(x2),求證：x1+x2>2.【答案】（1）在(鈭掆垶,1)內(nèi)是增函數(shù),在()內(nèi)是減函數(shù).在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=1e【解析】f'(x)=（1﹣x）e﹣x令f'(x)=0，則x=1當(dāng)x變化時，f'(x)，f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，1）1（1，+∞）f'(x)+0﹣f（x）↗極大值↘∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)∴f（x）在x=1處取得極大值1e（Ⅱ）證明：令g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）則g（x）=xe﹣x﹣（2﹣x）ex﹣2∴g'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x∵當(dāng)0<x<1時,2x?2<0,從而e2x?2?1<0所以g'(x)>0,從而函數(shù)g(x)在(0,1)是增函數(shù).∵e﹣x＞0，∴g又∵g（1）=0∴0<x<1時,g（x）<g（1）=0即當(dāng)0<x<1時，f（x）<f（2﹣x）(Ⅲ)證明：∵0<∴2?由(Ⅱ)得：f(x∵f(∴f(∵f(x)在()內(nèi)是減函數(shù)∴x2>2?★（2010天津理）已知函數(shù)，如果，且.證明：構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立.由，則，所以，即，又因為，且在上單調(diào)遞減，所以，即證法三：由，得，化簡得…，不妨設(shè)，由法一知，.令，則，代入式，得，反解出，則，故要證，即證，又因為，等價于證明：…，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，，學(xué)&科網(wǎng)構(gòu)造，則，又令，則，由于對恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，由洛比塔法則知：，即證，即證式成立，也即原不等式成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達(dá)到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達(dá)到消元的目的.例.已知函數(shù)，證明：當(dāng)時，【解析】易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.學(xué)&科網(wǎng)★已知函數(shù)，正實數(shù)滿足.證明：.【解析】由，得從而，令，構(gòu)造函數(shù)，得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，學(xué)&科網(wǎng)所以，也即，解得：.★已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程有兩個相異實根，，且，證明：.【答案】（Ⅰ）在(0,1)遞增，在(1,+遞減；（Ⅱ）見解析（2）由(1)可設(shè)的兩個相異實根分別