全國(guó)卷Ⅲ2024年高考數(shù)學(xué)壓軸卷文含解析

PAGE（全國(guó)卷Ⅲ）2024年高考數(shù)學(xué)壓軸卷文（含解析）第I卷（選擇題）一.選擇題：本大題12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，則“”的一個(gè)充分而不必要條件是（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A．2 B．4 C．-16 D．-44．若實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最小值為（）A． B．1 C． D．5．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢． B． C． D．6．?dāng)?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)，則的公比等于（）A．2 B． C．3 D．7．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，則8．祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代宏大的科學(xué)家，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是：假如兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，此即祖暅原理.利用這個(gè)原理求球的體積時(shí)，須要構(gòu)造一個(gè)滿意條件的幾何體，已知該幾何體三視圖如圖所示，用一個(gè)與該幾何體的下底面平行且相距為的平面截該幾何體，則截面面積為（）A． B． C． D．9．學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出狀況，抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其頻率直方圖如圖所示，其中支出(單位：元)在[50，60]內(nèi)的學(xué)生有30人，則n的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．90010．已知向量，，滿意，，則（）A．3 B．2 C．1 D．011．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則______.14．在中，，，是上的點(diǎn)，平分，若，則的面積為_(kāi)_________.15．已知圓的圓心坐標(biāo)是，若直線與圓相切于點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.16．在四棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.三、解答題（共70分.解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.地17-21為必做題，每個(gè)試題都必需作答.第22、23題為選做題，考生按要求作答）(一)必做題17．已知公差不為0的等差數(shù)列滿意，且，，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．3月12日為我國(guó)的植樹(shù)節(jié)，某校為增加學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，普及環(huán)保學(xué)問(wèn)，于該日在全校范圍內(nèi)組織了一次有關(guān)環(huán)保學(xué)問(wèn)的競(jìng)賽，現(xiàn)從參賽的全部學(xué)生中，隨機(jī)抽取200人的成果（滿分為100分）作為樣本，得到成果的頻率分布直方圖，如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，．（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校此次環(huán)保學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；（2）在該樣本中，若采納分層抽樣的方法，從成果低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，查看他們的答題狀況，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查分析，求這3人中至少有1人成果在內(nèi)的概率．19．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，得四棱錐ABCDE．（1）求證：EF平面ABC；（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面體FDCE的體積．20．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過(guò)P作直線與交y軸正半軸于A點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于B點(diǎn)，與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且，點(diǎn)Q是P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為.（?。┳C明：直線，的斜率之比為定值；（ⅱ）求直線的斜率的最小值．21．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在的最大值；（2）證明：函數(shù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)，并推斷與的大小關(guān)系．(二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做,則按所做的第一題計(jì)分。22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為(為參數(shù))，直線的方程為.以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線和直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知射線的極坐標(biāo)方程是，且與曲線和直線在第一條限的交點(diǎn)分別為，求的長(zhǎng).23．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的圖象與直線圍成區(qū)域的面積；（2）若對(duì)于，，且時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2024新課標(biāo)Ⅲ高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)（文）參考答案1．【答案】B【解析】因?yàn)榧?，，所?故選：B2．【答案】D【解析】因?yàn)橛赏撇怀?，由也推不出，故A不滿意題意因?yàn)?，，所以B、C不滿意題意因?yàn)橛煽梢酝瞥?，由推不出所以是的充分不必要條件故選：D3．【答案】B【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，，解得.故選：B.4．【答案】C【解析】如圖1，作出平面區(qū)域可知：的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方加1，所以最近的距離為到直線的距離，所以的最小值為，故選：C.5．【答案】D【解析】解：對(duì)于A：，為偶函數(shù)，但值域?yàn)?，故A不正確；對(duì)于B：定義域不對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C：定義域不對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D：為偶函數(shù)，且值域?yàn)椋蔇正確；故選：D.6．【答案】A【解析】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以或，又因?yàn)椋?，所以，故選：A.7．【答案】B【解析】法一：對(duì)A，當(dāng)或時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)B，由，得，由是增函數(shù)，得，B正確；對(duì)C，，，又，兩邊同除以得，，C錯(cuò)誤；對(duì)D，由，，，得，所以，D錯(cuò)誤.法二：特別值解除法，若取，則，A錯(cuò)誤；若取，，，則，C錯(cuò)誤；若取，則，D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】（1）解決比較大小類題目常用方法有：不等式性質(zhì)干脆應(yīng)用、作差（商）比較法、函數(shù)單調(diào)性法、中間量法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等.（2）幾個(gè)常用不等式結(jié)論：；；若，，則；若，，則（真分?jǐn)?shù)不等式性質(zhì)）；若，，則.8．【答案】D【解析】由題意可知，該幾何體為底面半徑為2，高為2的圓柱，從上面挖去一個(gè)半徑為2，高為2的圓錐，所剩下的部分，如圖所示：所以截面為環(huán)形，外圓的半徑為2，內(nèi)圓的半徑為h，所以面積為：故選：D9．【答案】A【解析】由頻率直方圖可知，前三組的頻率之和為(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，∴支出在[50，60]內(nèi)的頻率為1－0.7＝0.3，∴n＝＝100.故選：A10．【答案】D【解析】向量，，滿意，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積及運(yùn)算的法則，屬于基礎(chǔ)題.11．【答案】A【解析】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，可得，，設(shè)，，由三角形的等面積法可得，化簡(jiǎn)可得，①由雙曲線的定義可得，②在三角形中，為直線的傾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化簡(jiǎn)可得，即為，可得，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、雙曲線的定義、坐標(biāo)求解、離心率求解，考查方程思想的運(yùn)用及三角形等面積法．雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的關(guān)系．12．【答案】A【解析】令=0，所以f(x)=m.當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)∈（-1,2,當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)∈（-∞，+∞），由于f(x)=m有兩個(gè)零點(diǎn)，所以m∈.故答案為A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)零點(diǎn)問(wèn)題的駕馭水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像，再結(jié)合圖像分析在何種狀況下函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).13．【答案】7【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以，解得：，，所?故答案為：14．【答案】【解析】∴由正弦定理，，，即，，而，∴，∵，即，，∴，即，又由余弦定理知：，∴，即，令，∴，即（舍去），∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用正余弦定理，列方程求，依據(jù)三角形面積公式求面積.15．【答案】【解析】因?yàn)閳A心坐標(biāo)為，直線與圓相切于點(diǎn)依據(jù)圓心和切點(diǎn)的連線與直線垂直，所以，解得，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：16．【答案】【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，并連接交于，連接.因?yàn)?，，所以四邊形和四邊形均為平行四邊形，所以，故，所以為外接圓的圓心且，則，，，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以平面設(shè)三棱錐外接球的球心為，連接，，，則平面，則.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，故四邊形為矩形，故，.設(shè)，外接球的半徑為，則，又，則，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求外接球半徑的常用方法：（1）補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形或正四面體或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；（2）利用球的性質(zhì)：幾何體在不同面均對(duì)直角的棱必定是球的直徑；（3）定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為球心，借助有特別性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心肯定在垂線上，再依據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可．17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即，解得或（舍），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以，可得，兩式相減得所以.【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的分法：（1）適用條件：若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求解數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）留意事項(xiàng)：①在寫(xiě)出和的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)留意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步精確寫(xiě)出；②作差后，應(yīng)留意減式中所剩各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)；③作差后，作差部分應(yīng)用為的等比數(shù)列求和.18．【答案】（1），74.7分；（2）．【解析】解：（1）由頻率分布直方圖可得，，解得，這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以估計(jì)該校此次環(huán)保學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的平均分為74.7分；（2）由頻率分布直方圖可知，成果在，，內(nèi)的頻率分別為0.06，0.12，0.18，所以采納分層抽樣的方法從樣本中抽取的6人，成果在內(nèi)的有1人，記為A,成果在內(nèi)的有2人，記為b、c，成果在內(nèi)的有3人，記為1、2、3.故從成果在內(nèi)的6人隨機(jī)抽取3人，有：Abc、Ab1、Ab2、Ab3、Ac1、Ac2、Ac3、A12、A13、A23、bc1、bc2、bc3、b12、b13、b23、c12、c13、c23、123，共有20種，這3人成果均不在內(nèi)，有：A12、A13、A23、123，共有4種，記事務(wù)B:這3人中至少有1人成果在內(nèi)則.所以這3人中至少有1人成果在內(nèi)的概率為．【點(diǎn)睛】（1）從頻率分布直方圖可以估計(jì)出的幾個(gè)數(shù)據(jù)：①眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②平均數(shù)：頻率分布直方圖每組數(shù)值的中間值乘以頻率后相加；③中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo)．（2）古典概型的概率計(jì)算中列舉基本領(lǐng)件的方法：①枚舉法；②列表法；③坐標(biāo)法；④樹(shù)狀圖法；⑤排列組合求事務(wù)個(gè)數(shù)..19．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：如圖，取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB．因?yàn)镕，M為AD，AC的中點(diǎn)，所以MFCD，且MFCD．在折疊前，四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，所以BE∥CD，且BECD．所以MFBE，且MF＝BE．所以四邊形BEFM為平行四邊形，故EFBM．又EF平面ABC，BM平面ABC，所以EF平面ABC．（2）在折疊前，四邊形ABCD為矩形，AD2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)，所以ADE，CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2．所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝2．又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°，所以∠DEC＝90°，即DE⊥CE．又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE平面BCDE，所以CE⊥平面ADE，即CE為三棱錐CEFD的高．因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)，所以所以四面體FDCE的體積20．【答案】（1）；（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）．【解析】解：（1）由題意得解得所以橢圓的方程為．（2）（i）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)是關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，所以，．所以直線的斜率為，的斜率為．所以．所以直線，的斜率之比為定值．（ii）設(shè)直線的方程為．聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以．所以．所以．所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．由（2）可知，直線的方程是．所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．所以直線的斜率．因?yàn)?，所以．?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值．所以直線的斜率的最小值是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與橢圓的位置關(guān)系有設(shè)而不求和設(shè)而要求兩種思路，當(dāng)已知直線和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)求另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)用設(shè)而要求的方法，聯(lián)立直線和橢圓，用韋達(dá)定理解出另一根.21．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增，又，所以在有唯一的零點(diǎn)t．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以在的最大值為．（2），①當(dāng)時(shí)，均單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，又，所以在有唯一的零點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所